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類型1求平均變化率

【例1】（1)求函數(shù) f(x)=3x^{2}+2 在區(qū)間[2,2.1]上的平均變化率；(2)求函數(shù) g(x)=3x-2 在區(qū)間[－2，—1]上的平均變化率.

[嘗試解答]

發(fā)現(xiàn)規(guī)律求函數(shù)平均變化率的步驟是什么？

跟進(jìn)訓(xùn)練_

1.如圖,函數(shù) y=f(x) 在[1,5]上的平均變化率為 ( ）

A.1 (1)/(2) B.- 1
2
C.2 D.-2

2.已知函數(shù) f(x)=x^{2}+2x-5 ，則 f(x) 在區(qū)間[-1,0] 上的平均變化率為

類型2實(shí)際問題中的平均變化率

【例2】【鏈接教材P188例1、例2】

(1)圓的半徑 \boldsymbol{r} 從0.1變化到0.3時(shí)，圓的面積 s 的平均變化率為

(2)在F1賽車中,賽車位移 s （單位： m\Omega 與比賽時(shí)間 t (單位:s)存在函數(shù)關(guān)系 s=10t+5t^{2} ,則賽車在[20,20.1]上的平均速度是多少？

[嘗試解答]

反思領(lǐng)悟平均變化率問題在生活中隨處可見，常見的有求某段時(shí)間內(nèi)的平均速度、加速度、膨脹率、經(jīng)濟(jì)效益等.分清自變量和因變量是解決此類問題的關(guān)鍵.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

3.某森林公園在過去的10年里，森林占地面積變化如圖所示，試分別計(jì)算前5年與后5年森林面積的平均變化率.

嘗試與發(fā)現(xiàn)

如何確定 \overline{{v}}_{1},\overline{{v}}_{2},\overline{{v}}_{3} 的大小關(guān)系？

[嘗試解答]

母題探究

在本例中，汽車行駛的路程 s 和時(shí)間t之間的函數(shù)圖象換為如圖所示，則在下列區(qū)間上平均速度最大的是

A. [0,1] B. [1,2]C. [2,3] D. [3,4]反思領(lǐng)悟平均變化率的絕對值的大小反映函數(shù)在給定區(qū)間上變化的快慢，平均變化率的絕對值越大，函數(shù)在區(qū)間上的變化率越快；平均變化率的絕對值越小，函數(shù)在區(qū)間上的變化率越慢.

跟進(jìn)訓(xùn)練

類型3 函數(shù)平均變化率的應(yīng)用

【例3】汽車行駛的路程 s 和時(shí)間 \mathbf{\Psi}_{t}\mathbf{\Psi}_{\mathbf{\Psi}} 之間的函數(shù)圖象如圖所示.在時(shí)間段 [t_{0},t_{1}],[t_{1},t_{2}] ，[t_{2},t_{3}]. 上的平均速度分別為 \overline{{v}}_{1} ，\mathbf{\bar{\Phi}}_{v_{2}}^{-},\mathbf{\bar{\Phi}}_{v_{3}}^{-} ,則三者的大小關(guān)系是

4.甲、乙兩人走過的路程 s_{1}(t) ，s_{2}\left(t\right) 與時(shí)間 \mathbf{\Psi}_{t}\mathbf{\Psi}_{\mathbf{\Psi}} 的關(guān)系如圖所示，則在 [0,t_{0}] 這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人的平均速度，z的關(guān)系是 .(填序號)

①v_{{ff}}>v_{Z} ； ②v_{{ff}}<v_{Z} ； ③v_{\scriptsize{F}}=v_{\scriptsize{Z}} ； ④ 大小關(guān)系不確定.

1.函數(shù) f(x)=x^{2}+c(c\in\mathbf{R}) 在區(qū)間[1,3]上的平均變化率為 ( ）

A.2 B. 4 C.c D. 2c

2.一物體的運(yùn)動(dòng)方程是 s{=}3{+}2t ,則在[2,2.1]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是 ( ）

A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2

3.若函數(shù) f(x)=x^{2}-c 在區(qū)間 [1,m] 上的平均變化率為4,則 \mathbf{\Psi}_{m} 等于 ( ）

A. √(5) B.3 C.5 D.16

4.函數(shù) f(x)=2x+4 在區(qū)間 [a,b] 上的平均變化率為

5.（教材P190練習(xí)T3改編）已知函數(shù) f(x)= 3x^{2}+5 ：

求：（1)從0.1到0.2的平均變化率；
(2)在區(qū)間 [x_{0},x_{0}+\Delta x] 上的平均變化率.

課堂小結(jié)

回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：

1.函數(shù) f(x) 在區(qū)間 [x_{1},x_{2}] 上的平均變化率是什么？

2.平均變化率的幾何意義是什么？

提示請完成《課時(shí)分層作業(yè)（三十一）》見第244頁

5.1.2 瞬時(shí)變化率—導(dǎo)數(shù)

[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]

情境趣味導(dǎo)學(xué)·預(yù)習(xí)素養(yǎng)感知

情境與問題

巍峨的珠穆朗瑪峰，攀登珠峰的隊(duì)員在陡峭程度不同時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的感受是不一樣的，如何用數(shù)學(xué)反映山勢的陡峭程度，給登山運(yùn)動(dòng)員一些有益的技術(shù)參考？

思考：什么是平均變化率？如何理解瞬時(shí)變化率？

知識點(diǎn)1 曲線上一點(diǎn)處的切線

(1)設(shè) Q 為曲線 C 上不同于 P 的一點(diǎn)，這時(shí)，直線 P Q 稱為曲線的割線.隨著點(diǎn) Q 沿曲線C 向點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)，割線 P Q 在點(diǎn) P 附近越來越逼近曲線 C .當(dāng)點(diǎn) Q 無限逼近點(diǎn) P 時(shí)，直線P Q 最終就成為在點(diǎn) P 處最逼近曲線的直線\mathbf{\xi}_{l} ，這條直線 \mathbf{\xi}_{l} 稱為曲線在點(diǎn) P 處的(2)若曲線 C 上一點(diǎn) P(x,f(x)) ，過點(diǎn) P 的一條割線交曲線 C 于另一點(diǎn) Q(x+\Delta x,f(x +\ \Delta x)? ，則割線 P Q 的斜率為 k_{P Q}= f(x+△x)-f(x),當(dāng)△x無限趨近于0時(shí)，(f(x+\Delta x)-f(x))/(\Delta x) 無限趨近于點(diǎn) P(x,f(x)) 處的切線的斜率.

知識點(diǎn)2瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度

(1)平均速度：在物理學(xué)中，運(yùn)動(dòng)物體的位移與 的比稱為平均速度.

(2)瞬時(shí)速度：一般地，如果當(dāng) \Delta t 無限趨近于0時(shí)，運(yùn)動(dòng)物體位移 S\left(t\right) 的平均變化率(S(t_{0}+\Delta t)-S(t_{0}))/(\Delta t)
無限趨近于一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)常數(shù)稱為物體在 時(shí)的瞬時(shí)速度，也就是位移對于時(shí)間的(3)瞬時(shí)加速度：一般地，如果當(dāng) \Delta t 無限趨近于0時(shí)，運(yùn)動(dòng)物體速度 \boldsymbol{v}(t) 的平均變化率(v(t_{0}+\Delta t)-v(t_{0}))/(\Delta t)
無限趨近于一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)稱為物體在 {\boldsymbol{t}}={\boldsymbol{t}}_{0} 時(shí)的瞬時(shí)加速度，也就是速度對于時(shí)間的

體驗(yàn)1.一輛汽車運(yùn)動(dòng)的速度為 v(t)=t^{2}- 2,則該汽車在 \scriptstyle t=3 時(shí)的加速度為

體驗(yàn)2.火箭發(fā)射 \mathbf{\Psi}_{t}\mathbf{\Psi}_{\mathbf{\Psi}} s后，其高度（單位：km, 為 h(t)=0,9t^{2} .那么 t= s時(shí)火箭的瞬時(shí)速度為 3.6~km/s

知識點(diǎn)3 導(dǎo)數(shù)

(1)導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù) y=f(x) 在區(qū)間 (a,b) 上有定義， x_{0}\in(a,b) ，若 \Delta x
時(shí),比值=f(x+△x)-f(x) 無限趨近于一個(gè)常數(shù) A ,則稱 f(x) 在 \scriptstyle x=x_{0} 處
并稱該常數(shù) A 為函數(shù) f(x) 在 \scriptstyle x=x_{0} 處的導(dǎo)數(shù)，記作

(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù) f^{\prime}\left(\boldsymbol{\mathscr{x}}_{0}\right) 的幾何意義就是曲線 y=f(x) 在點(diǎn) 處的切線的

(3)導(dǎo)函數(shù)： ① 若 f(x) 對于區(qū)間 (a,b) 內(nèi)都可導(dǎo)，則 f(x) 在各點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)也隨著
自變量 x 的變化而變化,因而也是
的函數(shù)，該函數(shù)稱為 f(x) 的導(dǎo)函數(shù)，記作.在不引起混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù) f^{\prime}(x) 也
簡稱為 f(x) 的

②f(x) 在 {\boldsymbol x}={\boldsymbol x}_{0} 處的導(dǎo)數(shù) f^{'}(x_{0}) 就是導(dǎo)函數(shù) f^{'}(x) 在 {\boldsymbol x}={\boldsymbol x}_{0} 處的

思考1. f^{\prime}(x_{0}){>}0 和 f^{\prime}(x_{0}){<}0 反映了怎樣的意義？

思考2. f^{'}(x_{0}) 與 f^{\prime}(x) 有什么區(qū)別？

體驗(yàn)3.若曲線 y=f(x) 在點(diǎn) (x_{0},f(x_{0})) 處的切線方程為 2x+y+1=0 ，則 ( ）

A. f^{\prime}(x_{0})>0 B.~f^{\prime}(x_{0})=0 C. f^{'}(x_{0}){<}0 D. f^{'}(x_{0}) 不存在

類型1求曲線上某一點(diǎn)處的切線

【例1】【鏈接教材P192例5】

已知曲線 y=f\left(x\right)=x+(1)/(x) 上的一點(diǎn)A\left(2,{(5)/(2)}\right) ,用切線斜率定義求：

(1)點(diǎn) A 處的切線的斜率；
(2)點(diǎn) A 處的切線方程.

[嘗試解答]

反思領(lǐng)悟根據(jù)曲線上一點(diǎn)處的切線的定義，要求曲線在某點(diǎn)處的切線方程，只需求出切線的斜率，即在該點(diǎn)處， \Delta x 無限趨近于0時(shí)， ,無限趨近的常數(shù)，

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

1.(1)已知曲線 y=f(x)=2x^{2}+4x 在點(diǎn) P 處的切線的斜率為16,則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為

(2)已知曲線 y=3x^{2}-x ,求曲線上一點(diǎn) A(1,2) 處的切線的斜率及切線方程.

類型2求瞬時(shí)速度

【例2】某物體的運(yùn)動(dòng)路程 \mathbf{\sigma}_{s} （單位： ~m~ )與時(shí)間t(單位:s)的關(guān)系可用函數(shù) s(t)=t^{2}+t+1 表示，求物體在 t=1 s時(shí)的瞬時(shí)速度.

嘗試解答］

母題探究]

1.（變結(jié)論)在本例條件不變的前提下，試求物體的初速度.

2.(變結(jié)論)在本例條件不變的前提下，試問物體在哪一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為 9~m/s?

反思領(lǐng)悟求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟設(shè)非勻速直線運(yùn)動(dòng)中物體的位移隨時(shí)間變化的函數(shù)為 \mathbf{\boldsymbol{s}}=\mathbf{\boldsymbol{s}}(t) ，則求物體在 {t}={t}_{0} 時(shí)刻的瞬時(shí)速度的步驟如下：

(1)寫出時(shí)間改變量 \Delta t ，位移改變量 \Delta s(\Delta s^{\th} =s(t_{0}+\Delta t)-s(t_{0})) ：

(2)求平均速度：=(3)求瞬時(shí)速度v:當(dāng)△t→0 時(shí)， (\Delta s)/(\Delta t)\substack{\rightarrow v} （常數(shù)).

類型3求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

【例3】【鏈接教材P196例7】已知 f(x)=x^{2}-3 ：

(1)求 f(x) 在 \scriptstyle x=2 處的導(dǎo)數(shù)；
(2)求 f(x) 在 \scriptstyle x=a 處的導(dǎo)數(shù).

[嘗試解答]

反思領(lǐng)悟 求一個(gè)函數(shù) y=f(x) 在 {\boldsymbol x}={\boldsymbol x}_{0} 處的導(dǎo)數(shù)的步驟

(1)求函數(shù)值的改變量 \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)- f(x_{0}) ：

(2)求平均變化率y=f(x+△x)-f(xo)(3)令 \Delta x 無限趨近于0,求得導(dǎo)數(shù).

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

2.設(shè) f(x)=a x+4 ，若 f^{\prime}(1)=2 ，則 a=

3.建造一棟面積為 x~m~^{2} 的房屋需要成本 y 萬 元， y 是 x 的函數(shù)， y=f(x)=(x)/(10)+(√(x))/(10)+ 0.3，求 f^{\prime}(100) ,并解釋它的實(shí)際意義.

類型4導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

【例4】（1)已知函數(shù) \scriptstyle y=f(x) 的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù) \scriptstyle y=f^{\prime}(x) 的圖象可能是 ( 1(2)某司機(jī)看見前方 50~m~ 處有行人橫穿馬路，這時(shí)司機(jī)開始緊急剎車，在剎車的過程中，汽車的速度 \boldsymbol{v} 是關(guān)于剎車時(shí)間 \mathbf{\Psi}_{t} 的函數(shù)，其圖象可能是 （）

嘗試解答］

反思領(lǐng)悟 導(dǎo)數(shù)幾何意義理解中的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

關(guān)鍵點(diǎn)一： y=f(x) 在點(diǎn) {\boldsymbol x}={\boldsymbol x}_{0} 處的切線斜率為 k ，則 k>0\Longleftrightarrow f^{\prime}(x_{0})>0;k<0\Longleftrightarrow f^{\prime}(x_{0}) <0;k=0{\Longleftrightarrow}f^{\prime}(x_{0})=0. 關(guān)鍵點(diǎn)二： \left|f^{\prime}(x_{0})\right| 越大 \Leftrightarrow 在 x_{0} 處瞬時(shí)變化越快； \mid f^{'}(x_{0}) 越小 \circleddash 在 x_{0} 處瞬時(shí)變化越慢.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

4.（1）已知 y=f\left(x\right) 的圖象如圖所示，則f^{\prime}(x_{A}) 與 f^{\prime}(x_{B}) 的大小關(guān)系是 ( ）

[學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)]

1.下面說法正確的是

A.若 f^{\prime}(x_{0}) 不存在,則曲線 y=f(x) 在點(diǎn)(x_{0},f(x_{0}))~ 處沒有切線
B.若曲線 y=f(x) 在點(diǎn) (x_{0},f(x_{0})) 處有切線，則 f^{'}(x_{0}) 必存在
C.若 f^{'}(x_{0}) 不存在,則曲線 y=f(x) 在點(diǎn)(x_{0},f(x_{0})) 處切線的斜率不存在
D.若曲線 y=f(x) 在點(diǎn) (x_{0},f(x_{0})) 處沒有切線，則 f^{'}(x_{0}) 有可能存在

2.已知函數(shù) y=f(x) 是可導(dǎo)函數(shù),且 f^{\prime}(1)= 2,則lim \operatorname*{lim}_{\Delta x\to0}{(f(1+\Delta x)-f(1))/(2\Delta x)}= ( ）

3.設(shè)曲線 f(x)=a x^{2} 在點(diǎn) (1,a) 處的切線與直線 2x-y-6=0 平行，則 \mathbf{\Delta}_{a} 等于 ( ）

4.曲線 f(x)={(2)/(x)} 在點(diǎn) (-2,-1) 處的切線方程為

A. f^{\prime}(x_{A}){>}f^{\prime}(x_{B}) B. f^{\prime}(x_{A}){<}f^{\prime}(x_{B}) C. f^{\prime}(x_{A})=f^{\prime}(x_{B}) D.不能確定

(2)若曲線 y=x^{2}+a x+b 在點(diǎn) (0,b) 處的切線方程是 x-y+1=0 ，則 ( ）

A. a=1,b=1 B_{*}a=-1,b=1 C.a=1,b=-1\qquadD.a=-1,b=-1

.已知曲線 f(x)=2x^{2}-7 在點(diǎn) P 處的切線方 程為 8x-y-15=0 ,求切點(diǎn) P 的坐標(biāo).

課堂小結(jié)

回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：

1.導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義分別是什么？2.求曲線的切線時(shí)，“在某點(diǎn)處的切線”與“過某點(diǎn)的切線”有什么不同？

5.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

5.2.1 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

5.2.2 函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)

[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]

情境與問題

回顧1.求函數(shù)在 {\boldsymbol x}={\boldsymbol x}_{0} 處的導(dǎo)數(shù)的方法，

(1)求 \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})

(2)求變化率 (\Delta y)/(\Delta x){=}(f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}))/(\Delta x).

(3)求極限 f^{\prime}(x_{0})=\operatorname*{lim}_{\Delta x\to0}{(\Delta y)/(\Delta x)} 回顧2.怎樣求導(dǎo)函數(shù)？

(1)求改變量 \Delta{y}=f(x+\Delta{x})-f(x),

(2)求比值 {(\Delta y)/(\Delta x)}={(f(x+\Delta x)-f(x))/(\Delta x)}

(3)求極限 f^{\prime}(x)=\operatorname*{lim}_{\Delta x\to0}{(\Delta y)/(\Delta x)}

那么導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)有什么區(qū)別和聯(lián)系？如何求常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？

知識點(diǎn)1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

(2)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

知識點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

設(shè)兩個(gè)函數(shù) f(x),g(x) 可導(dǎo)，則

體驗(yàn)）1.思考辨析（正確的打“ \surd ”，錯(cuò)誤的打（ *_{x}\mathfrak{v}_{)}

(1)若 f(x)=0 ，則 f^{\prime}(x)=0 (

■類型1利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【例1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

\scriptstyle(1)y=\cos{(π)/(6)};\left(2\right)y={(1)/(x^{5)}};\left(3\right)y={(x^{2})/(√(x))}, \left(4\right)y{=}{\log{x}};\left(5\right)y{=}5^{x};\left(6\right)y{=}\cos\Bigl((π)/(2){-}x\Bigr).

[嘗試解答]

(2)若 F(x)=f(x)g(x) ，則 F^{'}(x)=f^{'}(x) ·g^{\prime}(x) ： （ ）

(3)若 f(x)=\ln x ，則 f^{'}(e){=}1 C

(4)若 f(x)=x^{3}+2x ，那么 f(x) 的圖象在 x {\bf\Psi}=\boldsymbol{x}_{0} 處的切線斜率最小時(shí) {\boldsymbol x}_{0}=0 .()

體驗(yàn) 2.\ (1)\left({(x)/(2^{x)}}\right)^{\prime}= C 2)\left(x\mathbf{e}^{x}\right)^{\prime}=\qquad.

體驗(yàn)3.設(shè)函數(shù) f(x) 在 (0,+∞) 內(nèi)可導(dǎo)，且 f(e^{x})=x+e^{x} ，則 f^{\prime}(1)=\quad.

反思領(lǐng)悟1．若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求解.

2.對于不能直接利用公式的類型，一般遵循“先化簡，再求導(dǎo)”的基本原則，避免不必要的運(yùn)算失誤.

3.要特別注意“ (1)/(x) 雞與雞 \ln x^{\prime\prime\prime}a^{x} 與 \log_{a}x " sin.與cos x ”的導(dǎo)數(shù)區(qū)別.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y=xsqrt[3]{x},(2)y=(x)/(√(x))(x{>}0); (3)_{{\cal{y}}}=\sin(π-x).

類型2利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)

【例2】【鏈接教材P205例2、例3】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
\left(1\right){{y}}={{x}^{3}}+\sin~{{x}};\left(2\right){y}=3{{x}^{2}}+x{{\cos~}x};
(3)_{3}={(x+1)/(x-1)}.

[嘗試解答]

反思領(lǐng)悟 利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)策略

(1)解決函數(shù)的求導(dǎo)問題，應(yīng)先分析所給函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇正確的公式和法則.(2)對于比較復(fù)雜的函數(shù)，若直接套用求導(dǎo)公式，會(huì)使求解的過程繁瑣冗長，且易出錯(cuò)，故可先對函數(shù)的解析式進(jìn)行合理的恒等變形，轉(zhuǎn)化為容易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式再求導(dǎo)數(shù)，盡量回避利用積與商的求導(dǎo)公式.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y=x^{2}-\sin(x)/(2)cos\ (x)/(2);(2)y=xtan\ x.

類型3導(dǎo)數(shù)計(jì)算的綜合應(yīng)用

【例3】（1)已知函數(shù) f(x)=(x^{2})/(a)-1(a>=0) 的圖象在 _{x=1} 處的切線為L,則直線 \mathbf{\xi}_{l} 與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為

(2)已知函數(shù) f(x)=a x^{3}+ b x^{2}+c x 的圖象過點(diǎn)（1,5），其導(dǎo)函數(shù) y=f^{\prime}(x) 的圖象如圖所示，則函數(shù) f(x) 的解析式為

[嘗試解答］

反思領(lǐng)悟 三次函數(shù)求導(dǎo)問題

由于三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)，因此將導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合起來就很容易理解了.這類題目比較受青睞，解題時(shí)應(yīng)回顧二次函數(shù)的單調(diào)性、最值、圖象的對稱軸、二次項(xiàng)系數(shù)對圖象的影響等.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

3.如圖有一個(gè)是函數(shù) f(x)={(1)/(3)}x^{3}+a x^{2}+ (a^{2}-1){x}+1(a\in\mathbf{R} ，且 a\neq0 )的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則 f(-1)= ( ）

[學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)]

1.給出下列命題：

①y=\ln2 ，則 y^{\prime}{=}(1)/(2) ②y=f(x)=(1)/(x^{2)} ，則 f^{\prime}(3)=-(2)/(27) {③}y{=}2^{x} ，則 y^{\prime}{=}2^{x}\ln{2} ； ④y=\log_{2}x ，則 y^{\prime}{=}(1)/(x\ln{2)}

其中正確命題的個(gè)數(shù)為

A.1 B. 2 C.3 D. 4

2.下列函數(shù)滿足 f^{\prime}(x)=f(x) 的是 (

A. f(x)=e^{x} E \therefore f(x)=\cos\ x C. f(x)=\sin{x} D \:.\:f(x)=\ln\:x\:

3.已知 f(x)=x^{α}\left(α{\in}\mathbf{Q}\right. 且 α\neq0 )，若 f^{\prime}(1)= (1)/(4) 則 α 等于 ( ）

4.函數(shù) y=\sin\ x+e^{x} 在點(diǎn)(0,1)處的切線方程 為

5.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y=sqrt[5]{x^{3}},(2)y=\log_{2}x^{2}-\log_{2}x.

A. 1 7 -{(1)/(3)} 或 3 B. 3 3 D.

(4)y=-2\sin{(x)/(2)}\Big(1-2\cos^{2}{(x)/(4)}\Big).

課堂小結(jié)

回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：

1.你能寫出本節(jié)所學(xué)習(xí)的七個(gè)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式嗎？

2.對于形如 y=1-2sin2 的函數(shù)，如何求導(dǎo)數(shù)？

提示請完成《課時(shí)分層作業(yè)（三十三）》見第249頁

5.2.3 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]

情境與問題

海上一艘油輪發(fā)生了泄漏事故.泄出的原油在海面上形成一個(gè)圓形油膜，油膜的面積S（單位： m^{2} )是油膜半徑 \boldsymbol{r} （單位： \mathbf{m}. 的函數(shù)： S= \vdots f(r)=π r^{2}.

油膜的半徑 \boldsymbol{r} 隨著時(shí)間 \mathbf{\Psi}_{t} （單位：S)的增加而擴(kuò)大，假設(shè) \boldsymbol{r} 關(guān)于 \mathbf{\Psi}_{t}\mathbf{\Psi}_{\mathbf{\Psi}} 的函數(shù)為 r=\varphi(t)=2t +1 ：

思考：油膜的面積 s 關(guān)于時(shí)間 \mathbf{\Psi}_{t} 的瞬時(shí)變化率是多少？如何對該函數(shù)求導(dǎo)？

知識點(diǎn)1復(fù)合函數(shù)的概念

一般地，對于兩個(gè)函數(shù) \scriptstyle y=f(u) 和 \scriptstyle u=g(x) ，如果通過中間變量 u,y 可以表示成關(guān)于 x 的函數(shù),那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù) \operatorname{\boldsymbol{y}}=\operatorname{\boldsymbol{f}}(\operatorname{\boldsymbol{u}}) 和\scriptstyle u=g({\boldsymbol{x}}) 的復(fù)合函數(shù)，記作

思考函數(shù) y=\log_{2}(x+1) 是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的？

知識點(diǎn)2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

對于由函數(shù) \scriptstyle y=f(u) 和 \scriptstyle u=g(x) 復(fù)合而成的函數(shù) \scriptstyle y=f(g(x)) ，它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù) \scriptstyle y=f(u),u=

g(\boldsymbol{x}) 的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為 y_{~x}^{\prime}=\underbrace{\phantom{\left(iαU-R e^{-1}D^{2}\right)}}_{\qquad} 特別地,若 y=f(u),u=a x+b, 則 y_{it{x}}^{\prime}{=}y_{it{u}}^{\prime} ：u_{~_{x}}^{'} ,即 y_{it{x}}^{\prime}=\_

體驗(yàn)）1.思考辨析（正確的打“ \surd ”,錯(cuò)誤的打*_{\bigtriangledown}*_{\bigtriangledown}\mathfrak{v}_{\bigstar}

(1)函數(shù) y=\sin(π x) 的復(fù)合過程是 _{y=\sin{\ u}} ，u{=}{π}x. C ）

\left(2\right)f(x)=\ln(3x-1) ，則 f^{'}(x)={(1)/(3x^{-1)}}. (

(3)f(x)=x^{2}\cos2x ，則 f^{\prime}\left(x\right)=2x{\cos\ 2x}+ 2x^{2}\sin2x. ( ）

體驗(yàn)2.函數(shù) \scriptstyle y={(1)/((3x-1)^{2)}} 的導(dǎo)數(shù)是（ ）

體驗(yàn)）3.下列對函數(shù)的求導(dǎo)正確的是（

A. y=(1-2x)^{3} ，則 y^{\prime}{=}3(1{-}2x)^{2} B. y=\log_{2}(2x+1) ，則 y^{\prime}{=}(1)/((2x{+)1)\ln2} C * y=\cos{(x)/(3)} ,則y y^{\prime}{=}(1)/(3)sin\ (x)/(3) D. y=2^{2x-1} ，則 y^{\prime}{=}2^{2x}\ln{2}

類型1 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【例1】【鏈接教材P207例4】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y=e^{2x+1};(2)y={(1)/((2x-1)^{3)}}; (3)_{style y=5\log_{2}(1-x),(4)\displaystyle y=(\ln3x)/(e^{x)}.}

[嘗試解答]

反思領(lǐng)悟1.解答此類問題常犯的兩個(gè)錯(cuò)誤

(1)不能正確區(qū)分所給函數(shù)是否為復(fù)合函數(shù)；
(2)若是復(fù)合函數(shù)，不能正確判斷它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成.

2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的步驟

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(3)_{style y=x}√(1+{x^{2)}}.

1類型2三角函數(shù)型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【例2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=\cos(x)/(2)\Big(\sin(x)/(2)-\cos(x)/(2)\Big); (2){y}={x}^{2}+\tan{x}.

【嘗試解答]

配蘇教版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

反思領(lǐng)悟 三角函數(shù)型函數(shù)的求導(dǎo)要求

對三角函數(shù)型函數(shù)的求導(dǎo)，往往需要利用三角恒等變換公式，對函數(shù)式進(jìn)行化簡，再進(jìn)行求導(dǎo).復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則熟悉后，中間步驟可以省略，即不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過程，直接運(yùn)用公式，從外層開始由外到內(nèi)逐層求導(dǎo).

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y=\sin^{2}(x)/(3);(2)y=\sin^{3}x+\sin x^{3}; (3){y}=\cos^{4}{x}-\sin^{4}{x}.

類型3導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用

【例3】（1)曲線 y=f(x)=\ln(2x-1) 上的點(diǎn)到直線 2x-y+3=0 的最短距離是（ J

(2)設(shè)曲線 y=f(x)=e^{a x} 在點(diǎn)(0,1)處的切線與 直線 x+2y+1=0 垂直，則 a=

[嘗試解答]

【母題探究]

1.(變條件)本例(1)的條件變?yōu)椤扒€ y=\ddag f(x)=\ln(2x-1) 上的點(diǎn)到直線 2x-y+ m=0 的最小距離為 2{√(5)} ”，求 \mathbf{\Psi}_{m} 的值.

2.(變條件、變結(jié)論)把本例(1)條件變?yōu)椤叭糁本€ \scriptstyle y=k x+b 是 y=\ln x+2 的切線，也是 y=\ln(x+1) 的切線”，求 b 的值.

反思領(lǐng)悟 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題時(shí)的注意點(diǎn)

(1)求曲線過某一定點(diǎn)的切線方程或斜率時(shí)，首先應(yīng)判斷所給定點(diǎn)是不是切點(diǎn)，如果不是，需將切點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出.
(2)切點(diǎn)既在原函數(shù)的圖象上也在切線上，可將切點(diǎn)坐標(biāo)代入兩者的函數(shù)解析式建立方程組.(3)如果切線的斜率存在，那么函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率，這是求切線方程最重要的條件.
(4)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線不一定是曲線的切線，曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)不一定只有一個(gè).

1.函數(shù) y=(2~024-8x)^{3} 的導(dǎo)數(shù) y^{\prime}= （

A. 3(2\ 024-8x)^{2} B. -24x C.-24(2\ 024-8x)^{2} ~D.24(2\ 024-8x)^{2}

2.函數(shù) y=x^{2}\cos2x 的導(dǎo)數(shù)為

A. y^{\prime}{=}2xcos~2x{-}x^{2}\sin~2x
B. y^{\prime}{=}2xcos~2x{-}2x^{2}\sin~2x
C. y^{\prime}{=}x^{2}\cos2x{-}2x\sin2x
D. y^{\prime}{=}2xcos~2x{+}2x^{2}\sin~2x

3.已知 f(x)=\ln{(3x-1)} ，則 f^{\prime}\left(1\right)=

4.已知 f(x)=xe^{-x} ，則 f(x) 在 \scriptstyle x=2 處的切線 斜率是

5.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y{=}e^{2x};(2)y{=}(1{-}3x)^{3}.

課堂小結(jié)

回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：

1.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是什么？
2.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需要注意什么？

提示請完成《課時(shí)分層作業(yè)（三十四）》見第251頁

5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

5.3.1 單調(diào)性

[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]

情境與問題

觀察 y=\_x-1,y=\quad{}_{y=-3x+1} 2x+1 ， y=-3x+1 的圖象并回答以下問題：

① 這3個(gè)函數(shù)圖象都是直線，其斜率分別是多少？其值有何特點(diǎn)？單調(diào)性如何？

② 分別求出這3個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并觀察其導(dǎo)數(shù)值有何特點(diǎn).

知識點(diǎn) 函數(shù) f(x) 的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù) f^{'}(x) 正負(fù)的關(guān)系

對于函數(shù) y=f(x) ,如果在某區(qū)間上 f^{'}(x) {>}0 ，那么 f(x) 在該區(qū)間上單調(diào)遞增，即f(x) 為該區(qū)間上的 函數(shù)；

如果在某區(qū)間上 f^{'}(x) 0,那么 f(x) 在該區(qū)間上單調(diào)遞減，即 f(x) 為該區(qū)間上的減函數(shù).

上述結(jié)論可以用下圖來直觀理解.

思考如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有 \boldsymbol{f}^{\prime}(\boldsymbol{x})=0 ，那么函數(shù) f(x) 有什么特性？

體驗(yàn)）1.思考辨析（正確的打“ \surd ”,錯(cuò)誤的打*_{\bigtriangledown}*\boldsymbol{\mathsf{V}}_{\bigstar}^{\flat})

(1)函數(shù) f(x) 在區(qū)間 (a,b) 上都有 f^{\prime}(x){<}0 ，則函數(shù) f(x) 在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減．（）

(2)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)越大，函數(shù)在該點(diǎn)處的切線越“陡峭”. ）

(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上變化越快，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的絕對值越大. （）

(4)判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)，在區(qū)間內(nèi)的個(gè)別點(diǎn) f^{'}(x) \scriptstyle=0 ,不影響函數(shù)在此區(qū)間的單調(diào)性. （）

體驗(yàn)2.函數(shù) f(x){=}2x{-}\sin x 在 (-∞,+∞) 上 ( ）

A.單調(diào)遞增 B.單調(diào)遞減C.先增后減 D.不確定體驗(yàn)3.導(dǎo)函數(shù) y=f^{\prime}(x) 的圖象如圖所示，則函數(shù) y \b=f(\b{x}) 的圖象可能是（ ）

體驗(yàn)4.已知函
數(shù) f(x) 的導(dǎo)函數(shù) 301
y=f^{\prime}\left({\boldsymbol{\mathbf{\mathit{x}}}}\right) 的圖象
如圖所示，則函數(shù) f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間是

(2）已知函數(shù) \scriptstyle y=f(x) 的圖象是下列四個(gè)圖象之一,且其導(dǎo)函數(shù) \scriptstyle{y=f^{\prime}(x)} 的圖象如圖所示,則該函數(shù)的圖象是 ( ）

[嘗試解答]

反思領(lǐng)悟1.研究函數(shù)圖象與其導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系的著手點(diǎn)

研究一個(gè)函數(shù)圖象與其導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系時(shí)，注意抓住各自的關(guān)鍵要素.對于原函數(shù)，要注意其圖象在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增、在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；而對于導(dǎo)函數(shù)，則應(yīng)注意其函數(shù)值在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)大于零，在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)小于零，并分析這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致.

2.通過圖象研究函數(shù)單調(diào)性的方法

（1）觀察原函數(shù)的圖象重在找出“上升”“下降”產(chǎn)生變化的點(diǎn)，分析函數(shù)值的變化趨勢；(2)觀察導(dǎo)函數(shù)的圖象重在找出導(dǎo)函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)，分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù).

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

1.已知 y=x f^{\prime}\left(\boldsymbol{\mathbf{\mathit{x}}}\right) 的圖象如圖所示(其中 f^{'}(x) 是函數(shù) f(x) 的導(dǎo)函數(shù))，下面四個(gè)圖象中， y=f(x) 的圖象大致是 ( ）

類型2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【例2】【鏈接教材P213例2】

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：\left(1\right)f(x)=3x^{2}-2lnx;\left(2\right)f(x)=x^{2}e^{-x}.

嘗試解答］

反思領(lǐng)悟 用解不等式法求單調(diào)區(qū)間的步驟

(1)確定函數(shù) f(x) 的定義域；
(2)求導(dǎo)函數(shù) f^{\prime}(x) ；
(3)解不等式 f^{\prime}(x)>0 （或 f^{\prime}\left(x\right)<0) ，并寫出解集；
(4)根據(jù)(3)的結(jié)果確定函數(shù) f(x) 的單調(diào)區(qū)間.

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[跟進(jìn)訓(xùn)練]

2.求函數(shù) f(x)=x^{2}-\ln\ x 的單調(diào)區(qū)間.

跟進(jìn)訓(xùn)練]

3.試求函數(shù) f(x)=k x-\ln x 的單調(diào)區(qū)間.

類型3含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的討論

【例3】設(shè) g(x)=\ln x-a x^{2}+(a-2)x,a<0, 試討論函數(shù) g(x) 的單調(diào)性.

[嘗試解答]

類型4已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

的范圍

【例4】已知函數(shù) f(x)=x^{3}-a x-1 為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.

嘗試解答］

反思領(lǐng)悟 利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù) f(x) 的單調(diào)區(qū)間的一般步驟

(1)確定函數(shù) f(x) 的定義域；
(2)求導(dǎo)數(shù) f^{\prime}(x) ；
(3)分析參數(shù)對區(qū)間端點(diǎn)、最高次項(xiàng)的系數(shù)的影響，以及不等式解集的端點(diǎn)與定義域的關(guān)系，恰當(dāng)確定參數(shù)的不同范圍，并進(jìn)行分類討論；
(4)在不同的參數(shù)范圍內(nèi)，解不等式 f^{\prime}(x)> 0和 f^{\prime}(x){<}0 ,確定函數(shù) f(x) 的單調(diào)區(qū)間.

【母題探究]

1.(變條件)若函數(shù) f(x)=x^{3}-a x-1 的單 調(diào)遞減區(qū)間為 (-1,1) ，求 a 的取值范圍.

2.(變條件)若函數(shù) f(x)=x^{3}-a x-1 在 （一1,1)上單調(diào)遞減，求 \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范圍.

3．（變條件)若函數(shù) f(x)=x^{3}-a x-1 在 （一1,1)上不單調(diào)，求 \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范圍.

反思領(lǐng)悟1．已知 f(x) 在區(qū)間 (a,b) 上的單調(diào)性，求參數(shù)范圍的方法

(1)利用集合的包含關(guān)系處理 f(x) 在 (a ，b )上單調(diào)遞增(減)的問題，則區(qū)間 (a,b) 是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集；
(2)利用不等式的恒成立處理 f(x) 在 (a ，b )上單調(diào)遞增（減）的問題，則 f^{\prime}\left(x\right)>=slant0 (f^{\prime}(x)<=slant0) 在 (a,b) 內(nèi)恒成立，注意驗(yàn)證等號是否成立.

2.解答本題注意：可導(dǎo)函數(shù) f(x) 在 (a,b) 上單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）的充要條件是f^{\prime}(x)>=slant0 （或 f^{\prime}(x)<=slant0) 在 (a,b) 上恒成立，且 f^{\prime}(x) 在 (a,b) 的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.

1.設(shè)函數(shù) f(x) 的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù) f^{'}(x) 的圖象可能為( ）

A.e2 B. e C.e-1 D.e-2

2.函數(shù) f(x)=(x{-}3)e^{x} 的單調(diào)遞增區(qū)間是( >

A. (-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞)

3.已知函數(shù) f(x)=ae^{x}-\ln\ x 在區(qū)間(1,2)單調(diào)遞增，則 a 的最小值為 ( ）

4.函數(shù) f(x)={(1)/(2)}x^{2}-\ln\ x x2-ln x 的單調(diào)遞減區(qū)間為

5.已知函數(shù) f(x)=ae^{2x}+\left(a-2\right)e^{x}-x ,討論f(x) 的單調(diào)性.

課堂小結(jié)

回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：

1.函數(shù) f(x) 在區(qū)間 (a,b) 上的單調(diào)性與f^{\prime}(x) 的符號有什么關(guān)系？

2.如何判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性？

5.3.2 極大值與極小值

[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]

情境與問題

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”.說的是廬山的高低起伏，錯(cuò)落有致，在群山之中，各個(gè)山峰的頂端，雖不一定是群山的最高處，但它卻是其附近的最高點(diǎn).由此聯(lián)想廬山的連綿起伏形成好多的“峰點(diǎn)”與“谷點(diǎn)”.這就是我們這節(jié)課研究的函數(shù)的極值.

知識點(diǎn)1極大值與極小值

(1)極大值：一般地,若存在 δ>0 ，當(dāng) x\in(x_{1} -δ,x_{1}+δ) 時(shí)，都有 f(x) f(x_{1}) ，則稱 f(x_{1}) 為函數(shù) f(x) 的一個(gè)極大值.

(2)極小值：一般地,若存在 δ>0 ，當(dāng) x\in(x_{1} -δ,x_{1}+δ) 時(shí),都有 f(x) f(x_{1}) ，則稱 f(x_{1}) 為函數(shù) f(x) 的一個(gè)極小值.

體驗(yàn)）1.思考辨析（正確的打“ \surd ”,錯(cuò)誤的打*_{x}\mathfrak{v}_{)}

(1)極大值一定比極小值大.

(2)每一個(gè)函數(shù)都至少有一個(gè)極大值或極小值.Y

(3)單調(diào)函數(shù)不存在極值.

知識點(diǎn)2 函數(shù)極大值、極小值與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

(1)極大值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

(2)極小值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

體驗(yàn)）2.（多選題）下列四個(gè)函數(shù)中，在 x= 0處取得極值的是

A. \scriptstyle y=x^{3} \scriptstyle\therefore y=x^{2}+1 C \therefore y=\left|{x}\right| D.\it{y}{=}2^{x}

體驗(yàn) 3.函數(shù) f\left(x\right)=x+2\cos x 在\left[0,{(π)/(2)}\right] 上的極大值為 ( >

A. f(0) \begin{array}{l}{{B.~f\big((π)/(6)\big)}}\\ {{~}}\\ {{~D.~f\big((π)/(2)\big)}}\end{array} C f{\Big(}{(π)/(3)}{\Big)}

類型1不含參數(shù)的函數(shù)求極值

【例1】【鏈接教材P215例4】求下列函數(shù)的極值：(1){{y}}={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+5{{;}} (2){y}{=}{x}^{3}({x}{-}5)^{2}.

[嘗試解答]

反思領(lǐng)悟求函數(shù) y{=}f(x) 的極值的步驟(1)求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù) f^{'}(x) ；

(2)解方程 f^{'}(x)=0 ,得方程的根 x_{0} （可能不止一個(gè))；
(3)用方程 f^{\prime}(x)=0 的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開區(qū)間，可將 x,f^{\prime}\left(x\right) ，f(x) 在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化情況列在同一個(gè)表格中；
(4)由 f^{'}\left(x\right) 在各個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號，判斷f(x) 在 f^{'}(x)=0 的各個(gè)根處的極值情況：如果左正右負(fù)，那么函數(shù) f(x) 在這個(gè)根處取得極大值；
如果左負(fù)右正，那么函數(shù) f(x) 在這個(gè)根處取得極小值；
如果導(dǎo)數(shù)值在這個(gè)根左右兩側(cè)同號，那么函數(shù)在這個(gè)根處不能取得極值.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

1.求函數(shù) f(x)=3x^{3}-3x+1 的極值.

類型2含參數(shù)的函數(shù)求極值

【例2】已知函數(shù) f(x)=16x^{3}-20a x^{2}+8a^{2}x -\boldsymbol{a}^{3} ,其中 a\ne0 ，求 f(x) 的極值.

嘗試解答］

配蘇教版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

反思領(lǐng)悟求含參數(shù)的函數(shù)極值的注意點(diǎn) 反思領(lǐng)悟 已知函數(shù)極值求參數(shù)的方法

求解析式中含有參數(shù)的函數(shù)極值時(shí)，有時(shí)需要用分類討論的思想才能解決問題.討論的依據(jù)有兩種：一是看參數(shù)是否對 f^{'}(x) 的零點(diǎn)有影響，若有影響，則需要分類討論；二是看 f^{\prime}(x) 在其零點(diǎn)附近的符號的確定是否與參數(shù)有關(guān)，若有關(guān)，則需要分類討論.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

2.若函數(shù) f(x)=x-aln\ x\left(a\in\mathbf{R}\right) ，求函數(shù)f(x) 的極值.

類型3由極值求參數(shù)的值或取值范圍

【例3】（1)已知函數(shù) f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+ a^{2} 在 \scriptstyle x=1 處取極值10,則 a= ( ）

A.4或-3 B.4或-11
C.4 D.-3

(2)若函數(shù) f(x)={(1)/(2)}x^{2}+(a-1)x-a\ln x 有極值,則 ( ）

A. a=-1 B.a≥0
C. a<-1 D.-1<a<0

[嘗試解答]對于已知可導(dǎo)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，解題的切入點(diǎn)是極值存在的條件：若 f(x_{0}) 是函數(shù)的極值,那么 f^{\prime}(x_{0})=0 ，且 x_{0} 兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號.

(1)已知可導(dǎo)函數(shù)的極值求參數(shù)問題的解題步驟：
① 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f^{'}(x) ；
② 由 f^{\prime}(x_{0})=0 ,列出方程（組），求解參數(shù).注意：求出參數(shù)后，一定要驗(yàn)證是否滿足題目的條件.
(2)對于函數(shù)無極值的問題，往往轉(zhuǎn)化為f^{\prime}(x){>=slant}0 或 f^{\prime}(x){<=slant}0 在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題，此時(shí)需注意不等式中的等號是否成立.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

3.若函數(shù) f(x)=x(x-m)^{2} 在 x=2 處取得極大值，求函數(shù) f(x) 的極大值.

類型4極值問題的綜合應(yīng)用

【例4】已知函數(shù) f(x)=x^{3}-3x+a(a 為實(shí)數(shù)），若方程 f(x)=0 有三個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù) \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范圍.

嘗試與發(fā)現(xiàn)

從函數(shù) f(x)=x^{3}-3x+a(a 為實(shí)數(shù))的圖象觀察，若方程 f(x)=0 有三個(gè)不同實(shí)根，其極大值與極小值應(yīng)滿足什么條件？

[嘗試解答］

母題探究]

1.(變條件)本例中，若方程 f(x)=0 恰有兩個(gè)根，則實(shí)數(shù) \mathbf{\Delta}_{a} 的值如何求解？

2.(變條件)本例中，若方程 f(x)=0 有且只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù) a 的范圍.

3.(變條件、變結(jié)論)討論方程 {(\ln x)/(x)}=a lnα=α的根 的情況.

反思領(lǐng)悟 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

(1)利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性；
(2)研究函數(shù)的極值情況；
(3)在上述研究的基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖象；
(4)直觀上判斷函數(shù)的圖象與 x 軸的交點(diǎn)或兩個(gè)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).若含有參數(shù)，則需要討論極值的正負(fù).

1.函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)镽,它的導(dǎo)函數(shù) y=f^{\prime}\left({\boldsymbol{x}}\right) 的部分圖象如圖所示，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是 ( ）

A.在(1,2)上函數(shù) f(x) 單調(diào)遞增B.在(3,4)上函數(shù) f(x) 單調(diào)遞減C.在(1,3)上函數(shù) f(x) 有極大值D. f(3) 是函數(shù) f(x) 在區(qū)間[1,5]上的極小值

2.設(shè)函數(shù) f(x)=xe^{x} ，則

A. f(1) 為 f(x) 的極大值B. f(1) 為 f(x) 的極小值C. f(-1) 為 f(x) 的極大值D. f(-1) 為 f(x) 的極小值

3.已知函數(shù) f(x)=x^{3}+3a x^{2}+3\left(a+2\right)x+1 既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù) a 的取值范 圍是

4.已知函數(shù) f(x)=2ef^{\prime}(e)\ln x-{(x)/(e)} ,則函數(shù)f(x) 的極大值為

課堂小結(jié)

回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：

1.極大值與極小值的概念是什么？
2.求函數(shù)的極值的步驟是什么？

提示請完成《課時(shí)分層作業(yè)（三十六）》見第255頁

5.3.3 最大值與最小值

第1課時(shí) 最大值與最小值

[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]

情境與問題

如圖為函數(shù) y=f(x),x\in[a,b] 的圖象.

思考：(1)觀察區(qū)間 [a,b] 上函數(shù) y=f(x) 的圖象，試找出它的極大值、極小值.

(2)結(jié)合圖象判斷，函數(shù) y=f(x) 在區(qū)間\left\{[a,b]\right. 上是否存在最大值、最小值？若存在，分別為多少？

知識點(diǎn)1最大值與最小值

(1)如果在函數(shù)定義域 I 內(nèi)存在 x_{0} ，使得對任意的 x\in I ，總有 ，那么 f(x_{0}) 為函數(shù)在定義域上的最大值.最大值是相對函數(shù)定義域整體而言的，如果存在最大值，那么最大值

(2)如果在函數(shù)定義域 I 內(nèi)存在 x_{0} ，使得對任意的 x\in I ，總有 ，那么 f(x_{0}) 為函數(shù)在定義域上的最小值.最小值是相對函數(shù)定義域整體而言的，如果存在最小值，那么最小值

[知識拓展］ 函數(shù)的極值與最值的區(qū)別

函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念，最大值必須是整個(gè)區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最大值；最小值必須是整個(gè)區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最小值.

函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最值只能有一個(gè)；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)取得；有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值.

知識點(diǎn)2 求函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 [a,b] 上的最值的步驟

第一步求 f(x) 在區(qū)間 (a,b) 上的
第二步 將第一步中求得的 與比較，得到 f(x) 在區(qū)間
[a,b] 上的最大值與最小值.

體驗(yàn)1.函數(shù) f(x)={(x)/(e^{x)}} 在區(qū)間[2,4]上的最小值為 ( ）

1 (4)/(e^{4)} (2)/(e^{2)} A.0 B. C· D. e

體驗(yàn)2.如圖所示，函數(shù)f(x) 的導(dǎo)函數(shù)圖象是一條直線，則 （）

A.函數(shù) f(x) 沒有最大值也沒有最小值B.函數(shù) f(x) 有最大值，沒有最小值C.函數(shù) f(x) 沒有最大值，有最小值D.函數(shù) f(x) 有最大值也有最小值體驗(yàn)3.函數(shù) y=3x-4x^{3} 在區(qū)間[0,2]上的最大值是 ( ）

A.1 B.2 C.0 D.-1

[嘗試解答]

配蘇教版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

角度2含參數(shù)的函數(shù)最值

【例2】 設(shè)函數(shù) f(x)=1+(1+a)x-x^{2}-x^{3} 其中 a{>}0 ：

(1)討論 f(x) 在其定義域上的單調(diào)性；

(2)當(dāng) x\in[0,1] 時(shí)，求 f(x) 取得最大值和最小值時(shí)的 x 的值.

[思路探究] （1）求導(dǎo)后，觀察 \varDelta 的符號討論單調(diào)性.

(2)根據(jù)第（1）問，討論極值點(diǎn)與區(qū)間的關(guān) 系，從而求出最值，進(jìn)而求出取最值時(shí) x 的值.

[嘗試解答]

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

1.已知函數(shù) f(x)=e^{x}\cos x-x.

(1)求曲線 y=f(x) 在點(diǎn) (0,f(0)) 處的切線方程；

(2)求函數(shù) f(x) 在區(qū)間 \left[0,{(π)/(2)}\right] 上的最大值和最小值.

反思領(lǐng)悟 求函數(shù)最值的著眼點(diǎn)

(1)從極值點(diǎn)和端點(diǎn)處找最值求函數(shù)的最值需先確定函數(shù)的極值，如果只是求最值，那么就不需要討論各極值是極大值還是極小值，只需將各極值和端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較即可求出最大值和最小值.

(2)單調(diào)區(qū)間取端點(diǎn)

當(dāng)圖象連續(xù)不斷的函數(shù) f(x) 在 [a,b] 上單調(diào)時(shí)，其最大值和最小值分別在兩個(gè)端點(diǎn)處取得.

類型2用導(dǎo)數(shù)證明不等式

【例3】 當(dāng) x{>}0 時(shí)，證明：不等式 \ln(x+1)>x -{(1)/(2)}x^{2}.

[思路探究］利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，首先要構(gòu)造兩邊式子的差為新函數(shù) f(x)=\ln(x+ 1)-x+{(1)/(2)}x^{2}
f(x){>}0 在 x{>}0 時(shí)恒成立.

[嘗試解答]

反思領(lǐng)悟 證明不等式 f(x){\>}g(x),x{\in}(a b )的步驟

(1)將要證明的不等式 f(x)>g(x) 移項(xiàng)可以轉(zhuǎn)化為證明 f(x)-g(x){>}0 ；
(2)構(gòu)造函數(shù) F(x)=f(x)-g(x) ，研究F(x) 的單調(diào)性；
(3)若 [f(x)-g(x)]^{\prime}{>}0 ,說明函數(shù) F(x)= f(x)-g(x) 在 (a,b) 上單調(diào)遞增，只需保證F(a){>}0 ；
(4)若 [f(x)-g(x)]^{\prime}{<}0 ，說明函數(shù) F(x)= f(x)-g(x) 在 (a,b) 上單調(diào)遞減，只需保證F(b)>0 ，

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

2.證明不等式 x^{-}\sin x{<}\tan x^{-}x,x{\in}\Big(0,(π)/(2)\Big).

類型3 已知函數(shù)最值求參數(shù)

【例4】已知函數(shù) f(x)=a x^{3}-6a x^{2}+b(a> 0）， x\in[-1,2] 的最大值是3，最小值為-29. 求 {\mathbf{\Omega}}_{a,b} 的值.

嘗試解答］

母題探究]

1.（變條件）本例中“ a>0 ”改為“ a<0^{,} ，求 α,b的值.

2.(變條件,變結(jié)論)設(shè)函數(shù) f(x)=t x^{2}+f 2t^{2}x+t-1 的最小值為 h\left(t\right) ，且 h\left(t\right)<\ddag -2t+m 對 t\in(0,2) 恒成立,求實(shí)數(shù) \mathbf{\nabla}_{m} 的取值范圍.

1.函數(shù) \scriptstyle y={(\ln\ x)/(x)} n的最大值為 （

A.e-1 B. e C.e2 D.10

2.若函數(shù) f(x)=x^{3}-x^{2}-x+2m 在區(qū)間[0,2]上的最大值是4,則 \mathbf{\Sigma}_{m} 的值為 ( ）

A.3 B.1 C.2 D.-1

3.設(shè)函數(shù)f(x)=x2－ f(x)=x^{3}-{(x^{2})/(2)}-2x+5 ，若對任意 x \in[-1,2] ,都有 f(x)>m ,則實(shí)數(shù) \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范圍是

4.已知 \mathbf{\Delta}_{a} 是實(shí)數(shù)，函數(shù) f(x)=x^{2}\left(x-a\right) ，求f(x) 在區(qū)間[0,2]上的最大值.

反思領(lǐng)悟由函數(shù)的最值來確定參數(shù)的值或取值范圍是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問題的逆向運(yùn)用，這類問題的解題步驟是：

(1)求導(dǎo)數(shù) f^{\prime}(x) ，并求極值；
(2)利用單調(diào)性，將極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，確定函數(shù)的最值，若參數(shù)的變化影響著函數(shù)的單調(diào)性，要對參數(shù)進(jìn)行分類討論；
(3)利用最值列關(guān)于參數(shù)的方程（組），解方程(組)即可.

課堂小結(jié)

回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：

1.求函數(shù)最值的步驟有哪些？
2.當(dāng)函數(shù)的解析式中含有參數(shù)時(shí)，如何求函數(shù)的最值？

提示請完成《課時(shí)分層作業(yè)（三十七）》見第257頁

第2課時(shí) 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)有關(guān)問題及實(shí)際生活中的應(yīng)用

[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]

情境與問題

學(xué)校或班級舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳.現(xiàn)設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128~dm^{2} ,上、下兩邊各空 2~dm ，左、右兩邊各空 1\ dm. 如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空心面積最?。?/p>

知識點(diǎn)1 函數(shù)圖象的畫法

函數(shù) f(x) 的圖象直觀地反映了函數(shù) f(x) 的性質(zhì).通常，按如下步驟畫出函數(shù) f(x) 的圖象：

(1)求出函數(shù) f(x) 的定義域；
(2)求導(dǎo)數(shù) f^{'}(x) 及函數(shù) f^{'}(x) 的零點(diǎn)；
(3)用 f^{\prime}(x) 的零點(diǎn)將 f(x) 的定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，列表給出 f^{\prime}(x) 在各區(qū)間上的正負(fù)，并得出 f(x) 的單調(diào)性與極值；
(4)確定 f(x) 的圖象所經(jīng)過的一些特殊點(diǎn)，以及圖象的變化趨勢；
(5）畫出 f(x) 的大致圖象.

知識點(diǎn)2用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路

[知識拓展］ 解決生活中優(yōu)化問題應(yīng)注意的問題

(1)在建立函數(shù)模型時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際問題確定出函數(shù)的定義域.
(2)求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí)，一定要從問題的實(shí)際意義去考查，不符合實(shí)際意義的應(yīng)舍去，如：長度、寬度應(yīng)大于0，銷售價(jià)為正數(shù)等.

體驗(yàn)）1.煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第 x 小時(shí)，\ensuremath{^\circ}C f(x)={(1)/(3)}x^{3}-x^{2}+8 (0<=slant x<=slant5) ，那么原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是 ( ）

A.8 B.{(20)/(3)}\qquadC.-1\qquadD.-8 體驗(yàn)2.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤 y （單位：萬元)與年產(chǎn)量 x （單位：萬件）的函數(shù)關(guān)y=-(1)/(3)x^{3}+81x-234. 廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為 ( J

A.13萬件 B.11萬件C.9萬件 D.7萬件

類型1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象

【例1】 函數(shù) y={(x^{3})/(e^{x)}} （其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的大致圖象是 C ）

[嘗試解答]

反思領(lǐng)悟 由解析式研究圖象常用的方法

根據(jù)解析式判斷函數(shù)的圖象時(shí)，綜合應(yīng)用各種方法，如判斷函數(shù)的奇偶性、定義域、特殊值和單調(diào)性，有時(shí)還要用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，甚至最值等.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

1.函數(shù) f(x)=e^{x^{2}}-2x^{2} 的圖象大致為（ ）

類型2用導(dǎo)數(shù)研究方程的根

【例2】 設(shè)函數(shù) f(x)={(x^{2})/(2)}-k\ln\ x,k>0.

(1)求 f(x) 的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)證明：若 f(x) 存在零點(diǎn)，則 f(x) 在區(qū)間(1,{√(e)}] 上僅有一個(gè)零點(diǎn).

【嘗試解答]

反思領(lǐng)悟 與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的問題

與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)判斷函數(shù)的大致圖象，討論圖象與 x 軸的位置關(guān)系（或者轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題），確定參數(shù)的取值范圍.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

2.若方程 a^{x}=x(a>0,a\neq1) 有兩個(gè)不等實(shí)根， 求實(shí)數(shù) \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范圍.

類型3導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活問題中的應(yīng)用

角度1用料最省、成本(費(fèi)用)最低問題【例3】【鏈接教材P219例9】為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用 c （單位：萬元）與隔熱層厚度 z（單位;cm)滿足關(guān)系;C(x)=3+5\scriptstyle(0<=slant x<=slant10) ），若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元.設(shè) f(x) 為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.

(1)求 k 的值及 f(x) 的表達(dá)式；
(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用 f(x) 達(dá)到最?。坎⑶笞钚≈?
[思路探究］（1）由 C(0)=8 可求 k 的值，從而求出 f(x) 的表達(dá)式.

(2)求函數(shù)式 f(x) 的最小值.

嘗試解答］

反思領(lǐng)悟 求解優(yōu)化問題中的最小值問題的思路

在實(shí)際生活中關(guān)于用料最省、費(fèi)用最低、損耗最小、用時(shí)最短等問題，一般情況下都需要利用導(dǎo)數(shù)求解相應(yīng)函數(shù)的最小值.若求出極值點(diǎn)（注意根據(jù)實(shí)際意義舍去不合適的極值點(diǎn)）后，函數(shù)在該點(diǎn)附近滿足“左減右增”，則此時(shí)唯一的極小值就是所求的函數(shù)的最小值.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

3.已知 A,B 兩地相距200千米，一只船從 A 地逆水航行到 B 地，水速為8千米/時(shí)，船在靜水中的航行速度為 \boldsymbol{v} 千米/時(shí) (8<v<=slant v_{0} .若船每小時(shí)航行所需的燃料費(fèi)與其在靜水中的航行速度的平方成正比，當(dāng) \scriptstyle{v=12} 千米/時(shí)時(shí)，船每小時(shí)航行所需的燃料費(fèi)為720元.為了使全程燃料費(fèi)最省，船在靜水中的航行速度 \scriptstyle{\boldsymbol{v}} 應(yīng)為多少？

角度2利潤最大、效率最高問題

【例4】【鏈接教材P220例10】

某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量 y （單位：千克）與銷售價(jià)格 x （單位;元/千克)滿足關(guān)系式 y={(a)/(x-3)}+10(x- 6)^{2} ,其中 3<x<6,a 為常數(shù).已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克.(1)求 a 的值；
(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格 x 的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.

嘗試與發(fā)現(xiàn)

1.在實(shí)際問題中，如果在定義域內(nèi)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則函數(shù)在該點(diǎn)處取最值嗎？

2.你能列舉幾個(gè)有關(guān)利潤的等量關(guān)系嗎？

【嘗試解答]

反思領(lǐng)悟利潤最大問題是生活中常見的一類問題，一般根據(jù)“利潤 \c= 收入一成本”建立函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求最大值.解此類問題需注意兩點(diǎn)： ① 價(jià)格要大于或等于成本，否則就會(huì)虧本； ② 銷量要大于0，否則不會(huì)獲利.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

4.某電子公司開發(fā)一種智能手機(jī)的配件，每個(gè)配件的成本是15元，銷售價(jià)是20元，月平均銷售 \mathbf{\Delta}_{a} 件，通過改進(jìn)工藝，每個(gè)配件的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高.市場分析的結(jié)果表明，如果每個(gè)配件的銷售價(jià)提高的百分率為 x(0<x<1) ,那么月平均銷售量減少的百分率為 x^{2} ,記改進(jìn)工藝后該電子公司銷售該配件的月平均利潤是 y （元）.

(1)寫出 _y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式；

（2）改進(jìn)工藝后，試確定該智能手機(jī)配件的售價(jià)，使電子公司銷售該配件的月平均利潤最大.

1.某箱子的體積與底面邊長 x 的關(guān)系為 V(x) =x^{2}\Big((60-x)/(2)\Big)(0<x<60) ,則當(dāng)箱子的體積最大時(shí)，箱子底面邊長為 C >

A.30 B. 40 C.50 D. 60

2.設(shè)函數(shù) f(x) 的導(dǎo)函數(shù)為 f^{\prime}\left(x\right) ，若 f(x) 為偶函數(shù)，且在（0，1）上存在極大值，則f^{'}(x) 的圖象可能為 ( ）

3.若方程 x^{3}-3x+m=0 在[0,2]上有解,則實(shí)數(shù) \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范圍是 ( ）

A.[-2,2]
B. [0,2]
C.[-2,0]
D.(—∞0,-2)U(2,+∞)

4.已知某矩形廣場面積為4萬平方米，則其周長至少為 米.

課堂小結(jié)

回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：

1.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題的一般方法是什么？
2.利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問題的一般方法是什么？

提示請完成《課時(shí)分層作業(yè)（三十八）》見第259頁

章末 綜合提升

鞏固層·知識整合

提升層·題型探究

類型1 導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一點(diǎn)處的切線方程 y -y_{0}=f^{\prime}(x_{0})\bullet(x-x_{0}) ,明確“過點(diǎn) P(x_{0} ，y_{0} )的曲線 y=f(x) 的切線方程”與“在點(diǎn)P(x_{0},y_{0}) 處的曲線 \scriptstyle y=f(x) 的切線方程”的異同點(diǎn).

2．圍繞著切點(diǎn)有三個(gè)等量關(guān)系：切點(diǎn) (\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{y}_{0}) ，則 k{=}f^{\prime}(x_{0}),y_{0}{=}f(x_{0}),(x_{0},y_{0}) 滿足切線方程，在求解參數(shù)問題中經(jīng)常用到.

【例1】已知函數(shù) f(x)=x^{3}+x-16.

(1)求曲線 y=f(x) 在點(diǎn) (2,-6) 處的切線方程；
(2)直線 \mathbf{\xi}_{l} 為曲線 y=f(x) 的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線 \mathbf{\xi}_{l} 的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)如果曲線 y=f(x) 的某一切線與直線 _y =-{(1)/(4)}x+3 x十3垂直,求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程.

[嘗試解答]

類型2 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

利用導(dǎo)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍時(shí)，要充分利用 f(x) 與其導(dǎo)數(shù) f^{\prime}(x) 之間的對應(yīng)關(guān)系，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等知識求解，

求解參數(shù)范圍的步驟為：

(1)對含參數(shù)的函數(shù) f(x) 求導(dǎo)，得到 f^{\prime}(x) (2)若函數(shù) f(x) 在 (a,b) 上單調(diào)遞增，則f^{\prime}(x){>=slant}0 恒成立;若函數(shù) f(x) 在 (a,b) 上單調(diào)遞減，則 f^{\prime}(x){<=slant}0 恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，解出參數(shù)范圍；(3）驗(yàn)證參數(shù)范圍中取等號時(shí)，是否恒有f^{\prime}(x)=0 .若 f^{'}(x)=0 恒成立,則函數(shù) f(x) 在 (a,b) 上為常函數(shù)，舍去此參數(shù)值.

【例2】（1)若函數(shù) f(x)=x-{(1)/(3)}\sin2x+a\sin x 在 (-∞,+∞) 上單調(diào)遞增,則 \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范圍是 ( ）

A.[—1,1] B,\left[-1,(1)/(3)\right] C \left[-{(1)/(3)},{(1)/(3)}\right] D.\left[-1,-(1)/(3)\right] (2)設(shè)函數(shù) f^{'}(x) 是奇函數(shù) f(x)\left(x{\in}\mathbf{R}\right) 的導(dǎo)函數(shù)， f(-1)=0 ，當(dāng) \mathbf{\sigma}_{x>0} 時(shí)， x f^{\prime}(x)-f(x) {<}0 ,則使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范圍是 ( ）

A. (-∞,-1)\cup(0,1)
B. (-1,0)\cup(1,+∞)
C. (-∞,-1)\cup(-1,0)
D. (0,1)\bigcup(1,+∞)

[嘗試解答]

類型3函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)

1.求連續(xù)函數(shù) f(x) 在區(qū)間 [a,b] 上的最值的方法(1)若函數(shù) f(x) 在區(qū)間 [a,b] 上單調(diào)遞增或遞減，則 f(a) 與 f(b) 一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值；(2)若函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 [a,b] 內(nèi)有極值，則要先求出 [a,b] 上的極值，再與 f(a),f(b) 比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.
2.已知函數(shù)的極值（最值）情況求參數(shù)的值（取值范圍)的方法根據(jù)極值和最值的關(guān)系，與最值有關(guān)的問題一般可以轉(zhuǎn)化為極值問題.已知 f(x) 在某點(diǎn)x_{0} 處有極值，求參數(shù)的值（取值范圍)時(shí)，應(yīng)逆向考慮，可先將參數(shù)當(dāng)作常數(shù)，按照求極值的一般方法求解，再依據(jù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，列等式(不等式)求解.

【例3】已知函數(shù) f(x)=x^{3}+a x^{2}+b 的圖象上一點(diǎn) P(1,0) 且在點(diǎn) P 處的切線與直線 3x +y=0 平行.

(1)求函數(shù) f(x) 的解析式；

嘗試解答]

(2)求函數(shù) f(x) 在區(qū)間 [0,t] C \scriptstyle0<t<3) 上的最大值和最小值.

[嘗試解答］

類型4導(dǎo)數(shù)在生活中的應(yīng)用

解決優(yōu)化問題的步驟

(1)要分析問題中各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并確定函數(shù)的定義域.(2)要通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值與最值，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個(gè)過程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具.(3)驗(yàn)證數(shù)學(xué)問題的解是否滿足實(shí)際意義.

【例4】如圖，曲線AH是一條居民平時(shí)散步的小道，小道兩旁是空地，當(dāng)?shù)卣疄榱素S富居民的業(yè)余生活，要在小道兩旁規(guī)劃出兩塊地來修建休閑活動(dòng)場所.已知空地ABCD和規(guī)劃的兩塊用地（陰影區(qū)域)都是矩形， A B=144,A D=150 ，C H=30 ，若以 A B 所在直線為 x 軸， A 為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則曲線 A H 的方程為 y=a\ {√(x)} ，記 A M=t ,規(guī)劃的兩塊用地的面積之和為 s （單位：米）.

(1)求 s 關(guān)于 \mathbf{\Psi}_{t}\mathbf{\Psi}_{\mathbf{\Psi}} 的函數(shù) S\left(t\right) ；
(2)求 s 的最大值.

[嘗試解答]

提示

請完成《章末綜合測評（五）》 見第277頁《模塊綜合測評》 見第281頁

叢書特點(diǎn)

尊敬的讀者：

感謝您使用《非常學(xué)案》系列圖書，為了使您更快捷方便地使用了解本叢書，特對本書的特點(diǎn)做如下說明：

）同步性一與新課標(biāo)同步教材配套，以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)為目的，基礎(chǔ)學(xué)習(xí)與拓展延伸相結(jié)合，學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)與能力提升并重。
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