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[知識拓展]
| 类别 | 含义 | |
| 个数 | 有穷 按项的数列 | 项数有限的数列 |
| 无穷 数列 | 项数无限的数列 | |
| 按项的 变化趋 势 | 递增 数列 | 从第2项起，每一项都大于它的前一项 的数列 |
| 递减 数列 | 从第2项起，每一项都小于它的前一项 的数列 | |
| 常数 列 | 各项都相等的数列 | |
| 摆动 | 从第2项起，有些项大于它的前一项， | |
| 数列 | 有些项小于它的前一项的数列 |
知識點2數(shù)列的通項公式
如果數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的第 n 項與序號 n 之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫作這個數(shù)列的通項公式.
體驗1.在數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 中， a_{n}=3^{n-1} ，則 a_{2} 等于
A.2 B.3 C.9 D.32
體驗2.下列可作為數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} :1,2,1,2,1,2.…·的通項公式的是 ( ）
A. a_{n}=1 B_{*}a_{n}=((-1)^{n}+1)/(2) ~C.~a_{n}=2-\left|\sin(nπ)/(2)\right|\qquadD.~a_{n}=((-1)^{n-1}+3)/(2)
知識點3數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
從函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，關(guān)系如下表：
| 定义域 | (或它的有限子集{1，2,3,…·,k}) |
| 解析式 | 数列的通项公式 |
| 值域 | 自变量从1开始，按照 时，对应的一列函数值 |
| 表示方法 | (1)通项公式(解析法)；(2) ： (3) |
思考2.數(shù)列的通項公式 a_{n}=f(n) 與函數(shù)解析式 \scriptstyle y=f(x) 有什么異同？
[嘗試解答]
反思領(lǐng)悟1.常見數(shù)列的通項公式歸納
(1)數(shù)列1,2,3,4,…的一個通項公式為 a_{n}=n (2)數(shù)列1,3,5,7，·的一個通項公式為 style{a_{n}} =2n-1 ；
(3)數(shù)列 2,4,6,8,*s 的一個通項公式為 style{a_{n}} =2n; ；
(4)數(shù)列 1,2,4,8,*s 的一個通項公式為 style{a_{n}} =2^{n-1} ；
(5）數(shù)列 1,4,9,16,*s 的一個通項公式為a_{n}=n^{2} ；
(6)數(shù)列- \mathbf{\Phi}_{-1,1,-1,1,*s} 的一個通項公式為 a_{n}=(-1)^{n} ；
(7）數(shù)列 1,(1)/(2),(1)/(3),(1)/(4), ·…·的一個通項公式為a_{n}={(1)/(n)}.
2.復(fù)雜數(shù)列的通項公式的歸納方法
(1)考察各項的結(jié)構(gòu)；（2)觀察各項中的“變”與“不變”；（3)觀察“變”的規(guī)律是什么；(4)每項符號的變化規(guī)律如何；(5)得出通項公式.
[跟進訓(xùn)練]
寫出下面各數(shù)列的一個通項公式：(1)9,99,999,9 999,·;(2)1,-3,5,—7,9,···;
1 9 25（3）
2 2 2(4)3,5,9,17,33,·
類型2 通項公式的應(yīng)用
【例2】【鏈接教材P135例2】
已知數(shù)列 \{a_{n}\} 的通項公式為 a_{n}=3n^{2}-28n ，
(1)寫出此數(shù)列的第4項和第6項；(2)-49 是否是該數(shù)列的一項？如果是，應(yīng)是哪一項？68是否是該數(shù)列的一項呢？
嘗試與發(fā)現(xiàn)
1.已知數(shù)列的通項公式，如何求數(shù)列的某一項？2.如何判斷某一個數(shù)是否為數(shù)列中的項？
嘗試解答]
【母題探究]
1.(變結(jié)論)若本例中的條件不變，
(1)試寫出該數(shù)列的第3項和第8項；
(2)20是不是該數(shù)列的一項？若是，是哪一項？
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2.（變條件，變結(jié)論)若將例題中的“a,=3n2一28n^{\prime} 變?yōu)椤?a_{n}=n^{2}+2n-5^{,} ,試判斷數(shù)列 \{a_{n}\} 的單調(diào)性.
1.在數(shù)列 1,1,2,3,5,8,x,21,34,55 中， x 等于C ）
A. 11 B.12 C.13 D.14
2.已知數(shù)列 1,{√(3)},{√(5)},{√(7)},*s,{√(2n-1)} ，則 3{√(5)} 是它的 ( ）
A.第22項 B.第23項C.第24項 D.第28項
3.數(shù)列 \{a_{n}\} ： -{√(3)},3,-3{√(3)},9,*s 的一個通項公式是 Y >
A. a_{n}=(-1)^{n}\ √(3n)(n\in\mathbf{N}^{*}\ ) 司 B. a_{n}=(-1)^{n}\ √(3^{n)}(n\in\mathbf{N}^{*}) C. a_{n}=(-1)^{n+1}√(3n)(n\in\mathbf{N}^{*}) D. a_{n}=(-1)^{n+1}{√(3^{n)}}(n\in\mathbf{N}^{*})
4.已知數(shù)列 \{a_{n}\} 的通項公式 a_{n}=4n-1 ,則它的第7項是 a_{2026}-a_{2025}=
5.已知數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的通項公式為 a_{n}={(1)/(n(n+2))} (n\in\mathbf{N}^{*}\mathbf{\Lambda})
(1)計算 a_{3}+a_{4} 的值；
(1)/(120) 是不是該數(shù)列中的項？若是，應(yīng)為第幾項？若不是，說明理由.
反思領(lǐng)悟1．由通項公式寫出數(shù)列的指定項，主要是對 n 進行取值，然后代入通項公式，相當(dāng)于函數(shù)中已知函數(shù)解析式和自變量的值求函數(shù)值.
2.判斷一個數(shù)是否為該數(shù)列中的項，要看以n 為未知數(shù)的方程有沒有正整數(shù)解.有正整數(shù)解就是，否則就不是.
3.在用函數(shù)的有關(guān)知識解決數(shù)列問題時，要注意它的定義域是 \mathbf{N}^{*} （或它的有限子集{1,2，\left.3,*s,k\right\} )這一約束條件.
課堂小結(jié)
回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：
1.什么是數(shù)列、數(shù)列的項和數(shù)列的通項公式？
2.根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需抓住其哪些特征？
第 2課時 數(shù)列的遞推公式
| 学习任务 | 核心素养 |
| 1.理解递推公式的含义.（重点） | 借助数列的递推公式求具体项或求通项，培养数学运 |
| 2.掌握递推公式的应用.（难点） | 算与逻辑推理素养. |
[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]
情境與問題
看下面例子： (1)1,2,4,8,16,... (2)1,cos l,cos(cos 1),cos[cos(cos 1)］,.. (3)0,1,4,7,10,13.
請同學(xué)們分析一下，從第二項起，后一項與前一項的關(guān)系怎樣？
知識點1數(shù)列的遞推公式
(1)兩個條件：
① 已知數(shù)列的第1項(或前幾項)；
② 任一項 與它的前一項
（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個
來表示.
(2)結(jié)論：具備以上兩個條件的公式叫作這個數(shù)列的 公式.
思考）1.所有數(shù)列都有遞推公式嗎？
體驗1.已知數(shù)列 \{a_{n}\} 的首項 a_{1}=1 ，且滿足a_{n+1}=(1)/(2)a_{n}+(1)/(2n) 此數(shù)列的第3項是 ( ）
(1)/(2) (3)/(4) 5
A. 1 B’ C· D. 8
體驗2.數(shù)列{α,}滿足α>+=1-， ，且a= a_{1}= 2,則 a_{2\ 027} 的值為 ( )
A. B.-1 C.2 D. 1 2
知識點2數(shù)列遞推公式與通項公式的關(guān)系
| 递推公式 | 通项公式 | |
| 区别 | 表示a与它的前 一项 （或 前几项）之间的 关系 | 表示a，与 之 间的关系 |
| 联系 | (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通 项公式 |
思考2.僅由數(shù)列 \{a_{n}\} 的關(guān)系式 \boldsymbol{a}_{n}=\boldsymbol{a}_{n-1} +2(n{>=slant}2,n{\in}\mathbf{N}^{*} )就能確定這個數(shù)列嗎？
體驗3.數(shù)列 2,4,6,8,10,*s 的遞推公式是
A. a_{n}=a_{n-1}+2(n{\ge}2) B. a_{n}=2a_{n-1}(n{>=slant}2) \complement.a_{1}=2,a_{n}=a_{n-1}+2(n>=2) D. a_{1}=2,a_{n}=2a_{n-1}(n>=2)
類型1由遞推公式求數(shù)列中的項
【例1】【鏈接教材P136例3】
已知在數(shù)列 \{a_{n}\} 中， a_{1}=1,a_{2}=2 ,后面各項由 a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}(n>=slant3) 給出.
(1)寫出此數(shù)列的前5項；
(2)通過公式 b_{n}={(a_{n})/(a_{n+1)}} α構(gòu)造一個新的數(shù)列\(zhòng){b_{n}\} ,寫出數(shù)列 \{b_{n}\} 的前4項.
[嘗試解答]
[跟進訓(xùn)練]
1.已知數(shù)列 \{a_{n}\} 的第1項 a_{1}=1 ,后面的各項由公式 a_{n+1}=(2a_{n})/(a_{n)+2} 5項.
反思領(lǐng)悟 由遞推公式寫出數(shù)列的項的方法
(1)在遞推公式中令 n{=}1,2,3,4,5,*s, 結(jié)合a_{1} 的值，即可以求出數(shù)列的前幾項.
(2)若知道的是末項，通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式，如 a_{n}= 2a_{n+1}+1 ：
(3)若知道的是首項，通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式，如 a_{n+1} ={(a_{n}-1)/(2)}.
類型2數(shù)列的單調(diào)性
【例2】 已知數(shù)列 \{a_{n}\} 的通項公式是 a_{n}=(n+ 2)x\Big((7)/(8)\Big)^{n}(n\in\mathbf{N}^{*} )，試問數(shù)列 \{a_{n}\} 是否有最大項？若有，求出最大項；若沒有，說明理由.
[思路探究］判斷數(shù)列的單調(diào)性，尋求數(shù)列最大項，或假設(shè) \boldsymbol{a}_{n_{}} 是數(shù)列的最大項，解不等式.
[嘗試解答]
反思領(lǐng)悟求數(shù)列 \{a_{n}\} 的最大(小)項的方法
一是利用函數(shù)的單調(diào)性和最值，即參照數(shù)列
對應(yīng)的函數(shù)的性質(zhì)的研究方法，由函數(shù)的單
調(diào)性過渡到數(shù)列的增減性，然后判斷最值.\begin{array}{r}{\left\{{a}_{k}\middle\vert{>=}{a}_{k-1},\right.}\\ {{a}_{k}{>=}{a}_{k+1},}\end{array}
二是設(shè) a_{k} 是最大項，則有 對任意
的 k\in\mathbf{N}^{*} 且 k{>=slant}2 都成立，解不等式組即可.
[跟進訓(xùn)練]
2.已知數(shù)列 \{a_{n}\} 的通項公式為 a_{n}=n^{2}-7n-8.
(1)數(shù)列中有多少項為負數(shù)？
(2)數(shù)列 \{a_{n}\} 是否有最小項？若有，求出其最 小項.
類型3根據(jù)遞推公式求通項
【例3】 (1)已知數(shù)列 \{a_{n}\} 滿足 a_{1}=-1,a_{n+1}= n(n+1)nEN",求通項公式aα;
(2)設(shè)在數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 中 a_{1}=1,a_{n}=\Big(1-{(1)/(n)}\Big)a_{n-1} C \scriptstyle n>=slant2) ，求通項公式 style{a_{n}}
嘗試與發(fā)現(xiàn)
1.對于任意數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} ，等式 a_{1}+(a_{2}-a_{1}) +(a_{3}-a_{2})+*s+(a_{n}-a_{n-1})=a_{n} 都成立嗎？若數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 滿足： a_{1}=1,a_{n+1}- a_{n}=2 ，你能求出它的通項 a_{n} 嗎？
2.能否把分式 (1)/(n(n-1)) 化為兩項的差？
3.若數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 中的各項均不為0，等式a_{1}\bullet{(a_{2})/(a_{1)}}\bullet{(a_{3})/(a_{2)}}\bullet*s\bullet{(a_{n})/(a_{n-1)}}=a_{n} 成立嗎？若數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 滿足： a_{1}=3,(a_{n+1})/(a_{n)}=2 a+1=2,則它的通項 a_{n} 是什么？
4.{(n-1)/(n)}{x}{(n-2)/(n-1)}{x}{(n-3)/(n-2)}{x}*s{x}{(2)/(3)}{x}{(1)/(2)}{x}1 的運算結(jié)果是什么？
嘗試解答］
母題探究]
1.（變條件）將例題（1)中的條件“ a_{1}=-1 ，a_{n+1}=a_{n}+{(1)/(n(n+1))} n（n+1)′n∈ N\*”變?yōu)椤癮=a,a-1=a-1-α,(n≥2)",求數(shù)列{α）的通項公式.
2.(變條件)將例題（2)中的條件“ a_{1}=1 ， a_{n} =\Big(1-(1)/(n)\Big)a_{n-1}(n>=2) ”變?yōu)椤?a_{1}=2,a_{n+1} \mathbf{\tau}=3a_{n}(n\in\mathbf{N}^{*}\mathbf{ε})^{±b{γ},} ,寫出數(shù)列的前5項，猜想 a_{n} 并加以證明.
反思領(lǐng)悟由數(shù)列的遞推公式求通項公式時，若遞推關(guān)系為 a_{n+1}=a_{n}+f(n) 或 a_{n+1}= g(n)* a_{n} ，則可以分別通過累加或累乘法求得通項公式，即：
(1)累加法:當(dāng) a_{n}=a_{n-1}+f(n) 時，常用 a_{n}= (a_{n}-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+*s+(a_{2}-a_{1}) +a_{1} 求通項公式；
(2)累乘法：當(dāng) a=g(n)時,常用 an a_{n}={(a_{n})/(a_{n-1)}} an-1
(a_{n-1})/(a_{n-2)}**s*(a_{2})/(a_{1)}* a_{1} ·a 求通項公式.
課堂小結(jié)
回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：
1.通項公式與遞推公式有什么區(qū)別？
2.求數(shù)列通項公式有哪些方法？
提示》請完成《課時分層作業(yè)（二十一）》見第223頁
4.2 等差數(shù)列
4.2.1 等差數(shù)列的概念
4.2.2 等差數(shù)列的通項公式
第1課時 等差數(shù)列的概念及通項公式
| 学习任务 | 核心素养 |
| 1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的判定方 | 1.通过等差数列通项公式的学习，提升数学 运算素养. |
| 法.（重点） 2.掌握等差数列的通项公式及应用.（重点、难点） | 2.借助等差数列的判断与证明，培养逻辑推 理素养. |
[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]
情境與問題
某劇場有30排座位，第一排有20個座位，從第二排起，后一排都比前一排多2個座位，那么各排的座位數(shù)依次為20,22,24,26,28，.
那么，第30排有多少個座位？
知識點1等差數(shù)列的概念
一般地，如果一個數(shù)列從第 項起，每一項減去它的 所得的差都等于 ，那么這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列，這個 叫作等差數(shù)列的公差，公差通常用字母 表示.
體驗）1.思考辨析（正確的打“√”，錯誤的打*_{\bigtriangledown}*\boldsymbol{\mathsf{V}}_{}^{})
(1)一般地，若一個數(shù)列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列. ）
(3)若三個數(shù) \mathbf{\boldsymbol{a}},\mathbf{\boldsymbol},\mathbf{\boldsymbol{c}} 滿足 2b=a+c ，則 \mathbf{\boldsymbol{a}},\mathbf{\boldsymbol},\mathbf{\boldsymbol{c}} 一定是等差數(shù)列. ）(4)一個無窮數(shù)列 \{a_{n}\} 的前四項分別為1,2，3,4，則它一定是等差數(shù)列. （）
知識點2 等差數(shù)列的通項公式
(2)等差數(shù)列 \{a_{n}\} 的單調(diào)性與公差d有關(guān). Y
以 a_{1} 為首項， d 為公差的等差數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的通項公式 a_{n}=\_
思考1.教材上推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式采用了不完全歸納法，還有其他方法嗎？如何操作？
體驗2.在等差數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 中， a_{3}=2 ， d= 6.5，則 a_{7}= ( ）
A.22 B.24 C.26 D.28
配蘇教版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊
體驗3.已知數(shù)列 \{a_{n}\} 的首項 a_{1}=(1)/(3) ，且滿足 (1)/(a_{n+1)}{=}(1)/(a_{n)}{+}5(n{\in}\mathbf{N}^{*}) +5(nEN\*）,則ag=
[知識拓展］從函數(shù)角度認(rèn)識等差數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 若數(shù)列 \{a_{n}\} 是等差數(shù)列，首項為 a_{1} ，公差為 d ，則a_{n}=f(n){=}a_{1}+(n-1)d{=}n d+(a_{1}-d). (1)點 (n,a_{n}) 落在直線 \scriptstyle y=d x+(a_{1}-d) 上；
類型1等差數(shù)列的概念
【例1】【鏈接教材P140例1】(1)(多選題）下列命題正確的有 (
A.數(shù)列6，4，2，0是公差為2的等差數(shù)列
B.數(shù)列 \not{D}_{a},a-1,a-2,a-3 是公差為一1的等差數(shù)列
C.等差數(shù)列的通項公式一定能寫成 style a_{n}=k n +b 的形式 (k,b 為常數(shù))
D.數(shù)列 \{2n+1\}(n{\in}\mathbf{N}^{*} )是等差數(shù)列
（2）下列數(shù)列中，遞增的等差數(shù)列有 個.\begin{array}{r l}&{\Phi1,3,5,7,9;②2,0,-2,0,-6,0,*s;③(1)/(9),}\\ &{/29,/39,/49,*s;④0,0,0,0,*s;⑤√(2)-1,√(2),}\end{array} {√(2)}+1
[嘗試解答]
反思領(lǐng)悟（1）判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列，只需看 a_{n+1}-a_{n}\left(n\in\mathbf{N}^{*}\right) 是不是一個與n 無關(guān)的常數(shù).
(2)判斷一個等差數(shù)列是不是遞增數(shù)列，只需看數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的公差 d 是否大于0.
(3)求兩個數(shù)的等差中項，只需求這兩個數(shù)的和的一半即可.
(2)這些點的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加 d ，
思考2.由等差數(shù)列的通項公式可以看出，要求 style{a_{n}} ，需要哪幾個條件？
[跟進訓(xùn)練]
1.下列數(shù)列不是等差數(shù)列的是 1
A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16 C.(1)/(3),(2)/(3),1,(4)/(3),(5)/(3) D.-3,-2,-1,1,2
2.在數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 中， a_{1}=2,2a_{n+1}=2a_{n}+1(n\in \mathbf{N}^{*} ),則數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} （填“是”或“不是”)等差數(shù)列，若是，公差為
類型2等差數(shù)列的通項公式
【例2】【鏈接教材P143例4】
(1)在等差數(shù)列 \{a_{n}\} 中，已知 a_{4}=7,a_{10}=25 ，求通項公式 \boldsymbol{a}_{n}
(2)已知數(shù)列 \{a_{n}\} 為等差數(shù)列， a_{3}=20,a_{7}= 28，求 a_{15} 的值.
[嘗試解答］
反思領(lǐng)悟 等差數(shù)列通項公式的妙用
(1)等差數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的通項公式 a_{n}=a_{1}+(n- 1)d 中含有四個量，即 a_{n}* a_{1}* n,d. 如果知道了其中的任意三個量，就可以由通項公式求出第四個量，這一求未知量的過程我們通常稱之為“知三求一”
(2)從函數(shù)的角度看等差數(shù)列的通項公式.由等差數(shù)列的通項公式 a_{n}=a_{1}+(n-1)d 可得 a_{n}=d n+(a_{1}-d) ，當(dāng) d{\neq}0 時， a_{n} 是關(guān)于n 的一次函數(shù).
(3)由兩點確定一條直線的性質(zhì)可以得出，等差數(shù)列的任意兩項可以確定這個等差數(shù)列.若已知等差數(shù)列的通項公式，可以寫出數(shù)列中的任意一項.
[跟進訓(xùn)練]
3.已知數(shù)列 \{a_{n}\} 為等差數(shù)列.
(1)已知 a_{1}=6,d=3 ，求 a_{8} ；
(2)已知 a_{4}=10,a_{10}=4 ，求 a_{7} 和 d
(3)已知 a_{2}=12,a_{n}=-20,d=-2 ，求 n ；
(4)已知 a_{7}=(1)/(2),d=-2 ，求 a_{1} ：
類型3等差數(shù)列的判定與證明
【例3】 已知數(shù)列{α,}滿足a=2,αn+1 ={(2a_{n})/(a_{n)+2}}.
(1)數(shù)列 \left\{{(1)/(a_{n)}}\right\} 是否為等差數(shù)列？說明理由；(2)求 style{a_{n}} ：
嘗試與發(fā)現(xiàn)
如何用定義證明數(shù)列 \{a_{n}\} 是等差數(shù)列？
嘗試解答］
母題探究]
1.(變條件)將本例中條件“ a_{1}=2 ,an+1= (2a_{n})/(a_{n)+2} ”"換成“a a_{1}=(1)/(5),(a_{n-1})/(a_{n)}=(2a_{n-1}+1)/(1-2a_{n)}(n>=slant(1)/(2) 2,n\in\mathbf{N}^{*} )”,結(jié)論如何?
2.（變條件，變結(jié)論)將例題中的條件“ a_{1}=\vdots ?,a_{n+1}=(2a_{n})/(a_{n)+2}; 2.42換為“a=4，aα=4- 4an-1(n{>}1) ”，記 b_{n}=(1)/(a_{n)-2}
(1)證明：數(shù)列 \{b_{n}\} 為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列 \{a_{n}\} 的通項公式.
反思領(lǐng)悟 等差數(shù)列的判定方法
(1)定義法： a_{n+1}-a_{n}=d （常數(shù)）（ n\in\mathbf{N}^{*}\mathbf{\Lambda})\Leftrightarrow \{a_{n}\} 為等差數(shù)列；
(2)通項公式法： a_{n}=a n+b(a,b 是常數(shù)， n\in \mathbf{N}^{*}\mathbf{π})\Longleftrightarrow\{a_{n}\} 為等差數(shù)列.
課堂小結(jié)
回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：
1.等差數(shù)列的定義與通項公式分別是什么？
2.判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法有哪些？
提示請完成《課時分層作業(yè)（二十二）》見第225頁
第 2課時 等差數(shù)列的性質(zhì)
| 学习任务 | 核心素养 |
| 1.掌握等差数列的有关性质.（重点、易错点） 2.能灵活运用等差数列的性质解决问题.（难点） | 1.通过对等差数列性质的学习，培养数学运 算素养. 2.借助对等差数列的实际应用，培养数学建 模及数学运算素养. |
[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]
情境與問題
如圖，第一層有1個球，第二層有2個球，最上層有16個球，那么，從上面數(shù)第二層有幾個球？每隔一層的球數(shù)有什么規(guī)律？每隔二層呢？每隔三層呢？
知識點1等差數(shù)列的圖象
等差數(shù)列的通項公式 a_{n}=a_{1}+(n-1)d ，當(dāng) d =0 時， a_{n} 是一個固定常數(shù);當(dāng) d\neq0 時， \boldsymbol{a}_{n} 相應(yīng)的函數(shù)是一次函數(shù)；點 (n,a_{n}) 分布在以為斜率的直線上，是這條直線上的一列孤立的點.
思考1.由 a_{n}=a_{1}+(n-1)d 可得 d= {(a_{n}-a_{1})/(n-1)},d={(a_{n}-a_{m})/(n-m)} 你能聯(lián)系直線的斜率解釋一下這兩個式子的幾何意義嗎？
知識點2等差數(shù)列的性質(zhì)
(1) \{a_{n}\} 是公差為 d 的等差數(shù)列，若正整數(shù) m,n,\boldsymbol{\phi},q 滿足 m+n=p+q. 則 a_{\scriptscriptstyle m}+a_{\scriptscriptstyle n}= ① 特別地,當(dāng) \begin{array}{r}{m+n{=}2k(m,n,k\in\mathbf{N}^{*}}\end{array} )時， \boldsymbol{a}_{m} +a_{n}=2a_{k} ，
② 對有窮等差數(shù)列，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末兩項的 ，即 a_{1}+a_{n}= a_{2}+a_{n-1}=*s=a_{k}+a_{n-k+1}=*s.
(2)從等差數(shù)列中，每隔一定的距離抽取一項,組成的數(shù)列仍為 數(shù)列.
(3)若 \{a_{n}\},\{b_{n}\} 分別是公差為 d_{1},d_{2} 的等差 數(shù)列,則數(shù)列 \{p a_{n}+q b_{n}\}(p,q 是常數(shù))是公 差為 的等差數(shù)列.
(4) \{a_{n}\} 的公差為 d ，則 d{>}0{\Leftrightarrow}\{a_{n}\} 為
數(shù)列；
d{<}0{\Leftrightarrow}\{a_{n}\} 為 數(shù)列； d=0\Longleftrightarrow\{a_{n}\} 為 常數(shù)列.
思考2.若 \{a_{n}\} 為等差數(shù)列，且 m+n=p (m,n,p\in{\bf N}^{*}) ，則 a_{m}+a_{n}=a_{p} 一定成立嗎？
體驗1.在等差數(shù)列 \{a_{n}\} 中， a_{4}+a_{6}+a_{8}+ a_{10}+a_{12}=120 ，則 2a_{10}-a_{12} 的差為 （ ）
A. 20 B.22 C.24 D.26體驗2.已知在等差數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 中， a_{7}+a_{9}= 16,a_{4}=1 ，則 a_{12}=
類型1靈活設(shè)元解等差數(shù)列
【例1】已知遞減等差數(shù)列 \{a_{n}\} 的前三項和為18，前三項的乘積為66，求數(shù)列的通項公式，并判斷一34是否為該數(shù)列的項.
[思路探究］前三項可以設(shè)為 a-d,a,a+ d ，也可以直接用“通法”解決.
[嘗試解答］
反思領(lǐng)悟 等差數(shù)列的設(shè)項方法與技巧
(1)當(dāng)已知條件中出現(xiàn)與首項、公差有關(guān)的內(nèi)容時，可直接設(shè)首項為 \left|a_{1}\right? ，公差為 d ，利用已知條件建立方程求出 \left|a_{1}\right? 和 d ，即可確定數(shù)列.
(2)當(dāng)已知數(shù)列有 2n 項時，可設(shè)為 a-(2n- \begin{array}{c}{{1)d,*s,a-3d,a-d,a+d,a+3d,*s,a+}}\end{array} (2n-1)d ，此時公差為 2d
(3)當(dāng)已知數(shù)列有 2n+1 項時，可設(shè)為 a- n d,a-(n-1)d,*s,a-d,a,a+d,*s,a+ (n-1)d,a+n d ，此時公差為 \boldsymbol{\mathscrhohzcc6}
[跟進訓(xùn)練］
1.已知五個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方 和為85. ，求這5個數(shù).
類型2等差數(shù)列的實際應(yīng)用
【例2】某公司2024年生產(chǎn)一種數(shù)碼產(chǎn)品，獲利200萬元，從2025年起，預(yù)計其利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律，如果該公司不研發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，試計算從哪一年起，該公司生產(chǎn)這一產(chǎn)品將出現(xiàn)虧損？
[嘗試解答]
反思領(lǐng)悟 解決等差數(shù)列實際問題的基本步驟
(1)將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列）問題；
(2)構(gòu)造等差數(shù)列模型（明確首項和公差）；
(3)利用通項公式解決等差數(shù)列問題；
(4)將所求出的結(jié)果回歸為實際問題.
跟進訓(xùn)練]
2.某市出租車的計價標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/ km ，起步價為10元，即最初的 4~km^{\prime} （不含 4~km, 計費10元.如果某人乘坐該市的出租車去往14~km 處的目的地，且一路暢通，等候時間為0,需要支付車費 元.
類型3等差數(shù)列的性質(zhì)
【例3】（1)已知在等差數(shù)列 \{a_{n}\} 中， a_{3}+a_{6}= 8,則 5a_{4}+a_{7}= （ ）
A.32 B.27 C.24 D.16
(2)若關(guān)于 x 的方程 x^{2}-2x+m=0 和 x^{2}- 2x+n{=}0(m{\neq}n) 的四個根可組成首項為 (1)/(4) 的等差數(shù)列，則 |m-n| 的值是
[嘗試解答]
母題探究]
1.（變條件，變結(jié)論)本例（1)中條件變?yōu)椤霸诘炔顢?shù)列 \left\{a_{n}\right\} 中，若 a_{5}=8 ， a_{10}=20 ”，求a15·
2.（變條件，變結(jié)論)本例（1)中條件變?yōu)椤霸诘炔顢?shù)列 \left\{a_{n}\right\} 中， a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=* 450”，求 a_{2}+a_{8} ：
1.在等差數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 中 * a_{1}=2,a_{3}+a_{5}=10 ，則 a_{7}= (
A.5 B.8
C.10 D. 14
2.在等差數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 中， a_{1}+a_{9}=10 ,則 a_{5} 的值為(
A.5 B.6
C.8 D.10
3.在等差數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 中， a_{2}+a_{5}+a_{8}=9 ，那么關(guān)于 x 的方程 x^{2}+(a_{4}+a_{6})x+10=0 （ ）
A.無實根B.有兩個相等實根C.有兩個不等實根D.不能確定有無實根
4.若 \scriptstyle a,b,c 成等差數(shù)列，則二次函數(shù) \scriptstyle y=a x^{2}- 2b x+c 的圖象與 x 軸的交點的個數(shù)為
5.四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為2， 首末兩項的積為一8，求這四個數(shù).
反思領(lǐng)悟 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用技巧
已知等差數(shù)列的兩項和，求其余幾項和或者求其中某項，對于這樣的問題，在解題過程中通常就要注意考慮利用等差數(shù)列的下列性質(zhì)：
(1)若 \begin{array}{r}{m+n{=}p+q(m,n,p,q{\in}\mathbf{N}^{*}}\end{array} )，則 \boldsymbol{a}_{m} +{a_{n}}={a_{p}}+{a_{q}} ,其中 a_{m}\:,a_{n}\:,a_{\scriptscriptstyle P}\:,a_{q} 是數(shù)列中的項.該性質(zhì)可推廣為：
若 m+n+z=p+q+k\left(m,n,z,p,q,k\in \mathbf{N}^{*} ),則 a_{m}+a_{n}+a_{z}=a_{\phi}+a_{q}+a_{k} ，
(2)若 m+n{=}2p(m,n,\boldsymbol{p}\in\mathbf{N}^{*}) ，則 style{a_{m}+a_{n}} =2ap.
課堂小結(jié)
回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：等差數(shù)列有哪些常見的性質(zhì)？
4.2.3 等差數(shù)列的前 n 項和
第1課時 等差數(shù)列的前 n 項和
| 学习任务 | 核心素养 |
| 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.（难 点） 2.掌握等差数列前n项和公式及其应用.（重点） | 1.通过对等差数列前n项和的有关计算，培 养数学运算素养. 2.借助等差数列前n项和的实际应用，培养 数学建模及数学运算素养. |
[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]
情境與問題
有一次，老師與高斯去買鉛筆，在商店發(fā)現(xiàn)了一個堆放鉛筆的V形架，V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放100支.老師問：“高斯，你知道這個V形架上共放著多少支鉛筆嗎？”
知識點 等差數(shù)列的前 n 項和公式
(1)數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 項和：對于數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} ，把a_{1}+a_{2}+*s+a_{n} 稱為數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 項和，記作 S_{n} ：
(2)等差數(shù)列前 n 項和公式推導(dǎo)：等差數(shù)列前n 項和公式是用倒序相加法推導(dǎo)的.
(3)等差數(shù)列的前 n 項和公式
| 已知量 | 首项、末项与项数 | 首项、公差与项数 |
| 求和 公式 | S= | S= |
思考在等差數(shù)列 \{a_{n}\} 前 n 項和公式推導(dǎo)中，運用了哪條性質(zhì)？
體驗1.在等差數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 中，已知 a_{1}=2,d =2 ，則 S_{20}= ( 0
A.230 B.420 C.450 D.540
體驗2.等差數(shù)列 -1,-3,-5,*s 的前 n 項和是一100,那么 n 的取值為 ( 1
A.8 B.9 C.10 D. 11
類型1 等差數(shù)列前 n 項和的有關(guān)
計算
【例1】【鏈接教材P149例1】在等差數(shù)列 \{a_{n}\} 中，若：(1)已知 a_{6}=10,S_{5}=5 ，求 a_{8} ；(2）已知 a_{2}+a_{4}=(48)/(5) 號，求Ss. 龍求莊 ：
[嘗試解答]
反思領(lǐng)悟 求數(shù)列的基本量的基本方法
求數(shù)列的基本量的基本方法是構(gòu)建方程、方程組或運用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)進行處理.
(1)“知三求一”: a_{1},d,n 稱為等差數(shù)列的三個基本量，在通項公式和前 n 項和公式中，都含有四個量，已知其中的三個可求出第四個.(2)“知三求二”：五個量 a_{1},d,n,a_{n},S_{n} 中可知三求二，一般列方程組求解.
[跟進訓(xùn)練]
1.（1）已知數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 為等差數(shù)列， S_{n} 為數(shù)列 \{a_{n}\} 的前 n 項和，若 a_{2}+a_{4}=4 ， a_{5}=8 ，則 S_{10} \mathbf{\Sigma}= ( 冏）
A.125 B.115 C.105 D.95
(2)已知等差數(shù)列 \{a_{n}\} 的前 n 項的和為 S_{n} ， 若 S_{9}=27,a_{10}=8 ，則 {\cal S}_{14}= ( ）
A.154 B.153 C.77 D.78
類型2等差數(shù)列前 n 項和公式的
實際應(yīng)用
【例2】【鏈接教材P151例4】某抗洪指揮部接到預(yù)報，24小時后有一洪峰到達，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來之前臨時筑一道堤壩作為第二道防線.經(jīng)計算，除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調(diào)用20臺同型號翻斗車，平均每輛車工作24小時.從各地緊急抽調(diào)的同型號翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達，一共可調(diào)集25輛，那么在24小時內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道防線？
[思路探究］因為每隔20分鐘到達一輛車，所以每輛車的工作量構(gòu)成一個等差數(shù)列.工作量的總和若大于欲完成的工作量，則說明24小時內(nèi)可完成第二道防線工程.
[嘗試解答]
反思領(lǐng)悟遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時，可以考慮與數(shù)列知識聯(lián)系，建立數(shù)列模型，具體解決要注意以下兩點：
(1)抓住實際問題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型.
(2)深入分析題意，確定是求通項公式 style{a_{n}} ，或是求前 n 項和 \boldsymbol{S}_{n} ,還是求項數(shù) n
[跟進訓(xùn)練]
2.（1)《張丘建算經(jīng)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十織迄，問織幾何.”其大意為：有個女子不善織布，每天比前一天少織同樣多的布，第一天織五尺，最后一天織一尺，三十天織完，則三十天共織布 ( ）
A.30尺 B.90尺 C.150尺D.180尺（2)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金，長五尺，斬本一尺，重四斤.斬末一尺，重二斤.問次一尺各重幾何？”其大意是：“現(xiàn)有一根金杖，一頭粗，一頭細，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細的一端截下1尺，重2斤.問依次每一尺各重多少斤?"根據(jù)題中的已知條件，若金杖由粗到細是均勻變化的，則中間3尺的重量為 （）
A.6斤 B.9斤 C.9.5斤D.12斤類型3利用 a_{n}=\left\{\begin{array}{l l}{S_{1},n=1,}\\ {\qquad}\\ {S_{n}-S_{n-1},n>=2}\end{array}\right.
求通項
【例3】 根據(jù)下列數(shù)列的前 n 項和 S_{n} 求通項 \boldsymbol{a}_{n} ：(1)S_{n}{=}2n^{2}-n{+}1; (2)S_{n}=2\bullet3^{n}-2.
[思路探究]先寫出 n{\stackrel{style>2}{style>}}2 時， a_{n}=S_{n}-S_{n-1} 的表達式，再求出 \scriptstyle n=1 時 a_{1}=S_{1} 的值，驗證 a_{1} 是否適合 n{\stackrel{style>2}{style>}}2 時表達式.如果適合，則 \scriptstyle a_{n}=S_{n}- S_{n-1}(n{\in}\mathbf{N}^{*}) ），否則 a_{n}{=}\left\{\begin{array}{l}{{S_{1},n{=}1,}}\\ {{{}}}\\ {{S_{n}{-}S_{n-1},n{>=}2.}}\end{array}\right.
[嘗試解答]
反思領(lǐng)悟1.數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的通項 style{a_{n}} 與前 n 項和S_{n} 之間的關(guān)系為 a_{n}=\left\{\begin{array}{l l}{S_{1},n=1,}\\ {S_{n}-S_{n-1},n>=2.}\end{array}\right.
2.用 style{a_{n}} 與 S_{n} 的關(guān)系求 \boldsymbol{a}_{n} 的步驟
(1)先確定 n>=slant2 時 a_{n}=S_{n}-S_{n-1} 的表達式；
(2)再利用 S_{n} 求出 a_{1}(a_{1}=S_{1}) ”
(3)驗證 a_{1} 的值是否適合 a_{n}=S_{n}-S_{n-1} 的表達式；
(4)寫出數(shù)列的通項公式.
[跟進訓(xùn)練]
3.已知數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 項和 S_{n} 滿足 n{=}\log_{2}{(S_{n}-} 1),求其通項公式 style{a_{n}}
■類型4等差數(shù)列前 n 項和 S_{n} 的函數(shù)
特征
【例4】數(shù)列 \{a_{n}\} 的前 n 項和 S_{n}=33n-n^{2} ：(1)求 \{a_{n}\} 的通項公式；(2) \{a_{n}\} 的前多少項和最大?
嘗試解答]
【母題探究]
1.（變條件)將例題中的條件變?yōu)椤霸诘炔顢?shù)列 \{a_{n}\} 中， a_{1}=25,S_{9}=S_{17} ”，求其前 n 項和 S_{n} 的最大值.
.（變結(jié)論)本例中條件不變，令b,=丨α,｜，求數(shù)列 \left\{b_{n}\right\} 的前 n 項和 {\boldsymbol{T}}_{n} ：
反思領(lǐng)悟 1.在等差數(shù)列中，求 S_{n} 的最?。ù螅┲档姆椒?/h2>
(1)利用通項公式尋求正、負項的分界點，則從第一項起到分界點該項的各項和為最大(小)值.(2)借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求最值.
2.尋求正、負項分界點的方法
(1)尋找正、負項的分界點，可利用等差數(shù)列的性質(zhì)或利用 \left\{\begin{array}{l}{{a_{n}>=0,}}\\ {{a_{n+1}<=slant0^{\#}}^{\displaystyle\int}a_{n+1}>=0,}\end{array}\right. 來尋找.(2)利用到 y=a x^{2}+b x(a\neq0) 圖象的對稱軸距離最近的一側(cè)的一個整數(shù)或離對稱軸最近且關(guān)于對稱軸對稱的兩個整數(shù)對應(yīng)項即為正、負項的分界點.3.求解數(shù)列 \{\mid a_{n}\mid\} 的前 n 項和，應(yīng)先判斷\{a_{n}\} 的各項的正負，然后去掉絕對值號，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題.
1.等差數(shù)列 \{a_{n}\} 的前 n 項和為 S_{n} ,且 S_{3}{=}6,a_{3} =4 ,則公差 d 等于 ( ）
A. 1 B. (5)/(3) C.2 D. 3
2.設(shè)等差數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 項和為 S_{n} ，已知 S_{10} =100 ,則 a_{4}+a_{7}= ( ）
A. 12 B.20 C.40 D.100
3.若數(shù)列 \{a_{n}\} 的通項公式 a_{n}=43-3n ，則 S_{n} 取得最大值時， n= (
A.13 B. 14
C.15 D.14或15
4.已知數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 項和公式 S_{n}=n^{2}-2n +1 ,則其通項公式為
5.（教材P153習(xí)題4.2（2)T4改編）在等差數(shù)列 \{a_{n}\} 中：
(1)a_{1}=(5)/(6),a_{n}=-(3)/(2),S_{n}=-5 求 n 和 d (2)a_{1}=4 ， S_{8}=172 ，求 a_{8} 和 d (3)已知 d=2,a_{n}=11,S_{n}=35 求 \left|a_{1}\right? 和 n
課堂小結(jié)
回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：
1.等差數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 項和 S_{n} 是什么？2.數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的通項 style{a_{n}} 與前 n 項和 S_{n} 之間有什么關(guān)系？
提示請完成《課時分層作業(yè)（二十四）》見第229頁
第 2 課時 等差數(shù)列前 n 項和的性質(zhì)
| 学习任务 | 核心素养 |
| 1.掌握等差数列前n项和的性质及应用．|1.借助等差数列前n项和S,性质的应用,培养逻 | |
| （重点） | 辑推理素养. |
| 2.会用裂项相消法求和.（易错点） | 2.通过应用裂项相消法求和，培养数学运算素养. |
[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]
情境與問題
1.等差數(shù)列前 n 項和公式可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于 n 的一元二次函數(shù)（ \scriptstyle d\neq0 )或一次函數(shù)（ \scriptstyle\left.d=0\right) .反過來，如果一個數(shù)列的前 n 項和是關(guān)于 n 的一元二次函數(shù)，那么該數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？
2.在項數(shù)為 2n 或 2n{+}1 的等差數(shù)列中，奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和存在什么樣的關(guān)系？
知識點等差數(shù)列前 n 項和的性質(zhì)
(1)在等差數(shù)列 \{a_{n}\} 中，其前 n 項和為 S_{n} ，則\{a_{n}\} 中連續(xù)的 n 項和構(gòu)成的數(shù)列 S_{n} ，， S_{3n}-S_{2n} ， ，構(gòu)成等差數(shù)列.
(2)數(shù)列 \{a_{n}\} 是等差數(shù)列 \Longleftrightarrow S_{n}=a n^{2}+b n(a,b 為 常數(shù)).
思考如果 \{a_{n}\} 是等差數(shù)列，那么 a_{1}+a_{2}+ \dotsb+a_{10},a_{11}+a_{12}+\dotsb+a_{20},a_{21}+a_{22}+\dotsb+ a_{30} 是等差數(shù)列嗎？
(3）在等差數(shù)列 \{a_{n}\} 中，數(shù)列 \left\{{(S_{n})/(n)}\right\} 為等差數(shù)列.
體驗在項數(shù)為 2n+1 的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項的和為165，所有偶數(shù)項的和為150，則 n 等于 （）
A.9 B.10 C.11 D.12
[嘗試解答]
反思領(lǐng)悟本題可從不同角度應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)（如通性通法，運用 S_{n} 和 \boldsymbol{a}_{n} 之間的關(guān)系，運用前 n 項和“片段和“的性質(zhì)，使用性質(zhì)\left\{{(S_{n})/(n)}\right\} 也是等差數(shù)列”，前 n 項和 S_{n}=A n^{2}+ B n 表示的特點等），并靈活選用前 n 項和公式，使問題快速得到解決.
跟進訓(xùn)練」
1.等差數(shù)列 \{a_{n}\} 的前 \mathbf{\Psi}_{m} 項和為30,前 2m 項和為100,求數(shù)列 \{a_{n}\} 的前 3m 項的和 S_{3m} ：
類型2裂項相消法求和
【例2】在等差數(shù)列 \{a_{n}\} 中， a_{1}=3 ，公差 d{=}2 ，S_{n} 為前 n 項和，求 (1)/(S_{1)}+(1)/(S_{2)}+*s+(1)/(S_{n)}.
[嘗試解答]
反思領(lǐng)悟 1.裂項相消法求和的實質(zhì)和解題關(guān)鍵
裂項相消法求和的實質(zhì)是將數(shù)列中的通項分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的，其解題的關(guān)鍵就是準(zhǔn)確裂項和消項.
(1)裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止.(2)消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項.
2.常見數(shù)列的裂項方法
| 数列(n为正整数） | 裂项方法 |
| n(n+k) (k为非零常数） | 1 1 1 n(n+k) k n b n+ |
| 4n²—1 | 4n²—1 1 1 2 2n-1 2n+1 |
| √n+√n+1 | √n+√n+1 √n+1-√n |
| {1og(1+)}(a>0, a≠1) | log. (1+ loga(n+1)—logan |
[跟進訓(xùn)練]
2.已知數(shù)列 \left\{{\begin{array}{l}{a_{n}}\end{array}}\right\} 的通項公式為 a_{n}\ = (2n-1)(2n+1),求數(shù)列（α,）的前n項和 S_{n}
類型3有限項等差數(shù)列前 n 項和的性質(zhì)及比值問題
【例3】（1)數(shù)列 \{a_{n}\},\{b_{n}\} 均為等差數(shù)列,前 n 項 和分別為 S_{n},T_{n} ,若 *(S_{n})/(T_{n)}{=}(3n{+}2)/(2n) (a_{7})/(b_{7)}= 7
（2)一個等差數(shù)列的前12項的和為354，前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為32：27,則該數(shù)列的公差為
嘗試與發(fā)現(xiàn)
\mathbf{1},a_{7},b_{7} 能分別用 S_{n},T_{n} 表示嗎？2.在等差數(shù)列中，偶數(shù)項的和 S_{G_{\overline{{\mathbb{H}}}}} 與奇數(shù)項的和 S_{\#} 能用公差 d 表示嗎？
[嘗試解答］
母題探究]
1.(變結(jié)論)在本例(1)條件不變的情況下，求 (a_{10})/(b_{3)+b_{18}}+(a_{11})/(b_{6)+b_{15}} 的值。
2.(變結(jié)論)在本例(1)條件不變時,求的值.
3.（變條件、變結(jié)論)把本例（1)中條件變?yōu)?a_{n})/(b_{n)}{=}(3n{+}2)/(2n) 3n+2”，求的值。
反思領(lǐng)悟 等差數(shù)列前 n 項和計算的兩種思維方法
(1)整體思路：利用公式 S_{n}={(n(a_{1}+a_{n}))/(2)} ，設(shè)法求出整體 a_{1}+a_{n} ,再代入求解.(2)待定系數(shù)法：利用 S_{n} 是關(guān)于 n 的二次函數(shù)，設(shè) S_{n}{=}A n^{2}+B n(A{\neq}0) ，列出方程組求A,B (S_{n})/(n) n 數(shù)，設(shè) {(S_{n})/(n)}{=}a n{+}b(a{\neq}0) 進行計算。
課堂小結(jié)
回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：等差數(shù)列前 n 項和的常用性質(zhì)有哪些？
4.3 等比數(shù)列
4.3.1 等比數(shù)列的概念
4.3.2 等比數(shù)列的通項公式
第1課時 等比數(shù)列的概念及通項公式
| 学习任务 | 核心素养 |
| 1.理解等比数列的概念.掌握等比数列 的通项公式及其应用.（重点、难点） 2.熟练掌握等比数列的判定方法.（易错点）「2.借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养. | 1.通过对等比数列的通项公式的学习及应用，培养数 学运算素养. |
[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]
情境與問題
我們古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有一個有趣的問題叫“出門望九堤”：“今有出門望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各有幾何？”
1.你能寫出“出門望九堤”問題構(gòu)成的數(shù)列嗎？2.對上述數(shù)列，如何表示相鄰兩項的關(guān)系Q a_{n+1} 與 style{a_{n}} )？
知識點1等比數(shù)列的概念
| 文字 语言 表示 | 一般地，如果一个数列从第 项起， 每一项与它的前一项的比都等于 那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作 等比数列的 ，公比通常用字母q |
| 符号 语言 | （q为常数，q≠0,nEN*） an a+1 |
體驗）1.思考辨析（正確的打“√”，錯誤的 打“ x"
(1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與前一項的比為常數(shù),則該數(shù)列為等比數(shù)列．（）(2)等比數(shù)列的首項不能為零，但公比可以為零. ）
(3)常數(shù)列一定為等比數(shù)列. T 體驗）2.下列數(shù)列是等比數(shù)列的是（
A.3,9,15,21,27 B.1,1.1,1.21,1.331,1.464 C.(1)/(3),(1)/(6),(1)/(9),(1)/(12),(1)/(15) D.4,-8,16,-32,64
知識點2 等比數(shù)列的通項公式
一般地，對于等比數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的第 n 項 \boldsymbol{a}_{n} ，有a_{n}=\underline{{\underline{{\quad\quad\quad}}}} .這就是等比數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的通項公式，其中 a_{1} 為首項， q 為公比，
體驗3.已知在數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 中， a_{1}=2,a_{n+1}= 2a_{n} ，則 a_{3}=
[知識拓展] 等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系
等比數(shù)列的通項公式可整理為 a_{n}={(a_{1})/(q)}* q^{n} 而 \scriptstyle y={(a_{1})/(q)}* q^{x}(q{\neq}1) 是一個不為〇的常數(shù) (a_{1})/(q)
類型1等比數(shù)列的判斷與證明
【例1】【鏈接教材P155例1】
已知數(shù)列 \{a_{n}\} 的前 n 項和為 S_{n}=2^{n}+a ,試判斷 \{a_{n}\} 是否是等比數(shù)列.
嘗試與發(fā)現(xiàn)
1．如何由 S_{n}=2^{n}+a 得到 \boldsymbol{a}_{n} ？
2.若數(shù)列 \{a_{n}\} 是等比數(shù)列，易知有 {(a_{n+1})/(a_{n)}}=q C q 為常數(shù)，且 q\ne0 ）或 a_{n+1}^{2}=a_{n}* a_{n+2}(a_{n} \neq\boldsymbol{0},\boldsymbol{n}\in\mathbf{N}^{*}\ ) 成立.反之，能說明數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 是等比數(shù)列嗎？
[嘗試解答]
與指數(shù)函數(shù) q^{x} 的乘積，從圖象上看，表示數(shù)列 \left\{{(a_{1})/(q)}\bullet q^{n}\right\} 中的各項的點是函數(shù) \scriptstyle y={(a_{1})/(q)}* q^{x} 的圖象上的孤立點.
母題探究
1.（變條件，變結(jié)論）將例題中的條件“S=2^{n}+a ”變?yōu)椤?a_{1}=2 ,an+1=4an—3n+1(n\in\mathbf{N}^{\ast}\mathbf{\Lambda})^{\ast} ：
(1)證明：數(shù)列 \{a_{n}-n\} 是等比數(shù)列;
(2)求出 \left\{a_{n}\right\} 的通項公式.
2.（變條件)將例題中的條件“ S_{n}=2^{n}+a ”變?yōu)椤?S_{n}=2-a_{n} ".求證：數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 是等比數(shù)列.
反思領(lǐng)悟 有關(guān)等比數(shù)列的判斷證明方法
| 定义法 | an {a}为等比数列 al=q(q为常数且不为零,nE N")= |
| 中项 公式法 | d²+=anα+2(n∈ N*且 an≠0)={an}为 等比数列 |
| 通项 公式法 | an=aq"-1(a≠0且q≠0){an}为等比 数列 |
類型2等比數(shù)列通項公式的基本運算
【例2】【鏈接教材P158例4】
已知等比數(shù)列 \{a_{n}\} ：
(1)若 a_{4}=2,a_{7}=8 ，求 a_{n} ；
(2)若 a_{2}+a_{5}=18,a_{3}+a_{6}=9,a_{n}=1 ，求 n
[嘗試解答]
[跟進訓(xùn)練]
1.已知等比數(shù)列 \{a_{n}\} 。
(1)若 a_{n}=128,a_{1}=4,q{=}2 ，求 n (2)若 a_{n}=625,n=4,q=5 ，求 \scriptstyle a_{1} (3)若 a_{1}=2,a_{3}=8 ，求公比 q 和通項公式.
反思領(lǐng)悟1.等比數(shù)列的通項公式涉及4個量 a_{1},a_{n},n,q ，只要知道其中任意三個就能求出另外一個，在這四個量中， a_{1} 和 q 是等比數(shù)列的基本量，只要求出這兩個基本量，問題便迎刃而解.
2.關(guān)于 1 \left|a_{1}\right? 和 q 的求法通常有以下兩種方法(1)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于 a_{1},q 的方程組，求出 a_{1},q 后再求 \boldsymbol{a}_{n} ,這是常規(guī)方法.(2)充分利用各項之間的關(guān)系，直接求出 q 后，再求 a_{1} ，最后求 a_{n} ，這種方法帶有一定的技巧性，能簡化運算.
類型3等比數(shù)列定義與通項公式的綜
合應(yīng)用
【例3】在各項均為負數(shù)的數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 中，已知2an=3an+1(n∈N\*）,且 α2·as= a_{2}\bullet a_{5}=(8)/(27) ：
(1)求證： \{a_{n}\} 是等比數(shù)列，并求出其通項；
(2)試問 是這個等比數(shù)列中的項嗎？如果是，指明是第幾項；如果不是，請說明理由.
[嘗試解答]
反思領(lǐng)悟1.已知數(shù)列的前 n 項和或前 n 項和與通項的關(guān)系求通項，常用 style{a_{n}} 與 S_{n} 的關(guān)系求解.
2.由遞推關(guān)系 \boldsymbol{a}_{n+1}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{a}_{n}+\boldsymbol{B}(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B} 為常數(shù)，且 A{\neq}0,A{\neq}1) 求 style{a_{n}} 時，由待定系數(shù)法設(shè)a_{n+1}+λ=A\left(a_{n}+λ\right) ，可得 λ{=}(B)/(A{-)1} 這樣就構(gòu)造了等比數(shù)列 \{a_{n}+λ\} ，
跟進訓(xùn)練]
2.設(shè)關(guān)于 x 的二次方程 a_{n}x^{2}-a_{n+1}x+1=0\left(n\right. =1,2,3,*s) 有兩根 α 和 β ,且滿足 6α-2αβ +6β=3
(1)試用 a_{n} 表示 a_{n+1} ；
(2)求證： \left\lbrace a_{n}-{(2)/(3)}\right\rbrace 是等比數(shù)列;
(3)當(dāng) a_{1}={(7)/(6)} 時，求數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的通項公式及項的最值.
(2)若 a_{1}=125,q=0.\ 2,a_{n}=3.\ 2x{10}^{-4} 求 n ，
課堂小結(jié)
回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：
1.等比數(shù)列的定義與通項公式是什么？
2.判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列的方法有哪些？
第 2課時 等比數(shù)列的性質(zhì)
| 学习任务 | 核心素养 |
| 1.掌握等比数列的性质及其应用.（重点） 2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.（难 点、易错点） | 1.通过灵活设项求解等比数列问题以及对等 比数列性质的应用，培养数学运算素养. 2.借助递推公式转化为等比数列求通项,培 |
情境與問題
在等差數(shù)列 \{a_{n}\} 中，存在很多的性質(zhì)，如
(1)若 m+n{=}p{+}q ，則 a_{m}+a_{n}=a_{\scriptscriptstyleβ}+a_{\scriptscriptstyle q}(m,n,β,q\in \mathbf{\partial}:\mathbf{N}^{*} ).
(2)若 m+n{=}2p ，則 a_{m}+a_{n}=2a_{\phi}
(3)若l,L2,l3,l4,",ln成等差數(shù)列,則a,al’ al,,au,，"..,a也成等差數(shù)列.
那么如果該數(shù)列為等比數(shù)列，能否求出等比數(shù)列的相類似的性質(zhì)呢？
知識點1推廣的等比數(shù)列的通項公式
\left\{a_{n}\right\} 是等比數(shù)列,首項為 \scriptstyle a_{1} ,公比為 q ，則 a_{n} \O= ,a_{n}=~/~{~(~{~\it~m~,n\in{\bf N}^{*}~)~}~{~\it~\Omega~}~}
思考如何推導(dǎo) a_{n}=a_{m}q^{n-m} ？
體驗1.在等比數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 中， a_{5}=4,a_{7}=6 ，則 a_{9}=
知識點2“子數(shù)列”性質(zhì)
對于無窮等比數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} ，其公比為 q ，若將其前 k 項去掉，剩余各項仍為 數(shù)列，首項為 ，公比為 ;若取出所有的 k 的倍數(shù)項，組成的數(shù)列仍為數(shù)列，首項為 ，公比為
知識點3等比數(shù)列項的運算性質(zhì)
在等比數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 中,若 \scriptstyle m+n=p+q(m,n,p ，q\in\mathbf{N}^{*} ),則 a_{m}* a_{n}=
① 特別地，當(dāng) \scriptstyle m+n=2k(m,n,k\in\mathbf{N}^{*} )時， a_{m}* a_{n} \O=
② 對有窮等比數(shù)列，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的 ，即 a_{1} ·a_{n}=a_{2}\bullet a_{n-1}=*s=a_{k}\bullet a_{n-k+1}=*s.
體驗2.已知數(shù)列 \{a_{n}\} 是等比數(shù)列，下列說法錯誤的是 (
A. a_{3}\:,a_{5}\:,a_{7} 成等比數(shù)列
B. a_{1},a_{3},a_{9} 成等比數(shù)列
C. a_{n}\:,a_{n+1}\:,a_{n+2} 成等比數(shù)列
D. n{>}3 時， a_{n-3},a_{n},a_{n+3} 成等比數(shù)列
體驗3.在等比數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 中，已知 \mathbf{\Omega}_{a_{7}}*\mathbf{\Omega}_{a_{12}} =5,則as·ag·a1o·a1= ( ）
A.-25 B.25 C.10 D.20
類型1 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
【例1】已知 \{a_{n}\} 為等比數(shù)列.
(1)等比數(shù)列 \{a_{n}\} 滿足 a_{2}a_{4}=(1)/(2) ，求 a_{1}a_{3}^{2}a_{5} ；
(2)若 a_{n}>0,a_{5}a_{6}=9 ，求 \log_{3}a_{1}+\log_{3}a_{2}+*s +\log_{3}{a_{10}} 的值.
[思路探究］利用等比數(shù)列的性質(zhì)“若 m+ n{=}p{+}q ，則 a_{m}* a_{n}=a_{\scriptscriptstylesl{p}}* a_{\scriptscriptstyle q}^{~,~} 求解.
[嘗試解答］
反思領(lǐng)悟 解決等比數(shù)列的計算問題，通常考慮兩種方法
(1)基本量法：利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其他量.這是解等比數(shù)列問題的常用方法，其優(yōu)點是思路簡單、實用，缺點是有時計算較煩瑣.
(2)數(shù)列性質(zhì)：等比數(shù)列每相鄰幾項的積成 等比數(shù)列、與首末兩項等距離的兩項的積相 等等性質(zhì)經(jīng)常用到.
[跟進訓(xùn)練]
1.(1)已知在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 \{a_{n}\} 中，a_{1}a_{2}a_{3}=5,a_{7}a_{8}a_{9}=10 ，則 a_{4}a_{5}a_{6}= （ ）
(2)在等比數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 中， a_{2}~,~a_{16} 是方程 x^{2}+6x +2=0 的兩個根,則 (a_{2}a_{16})/(a_{9)} 的值為 (
類型2靈活設(shè)項求解等比數(shù)列
【例2】有四個數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，第一個數(shù)與第四個數(shù)的和為21，中間兩個數(shù)的和為18，求這四個數(shù).
嘗試解答］
配蘇教版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊
反思領(lǐng)悟 巧設(shè)等差數(shù)列、等比數(shù)列的方法
(1)若三個數(shù)成等差數(shù)列，常設(shè)成 a-d,a,a +d. 若三個數(shù)成等比數(shù)列，常設(shè)成 {(a)/(q)},a,a q 或 a,a q,a q^{2} ：
(2)若四個數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為 {(a)/(q)},a ， a q,a q^{2} ：
若四個正數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為， (a)/(q^{3)},(a)/(q) a q,a q^{3}
[跟進訓(xùn)練]
2.有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù).
類型3由遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列
求通項
【例3】已知 S_{n} 是數(shù)列 \{a_{n}\} 的前 n 項和,且 S_{n} =2a_{n}+n-4. (1)求 \left|a_{1}\right? 的值；(2)若 b_{n}=a_{n}-1 ,試證明數(shù)列 \{b_{n}\} 為等比數(shù)列.
嘗試與發(fā)現(xiàn)
如何由 S_{n}=2a_{n}+n-4 轉(zhuǎn)化為 style{a_{n}} 的關(guān)系式？
嘗試解答]
反思領(lǐng)悟 兩種遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列的模型
(1)由遞推關(guān)系 a_{n+1}=A a_{n}+B\c{(A,B} 為常數(shù)，且 A{\ne}0,A{\ne}1) 求 style{a_{n}} 時，由待定系數(shù)法設(shè)a_{n+1}+λ{=}A(a_{n}+λ) 可得 λ{=}(B)/(A{-)1} A-'這樣就構(gòu)造了等比數(shù)列 \{a_{n}+λ\} (2)形如 a_{n+1}=c a_{n}+d^{n}(c\neq d,c d\neq0) 的遞推關(guān)系式，除利用待定系數(shù)法直接化歸為等比數(shù)列外，也可以兩邊同除以 d"得=x(a_{n})/(d^{n)}+(1)/(d) ,進而化歸為等比數(shù)列.還可以兩邊同除以 c^{n+1} 時得計 (a_{n+1})/(c^{n+1)}=(a_{n})/(c^{n)}+\left((d)/(c)\right)^{n}x(1)/(c) ×一,再利用 再利用累加法求出 (a_{n})/(c^{n)} 即得 style{a_{n}} ：
[跟進訓(xùn)練]
3.已知數(shù)列 \left\{a_{n}\right\},a_{1}=/56,a_{n+1}=/13a_{n}+\left(/12\right)^{n+1}, 試證明 \left\{a_{n}-3x\left({(1)/(2)}\right)^{n}\right\} 為等比數(shù)列，并求\{a_{n}\} 的通項公式.
類型4等比數(shù)列的實際應(yīng)用
【例4】從盛滿 20~L~ 純酒精的容器里倒出1~L~ ，然后用水填滿，再倒出 ^rm{\scriptsize1L} 混合溶液，再用水填滿，這樣繼續(xù)進行.(1)倒第2次后容器里還剩有純酒精多少升？你能發(fā)現(xiàn)各次剩余的純酒精數(shù)構(gòu)成什么數(shù)列嗎？(2)倒第5次后容器里還剩有純酒精多少升？（精確到小數(shù)點后兩位）
[嘗試解答]
配蘇教版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊
反思領(lǐng)悟求解此類問題應(yīng)先把實際問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題，在建立等比數(shù)列模型后，運算中往往要運用指數(shù)運算等，要注意運算的準(zhǔn)確性，對于近似計算問題，答案要符合題設(shè)中實際問題的需要.
跟進訓(xùn)練]
4.《孫子算經(jīng)》是我國古代數(shù)學(xué)專著，其中一個問題為“今有出門，望見九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色.”問：巢有幾何？
1.已知等差數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的公差為4,且 a_{2}~,~a_{3}~,~a_{6} 成等比數(shù)列，則 a_{10}= ( >
A.26 B. 30 C.34 D.38
2.已知數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 為等比數(shù)列， S_{n} 為等差數(shù)列 \{b_{n}\} 的前 n 項和,且 a_{2}=1,a_{10}=16,a_{6}=b_{6} ， 則 S_{11}= ( >
A. 44 B.-44 C.88 D.-88
3.在 (1)/(2) 和8之間插入3個數(shù)，使它們與這兩個數(shù)依次構(gòu)成等比數(shù)列，則這3個數(shù)的積為
4.在等比數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 中，各項都是正數(shù)， a_{6}a_{10}+ a_{3}a_{5}=41,a_{4}a_{8}=4 ，則 a_{4}+a_{8}=\qquad
5.(1)已知數(shù)列 \{a_{n}\} 為等比數(shù)列， a_{3}=3,a_{11}= 27，求 a_{7} ；
(2)已知 \{a_{n}\} 為等比數(shù)列， a_{2}* a_{8}=36,a_{3}+ a_{7}=15 ，求公比 \boldsymbol{q}
課堂小結(jié)
回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：等比數(shù)列項的運算性質(zhì)有哪些？
4.3.3 等比數(shù)列的前 n 項和
第1課時 等比數(shù)列的前 n 項和
| 学习任务 | 核心素养 |
| 1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.（重点） | 1.借助对等比数列基本量的计算及错位相减 |
| 2.会用错位相减法求数列的和.（重点） | 法的应用，提升数学运算素养. |
| 3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单2.通过对等比数列前n项和的实际应用,培养 | |
| 的实际问题. | 数学建模素养. |
[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]
情境與問題
甲、乙二人約定在一個月（按30天）內(nèi)甲每天給乙100元錢，而乙則第一天給甲返還一分，第二天給甲返還兩分，即后一天返還的錢是前一天的！兩倍.問誰贏誰虧?
知識點1 等比數(shù)列前 n 項和公式
思考類比等差數(shù)列前 n 項和是關(guān)于 n 的二次型函數(shù)，如何從函數(shù)的角度理解等比數(shù)列前n 項和 S_{n} ?
體驗）1.思考辨析（正確的打“ \surd ”,錯誤的打\dotsx\dots)
(1)求等比數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 項和時可直接套用公式S,= S_{n}{=}(a_{1}(1{-}q^{n}))/(1{-)q} 來求. （
(2)等比數(shù)列的前 n 項和公式可以簡寫成 S_{n} =-A q^{n}+A(q\neq1). ( >
(3)1+x+x^{2}+*s+x^{n}={(1-x^{n})/(1-x)}.
體驗2.已知等比數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的公比 q=2 ，前項和為 S，則 1
A.3 B.4\qquadC./{7{2}}\qquadD./{13{2}}
知識點2 錯位相減法
一般地,等比數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 項和可寫為：{\cal S}_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+*s+a_{1}q^{n-1}, ① 用公比 q 乘 ① 的兩邊，可得
q S_{n}=a_{1}q+a_{1}q^{2}+*s+a_{1}q^{n-1}+a_{1}q^{n}, ② 由 ①-② ,得 (1-q)S_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n} ，
若 q=1 ，則 S_{n}{=}n a_{1} ；
若q≠1,則 S,=α(1-q")
1-q
類型1等比數(shù)列基本量的運算
【例1】【鏈接教材P162例1】已知等比數(shù)列 \{a_{n}\} ：(1)S_{2}=30,S_{3}=155 ，求 S_{n} ；(2)a_{1}+a_{3}=10,a_{4}+a_{6}=(5)/(4) 求 S_{5} ；\left(3\right)a_{1}+a_{n}=66,a_{2}a_{n-1}=128,S_{n}=126 求 q
[嘗試解答]
反思領(lǐng)悟1．在等比數(shù)列 \{a_{n}\} 的五個量 \scriptstyle a_{1} ，q,a_{n},n,S_{n} 中，已知其中的三個量，通過列方程組，就能求出另外兩個量，這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用.
2.在解決與前 n 項和有關(guān)的問題時，首先要 對公比 q=1 或 q{\neq}1 進行判斷，若兩種情 況都有可能，則要分類討論.
[跟進訓(xùn)練]
1.已知等比數(shù)列 \{a_{n}\} ：
(1)若 S_{n}=189,q{=}2,a_{n}{=}96 ，求 a_{1} 和 n #
(2)若a3 a_{3}=(3)/(2),S_{3}=(9)/(2) ，求 \left|a_{1}\right? 和公比 q ，
類型2等比數(shù)列前 n 項和公式的實際應(yīng)用
【例2】【鏈接教材P164例4】借貸10000元，以月利率為 1% 每月以復(fù)利計息借貸，王老師從借貸后第二個月開始等額還貸，分6個月付清，試問每月應(yīng)支付多少元？ (1.01^{6}\approx1.062,1.01^{5}\approx1.051)
嘗試解答]
反思領(lǐng)悟 解數(shù)列應(yīng)用題的具體方法步驟
（1）認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意，達到如下要求：
① 明確問題屬于哪類應(yīng)用問題，即明確是等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題，還是含有遞推關(guān)系的數(shù)列問題？是求 style{a_{n}} ，還是求 S_{n} ？特別要注意項數(shù)是多少.
② 弄清題目中主要的已知事項.
(2)抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量，將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達.
(3)將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，將已知與所求聯(lián)系起來，列出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式.
跟進訓(xùn)練]
2.某人在年初用16萬元購買了一輛家用轎車，付現(xiàn)金6萬元，按合同余款分6年付清，年利率為 10% ,每年以復(fù)利計算，問每年年底應(yīng)支付多少元？ (1.1^{6}\approx1.7716)
類型3錯位相減法求和
【例3】設(shè) \left\{a_{n}\right\} 是等差數(shù)列， \{b_{n}\} 是等比數(shù)列,公比大于0,已知 a_{1}=b_{1}=2,b_{2}=a_{2},b_{3}=a_{2}+4.
(1)求 \left\{a_{n}\right\} 和 \{b_{n}\} 的通項公式；
(2)記 c_{n}=(a_{n})/(2b_{n)},n{\in}\mathbf{N}^{*} ，證明： c_{1}+c_{2}+*s+c_{n}<2 \mathbf{\Omega}_{n\in\mathbf{N}^{*}}
嘗試與發(fā)現(xiàn)
在等式 S_{n}=1*2^{1}+2*2^{2}+3*2^{3}+*s+ n*2^{n} 兩邊同乘以數(shù)列 \{2^{n}\} 的公比后，該等式的變形形式是什么？認(rèn)真觀察兩式的結(jié)構(gòu)特征，你能將求 S_{n} 的問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的前 n 項和問題嗎？
嘗試解答］
母題探究]
1.(變條件)本例題(2)中設(shè) c_{n}{=}(1)/(2)a_{n}b_{n} ，求數(shù)列 \left\{c_{n}\right\} 的前 n 項和 {S_{n}}^{\prime} ：
2.(變條件)本例題中設(shè) d_{n}=(2n-1)/(b_{n)} ,求數(shù)列\(zhòng){d_{n}\} 的前 n 項和 {\boldsymbol{T}}_{n} ：
1.已知等比數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的首項 a_{1}=3 ,公比 q=2 ，則 S_{5} 等于 ( ）
A.93 B.-93 C.45 D.-45
2.設(shè) S_{n} 為等比數(shù)列 \{a_{n}\} 的前 n 項和,若 27a_{4}+ a_{7}=0 ，則 (S_{4})/(S_{2)}= ）
A.10 B.9
C.-8 D.-5
3.設(shè)等比數(shù)列 \{a_{n}\} 的各項均為正數(shù)，前 n 項和為 S_{n} ，若 a_{1}=1,S_{5}=5S_{3}-4 ，則 {\cal S}_{4}= ( ）
A. (15)/(8) B.{(65)/(8)} C.15 D.40
4.在公比為整數(shù)的等比數(shù)列 \{a_{n}\} 中,如果 a_{1}+a_{4} =18,a_{2}+a_{3}=12 ,則這個數(shù)列的前8項之和S_{8}=\_{\bf\Phi}.
5.一個熱氣球在第一分鐘上升了 25~m~ 的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的 80% ．這個熱氣球上升的高度能超過 125~m~ 嗎？
反思領(lǐng)悟 錯位相減法的適用題目及注意事項
(1)適用范圍：它主要適用于 \left\{a_{n}\right\} 是等差數(shù)列， \{b_{n}\} 是等比數(shù)列，求數(shù)列 \{a_{n}b_{n}\} 的前 n 項和.
(2)注意事項：
① 利用“錯位相減法”時，在寫出 S_{n} 與 q S_{n} 的表達式時，應(yīng)注意使兩式錯對齊，以便于作差，正確寫出 (1-q)S_{n} 的表達式.
② 利用此法時要注意討論公比 q 是否等于1的情況.
課堂小結(jié)
回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：
1.等比數(shù)列的前 n 項和公式是什么？
2.若 \mathbf{\Psi}_{C_{n}}=a_{n}b_{n} ,其中 \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\} 分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列，如何求數(shù)列 \left\{c_{n}\right\} 的前 n 項和？
第 2課時 等比數(shù)列前 n 項和的性質(zhì)及應(yīng)用
| 学习任务 | 核心素养 |
| 1.掌握等比数列前n项和的性质的应用.（重点) 2.掌握等差数列与等比数列的综合应用.（重点） 3.能用分组转化法求数列的和.（重点、易错点） | 1.通过对等比数列前n项和公式的性质的学 习，培养逻辑推理素养. 2.借助等比数列前n项和性质的应用及分组 求和，培养数学运算素养. |
情境與問題
在等比數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 中，若 q\neq1 時， S_{n}= (a_{1}(1-q^{n}))/(1-q){=}(a_{1}-a_{n}q)/(1-q) 可以把 S_{n} 寫成 S_{n}=A q^{n} A 的形式，那么等比數(shù)列的前 n 項和還有其他哪些性質(zhì)？
知識點等比數(shù)列前 n 項和的性質(zhì)
(1)性質(zhì)一:若 S_{n} 表示數(shù)列 \{a_{n}\} 的前 n 項和，且 S_{n}=A q^{n}-A\left(A q\neq0,q\neq±\right. )，則數(shù)列\(zhòng){a_{n}\} 是 數(shù)列.
(2)性質(zhì)二：若數(shù)列 \{a_{n}\} 是公比為 q 的等比數(shù) 列，則
① 在等比數(shù)列中,若項數(shù)為 2n\left(n\in\mathbf{N}^{*}\right. )，則(S_{mu})/(S_{mu)}{=}\underbrace{\phantom{-}}_{\qquad~.~}.
② 在等比數(shù)列中，若項數(shù)為 2n+1\left(n\in\mathbf{N}^{*}\right) ，則 (S_{\scriptscriptstylesl{cent}}-a_{1})/(S_{\scriptscriptstylesl{cent)}}=q. \circled{3}S_{m},S_{2m}-S_{m},S_{3m}-S_{2m} .·成等比數(shù)列.
體驗）1.思考辨析（正確的打“ \surd ”，錯誤的打\"x\")
(1)等比數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 共 2n 項，其中奇數(shù)項的和為240，偶數(shù)項的和為120，則該等比數(shù)列的公比 q=2 ，
(2)已知等比數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 項和 \boldsymbol{S}_{n}=\boldsymbol{a} · 3^{n-1}-1 ，則 \scriptstyle a=1 ： (
(3)若數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 為等比數(shù)列，則 a_{1}+a_{2},a_{3}+ a_{4},a_{5}+a_{6} 也成等比數(shù)列. ( >
(4)若 S_{n} 為等比數(shù)列的前 n 項和，則 S_{3},S_{6} ，S_{9} 成等比數(shù)列. ( ）
體驗2.設(shè) S_{n} 為等比數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 項和且 S_{n}{=}3^{n+1}{-}A ，則 A= ( ）
體驗3.設(shè)等比數(shù)列 \{a_{n}\} 的前 n 項和為 S_{n} ，已知 S_{3}{=}8,S_{6}{=}7 ，則 a_{7}+a_{8}+a_{9}= （ 0
\begin{array}{l}{A.~{(1{8}}~}}\\ {C.~{/{57{8}}~}}\end{array} {B}.-{/{1)/(8)} D.{(55)/(8)}
類型1 等比數(shù)列前 n 項和性質(zhì)的
應(yīng)用
【例1】（1)等比數(shù)列 \{a_{n}\} 的前 n 項和為 S_{n},S_{2} =7,S_{6}=91 ，則 S_{4} 為 ( ）
A.28 B. 32 C.21 D.28或-21
(2)在等比數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 中，公比 q=3,S_{80}=32 ，則 a_{2}+a_{4}+a_{6}+*s+a_{80}=
嘗試與發(fā)現(xiàn)
1.\ S_{2}\ ,S_{4}-S_{2}\ ,S_{6}-S_{4} 有什么聯(lián)系？2 a2+aa+as+…+aso 的值是什么？
嘗試解答]
[母題探究]
1.(變條件)將例題(1)中的條件“ S_{2}=7,S_{6} =91 "改為“正項等比數(shù)列中 S_{n}=2,S_{3n}=\vdots 14"，求 S_{4n} 的值.
2.(變條件,變結(jié)論)將例題(1)中條件“ S_{2}=\sum_{i} 7,S_{6}=91 ”改為“公比 q=2,S_{99}=56^{,} ，求 a_{3}+a_{6}+a_{9}+*s+a_{99} 的值.
反思領(lǐng)悟1.在涉及奇數(shù)項和 S_{\ ?} 與偶數(shù)項和 S_{\sharp_{i}} 時，?？紤]對其差或比進行簡化運算.若項數(shù)為 2n ，則 (S_{\mathfrak{g}})/(S_{\sharp)}=q(S_{\sharp}\ne0) ;若項數(shù)為 2n+1 ，則 (S_{\oplus}-a_{1})/(S_{\tt S)}{=}q(S_{\oplus}{=}0)
2.等比數(shù)列前 n 項和為 S_{n} （且 style S_{n}\neq0 ），則S_{n},S_{2n}-S_{n},S_{3n}-S_{2n} 仍成等比數(shù)列，其公比為 q^{n}(q{\neq}-1)
3.等比數(shù)列 \{a_{n}\} 的公比為 q ，則 S_{n+m}=S_{n} +q^{n}S_{\l_{m}}
4.若 S_{n} 表示數(shù)列 \{a_{n}\} 的前 n 項和，且 S_{n}= A q^{n}-A(A\ne0,q\ne0 且 q{\neq}1 )，則數(shù)列 \{a_{n}\} 成等比數(shù)列.
類型2分組求和法
【例2】【鏈接教材P163例3】
在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 中，已知 a_{1} =2,8a_{2}+2a_{4}=a_{6}.
(1)求數(shù)列 \{a_{n}\} 的通項公式；
(2)設(shè) b_{n}=a_{n}+2n ，求數(shù)列 \{b_{n}\} 的前 n 項和 {T_{n}} ：
[嘗試解答]
反思領(lǐng)悟 分組轉(zhuǎn)化求和法的應(yīng)用條件和解題步驟
(1)應(yīng)用條件
一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列的通項公式相加組成.
(2)解題步驟
[跟進訓(xùn)練]
1.求數(shù)列 2{(1)/(4)},4{(1)/(8)},6{(1)/(16)},*s,2n+{(1)/(2^{n+1)}} 2"+1，…·的前n 項和 S_{n} ：
1類型3等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合
應(yīng)用
【例3】已知 S_{n} 是等比數(shù)列 \{a_{n}\} 的前 n 項和， S_{4} ，{\cal S}_{2},{\cal S}_{3} 成等差數(shù)列,且 a_{2}+a_{3}+a_{4}=-18.
(1)求數(shù)列 \{a_{n}\} 的通項公式；
(2)是否存在正整數(shù) n ，使得 S_{n}{>=slant}2~025? 若存在，求出符合條件的所有 n 的集合；若不存在，說明理由.
嘗試解答]
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反思領(lǐng)悟與等差、等比數(shù)列有關(guān)的綜合問題，其解題過程應(yīng)注意以下方法與技巧：
(1)轉(zhuǎn)化思想：將非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化構(gòu)造成等差、等比數(shù)列，以便于利用其公式和性質(zhì)解題.
(2)等差（比)數(shù)列公式和性質(zhì)的靈活應(yīng)用.(3)當(dāng)題中有多個數(shù)列出現(xiàn)時，既要研究單一數(shù)列項與項之間的關(guān)系，又要關(guān)注各數(shù)列之間的相互聯(lián)系.
[跟進訓(xùn)練]
2.已知數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 項和為 S_{n} ，且 S_{n}+a_{n}= 5x3^{n}-3,b_{n}={(a_{n})/((4n^{2)-1)3^{n}}}.
(1)證明：數(shù)列 \{a_{n}-2x3^{n}\} 為常數(shù)列；
(2)求數(shù)列 \{b_{n}\} 的前 n 項和 T_{n}
1.已知等比數(shù)列 \{a_{n}\} 的各項均為正數(shù)，前 n 項和為 S_{n} ，若 a_{2}=2,S_{6}-S_{4}=6a_{4} ，則 a_{5}= ( ）
A. 4 B.10 C.16 D.32
2.設(shè)等比數(shù)列 \{a_{n}\} 的前 n 項和為 S_{n} ,若 S_{10} ：S_{5}=1:2 ，則 S_{15}:S_{5}= ( ）
3.記 S_{n} 為數(shù)列 \{a_{n}\} 的前 n 項和.若 S_{n}=2a_{n}+ 1,則 S_{6}=\_
4.一個項數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項的和是奇數(shù)項的和的兩倍，首項為1，且中間兩項的和為24，則此等比數(shù)列的項數(shù)為
5.設(shè)等比數(shù)列 \{a_{n}\} 的前 n 項和為 S_{n} ，已知 {\cal S}_{4}= 2 .S_{8}=6 ，求 a_{17}+a_{18}+a_{19}+a_{20} 的值.
課堂小結(jié)
回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：
1.等比數(shù)列前 n 項和的常用性質(zhì)有哪些？2.若 c_{n}=a_{n}+b_{n} ,其中 \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\} 分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列，如何求數(shù)列 \left\{c_{n}\right\} 的前 n 項和？
4.4 數(shù)學(xué)歸納法
| 学习任务 | 核心素养 |
| 1.了解数学归纳法的原理.(难点) 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命 | 1.通过对数学归纳法定义的学习，体现了数学抽象 的核心素养. |
[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]
情境與問題
在多米諾骨牌游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是(1)第一塊骨牌倒下；(2)任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.你認(rèn)為第二個條件的作用是什么？
知識點 數(shù)學(xué)歸納法
(1)數(shù)學(xué)歸納法的定義
一般地,證明一個與正整數(shù) n 有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，可按如下兩個步驟進行：
① 證明當(dāng) n{=}n_{0}\left(n_{0}\in\mathbf{N}^{*}\right) )時命題成立；
② 假設(shè)當(dāng) n{=}k(k{>=slant}n_{0},k{\in}\mathbf{N}^{*}) 時命題成立，證明當(dāng) 時命題也成立.
根據(jù) ①② 就可以斷定命題對于從 n_{0} 開始的所有正整數(shù) n 都成立，上述證明方法叫作數(shù)學(xué)歸納法.
(2)數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示思考數(shù)學(xué)歸納法的第一步 n_{0} 的初始值是否一定為1?
體驗）1.思考辨析（正確的打“√”，錯誤的打“ x\prime\prime 1
(1)用數(shù)學(xué)歸納法證題時可以只證明歸納遞推即可.
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明 3^{n}>=slant n^{2}\left(n>=slant3,n\in \mathbf{N}^{*} )，第一步驗證 n{=}3 . ( ）
(3)設(shè) S_{k}={(1)/(k)}+{(1)/(k+1)}+{(1)/(k+2)}+*s+{(1)/(k+k)} 則\begin{array}{l}{{S_{k+1}~=~(1)/(k)~+~(1)/(k+1)~+~(1)/(k+2)~+~*s~+}}\\ {{{}}}\\ {{(1)/((k+1)+(k+1)).}}\end{array} 體驗2.用數(shù)學(xué)歸納法證明 1+a+a^{2}+*s +a^{n+1}=(1-a^{n+2})/(1-a)(a\neq1,n\in\mathbf{N}^{*}) ，在驗證 n= 1成立時，計算左邊所得的項是 （ ）
A.1 B.1+a C.1+a+a^{2}\qquadD.1+a+a^{2}+a^{3} 體驗3.用數(shù)學(xué)歸納法證明 1+2+3+*s +(2n+1)=(n+1)(2n+1) 時，從“ n{=}k ”到n{=}k{+}1{\stackrel{\rightharpoonup}{-}} ,左邊需增添的代數(shù)式是（）
A. (2k+1)+(2k+2)
B. (2k-1)+(2k+1)
C. (2k+2)+(2k+3)
D. (2k+2)+(2k+4)
類型1用數(shù)學(xué)歸納法證明等式
【例1】【鏈接教材P171例3】
(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明 (n+1)*(n+2)**s (n+n)=2^{n}x1x3x\bullet*s\bulletx(2n-1) （ \mathbf{\bar{\rho}}_{n\in\mathbf{N}}^{*} )，“從 k 到 k+1 ”左端增乘的代數(shù)式為
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：
{(1^{2})/(1x3)}+{(2^{2})/(3x5)}+*s+{(n^{2})/((2n-1)(2n+1))}={(n(n+1))/(2(2n+1))}(n\in \mathbf{N}^{*} ).
[嘗試解答]
反思領(lǐng)悟 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時，應(yīng)關(guān)注以下三點
(1)弄清 n 取第一個值 {n}_{0} 時等式兩端項的情況；
(2)弄清從 n{=}k 到 n=k+1 等式兩端增加了哪些項，減少了哪些項；
(3)證明 \scriptstyle n=k+1 時結(jié)論也成立，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并朝 n{=}k{+}1 證明目標(biāo)的表達式變形.
[跟進訓(xùn)練]
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明 (n+1)*(n+2) ···· (n+n)=2^{n}x1x3x*sx(2n-1)(n\in\mathbf{N}^{*})
類型2歸納—猜想—證明
【例2】【鏈接教材P173例4】已知數(shù)列 (1)/(1x4) (1)/(4x7) (1)/(7x10) ， ， ，(1)/((3n-2)(3n+1)) 的前 n 項和為 S_{n} ,計算 S_{1} ，S_{2},S_{3},S_{4} ,根據(jù)計算結(jié)果，猜想 S_{n} 的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法進行證明.
[嘗試解答]
反思領(lǐng)悟 1.“歸納一猜想一證明”的一般環(huán)節(jié)
2.“歸納一猜想一證明”的主要題型
(1)已知數(shù)列的遞推公式，求通項或前 n 項和.
(2)由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題，求使命題成立的參數(shù)值是否存在.
(3)給出一些簡單的命題 (n=1,2,3,*s) ”猜想并證明對任意正整數(shù) n 都成立的一般性命題.
跟進訓(xùn)練]
2.已知數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 項和為 S_{n} ，且滿足 a_{1}= 3,S_{n}=a_{n-1}+n^{2}+1(n>=slant2) 求 a_{2}\:,a_{3}\:,a_{4} 的值，猜想數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的通項公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
類型3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
【例3】 用數(shù)學(xué)歸納法證明 1+{(n)/(2)}{<=slant}1+{(1)/(2)}+{(1)/(3)} +*s+(1)/(2^{n)}{<=slant}(1)/(2)+n(n\in\mathbf{N}^{\ast}\ ).
[嘗試解答]
配蘇教版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊
反思領(lǐng)悟用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式往往比證明恒等式難度更大一些，方法更靈活些，用數(shù)學(xué)歸納法證明的第二步，即已知 f(k)> g(k) ，求證 f(k{+}1){>}g(k{+}1) 時應(yīng)注意靈活運用證明不等式的一般方法（比較法、分析法、綜合法).具體證明過程中要注意以下兩點：
(1)先湊假設(shè)，再作等價變換；
(2)瞄準(zhǔn)當(dāng) n{=}k{+}1 時的遞推目標(biāo)，有目的地放縮、分析，直到湊出結(jié)論.
[跟進訓(xùn)練]
用數(shù)學(xué)歸納法證明：不等式 1+{(1)/(√(2))}+{(1)/(√(3))}+*s +(1)/(√(n)){<}2√(n)(n\in\mathbf{N}^{*}\mathbf{\Lambda}).
類型4用數(shù)學(xué)歸納法解決平面幾何問題
【例4】【鏈接教材P174例5】平面內(nèi)有 n(n\in\mathbf{N}^{*}\ ,n{>=}2) 條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，證明：交點的個數(shù)為 f(n)=m(n-1)
[嘗試解答]
反思領(lǐng)悟用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題時，一要注意數(shù)形結(jié)合，二要注意有必要的文字說明.
跟進訓(xùn)練
4.平面內(nèi)有 n(n\in\mathbf{N}^{*}\ ) )個圓，其中每兩個圓相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，求證：這 n 個圓把平面分成 f(n)=n^{2}-n +2 部分.
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明 n^{3}>3n^{2}+3n+1 這一不等式時，應(yīng)注意 n 必須為 ( ）
A. \boldsymbol{n}\in\mathbf{N}^{*} B.nEN\*,n≥2
C.n\in\mathbf{N}^{*}\ ,n{>=}3 D.nEN\*,n≥4
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明 1+{(1)/(2^{2)}}+{(1)/(3^{2)}}+*s+ (1)/((2^{n)-1)^{2}}{<}2-(1)/(2^{n)-1}(n{>=slant}2,n{\in}\mathbf{N}^{*}) 時，第一步需要證明 Y
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明 f(n)={(1)/(4)}+{(1)/(4^{2)}}+*s+{(1)/(4^{n)}} 的過程中， f(k+1)-f(k)=
4.用數(shù)學(xué)歸納法證明 (1)/(2^{2)}+(1)/(3^{2)}+*s+(1)/((n+1)^{2)}> (1)/(2){-}(1)/(n{+)2}. 假設(shè) n{=}k 時,不等式成立,則當(dāng) n =k+1 時，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是
用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) n>=slant2 \mathbf{\Omega}_{n}\in\mathbf{N}^{*} 時，\left(1{-}{(1)/(4)}\right)\left(1{-}{(1)/(9)}\right)\left(1{-}{(1)/(16)}\right)*s\bullet\left(1{-}{(1)/(n^{2)}}\right){=}{(n{+}1)/(2n)}.
課堂小結(jié)
回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的步驟是什么？
章末綜合提升
鞏固層·知識整合
）提升層·題型探究
類型1求數(shù)列的通項公式
數(shù)列通項公式的求法
(1)定義法，直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適用于已知數(shù)列類型的題目.
(2)已知 S_{n} 求 \boldsymbol{a}_{n} .若已知數(shù)列的前 n 項和 S_{n} 與 \boldsymbol{a}_{n} 的關(guān)系，求數(shù)列 \{a_{n}\} 的通項 style{a_{n}} 可用公a_{n}=\left\{{\begin{array}{l}{S_{1},n=1,}\\ {S_{n}-S_{n-1},n>=2}\end{array}}\right. 求解.
(3)累加或累乘法
形如 a_{n}-a_{n-1}=f(n)(n{>=slant}2) 的遞推式，可用累加法求通項公式;形如 {(a_{n})/(a_{n-1)}}{=}f(n)(n{>=slant}2) 的遞推式，可用累乘法求通項公式.(4)構(gòu)造法
如 \boldsymbol{a}_{n+1}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{a}_{n}+\boldsymbol{B} 可構(gòu)造 \{a_{n}+n\} 為等比數(shù)列，再求解得通項公式.
【例1】（1)已知等比數(shù)列 \{a_{n}\} 為遞增數(shù)列,且a_{5}^{2}=a_{10},2(a_{n}+a_{n+2})=5a_{n+1} ,則數(shù)列的通項公式 a_{n}= ( ）
A. 2^{n} B. 2"+1C.\left({(1)/(2)}\right)^{n} D.\left({(1)/(2)}\right)^{n+1} (2)已知在數(shù)列 \{a_{n}\} 中， a_{n+1}=3a_{n}+4 且 \left|a_{1}\right? =1 ,求通項公式.
[嘗試解答］
類型2等差、等比數(shù)列的基本運算
在等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式 style{a_{n}} 與前n 項和公式 S_{n} 中，共涉及五個量： a_{1},a_{n},n,d （或 (q),S_{n} ,其中 a_{1} 和 d （或 q )為基本量，“知三求二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于 a_{1},d (q),a_{n},S_{n},n 的方程組，利用方程的思想求出需要的量，當(dāng)然在求解中若能運用等差（比）數(shù)列的性質(zhì)會更好，這樣可以化繁為簡，減少運算量，同時還要注意整體代人思想方法的運用.
【例2】 在等比數(shù)列 \{a_{n}\} 中，已知 a_{1}=2,a_{4} =16 ，
(1)求數(shù)列 \{a_{n}\} 的通項公式；
(2)若 a_{3}\:,a_{5} 分別為等差數(shù)列 \{b_{n}\} 的第3項和第5項，試求數(shù)列 \{b_{n}\} 的通項公式及前 n 項和 S_{n}
[嘗試解答]
類型3等差、等比數(shù)列的判定
等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷方法
(1)定義法： a_{n+1}-a_{n}=d （常數(shù)） \displaystyle\left.\bigcap{a_{n}}\right\} 是等差數(shù)列； ;l=q(q為常數(shù),q≠0)={α}是等比數(shù)列.
(2)中項公式法： 2a_{n+1}=a_{n}+a_{n+2}{\Longleftrightarrow}\{a_{n}\} 是等差數(shù)列； a_{n+1}^{2}=a_{n}\ \bullet\ a_{n+2}\left(\ a_{n}\neq0\right)\Leftrightarrow\{a_{n}\} 是等比數(shù)列.
(3)通項公式法： a_{n}=k n+b(k,b 是常數(shù)) \Leftrightarrow \{a_{n}\} 是等差數(shù)列; a_{n}=c{bf{*}}q^{n}(c,q 為非零常數(shù)） style\left.\bigcap\left\{a_{n}\right\}\right. 是等比數(shù)列.
(4)前 n 項和公式法： S_{n}=A n^{2}+B n(A,B 為常數(shù)， n\in\mathbf{N}^{*}\mathbf{\Gamma})\Longleftrightarrow\{a_{n}\} 是等差數(shù)列; {\cal S}_{n}=A q^{n}- A(A,q 為常數(shù)，且 A{\ne}0,q{\ne}0,q{\ne}1,n{\in}\mathbf{N}^{*}) \displaystyle\Longleftrightarrow\{a_{n}\} 是等比數(shù)列.
提醒： ① 前兩種方法是判定等差、等比數(shù)列的常用方法，而后兩種方法常用于選擇、填空題中的判定. ② 若要判定一個數(shù)列不是等差(比)數(shù)列，則只需判定其任意的連續(xù)三項不成等差(比)即可.
【例3】數(shù)列 \{a_{n}\} 的前 n 項和為 S_{n},a_{1}=1 ，S_{n+1}{=}4a_{n}{+}2(n{\in}\mathbf{N}^{*}).
(1)設(shè) b_{n}=a_{n+1}-2a_{n} ，求證： \{b_{n}\} 是等比數(shù)列；
(2設(shè) c_{n}={(a_{n})/(2^{n-2)}} 求證： \left\{c_{n}\right\} 是等差數(shù)列。
[嘗試解答]
類型4等差、等比數(shù)列的性質(zhì)
解決等差、等比數(shù)列有關(guān)問題的幾點注意
(1)等差數(shù)列、等比數(shù)列公式和性質(zhì)的靈活應(yīng)用；
(2)對于計算解答題注意基本量及方程思想的運用；(3)注重問題的轉(zhuǎn)化，由非等差數(shù)列、非等比數(shù)列構(gòu)造出新的等差數(shù)列或等比數(shù)列，以便利用相關(guān)公式和性質(zhì)解題；
(4)當(dāng)題目中出現(xiàn)多個數(shù)列時，既要縱向考察單一數(shù)列的項與項之間的關(guān)系，又要橫向考察各數(shù)列之間的內(nèi)在聯(lián)系.
【例4】（1）（多選題）等差數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的公差為d ，前 n 項和為 S_{n} ，當(dāng)首項 a_{1} 和 d 變化時， a_{3} +{a_{8}}+{a_{13}} 是一個定值,則下列各數(shù)也為定值的有 ）
A. a_{7} B. a_{8} C. S_{15} D. S_{16} (2)(多選題)設(shè)等比數(shù)列 \left\{a_{n}\right\} 的公比為 \boldsymbol{q} ,其前 n 項和為 S_{n} ，前 n 項積為 {T_{n}} ，并滿足條件a_{1}>1,a_{2023}a_{2024}>1,(a_{2023}-1)/(a_{2024)-1}<0 ,則下列結(jié)論正確的是 ( >
A. S_{2\ 023}{<}S_{2\ 024}
B. a_{2}\L_{023}a_{2}\L_{025}-1{<}0
C. T_{2024} 是數(shù)列 \left\{\begin{array}{l}{T_{n}\right\} 中的最大值D.數(shù)列 \left\{\begin{array}{l}{T_{n}\right\} 無最大值
(3)等比數(shù)列 \{a_{n}\} 的各項均為正數(shù),且 a_{1}a_{5}= 4，則 \log_{2}a_{1}+\log_{2}a_{2}+\log_{2}a_{3}+\log_{2}a_{4}+ \log_{2}a_{5}=.
[嘗試解答]
類型5 數(shù)列求和
數(shù)列求和問題一般轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的前 n 項和問題或已知公式的數(shù)列求和，不能轉(zhuǎn)化的再根據(jù)數(shù)列通項公式的特點選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?，一般常見的求和方法有?/p>
(1)公式法：利用等差數(shù)列或等比數(shù)列前 n 項和公式.
(2)分組求和法：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列.
(3)裂項(相消)法:有時把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和.
(4)錯位相減法：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成的數(shù)列求和.(5)倒序相加法：例如，等差數(shù)列前 n 項和公式的推導(dǎo).
【例5】已知數(shù)列 \{a_{n}\} 的前 n 項和 S_{n}=k c^{n}-k (其中 \mathbf{\Psi}_{c},k_{\mathbf{\Psi}} 為常數(shù)),且 a_{2}=4,a_{6}=8a_{3} ：(1)求a;(2)求數(shù)列 \{n a_{n}\} 的前 n 項和.
[嘗試解答]
第5章
導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
5.1 導(dǎo)數(shù)的概念
5.1.1 平均變化率
| 学习任务 | 核心素养 |
| 1.了解平均变化率的实际背景. | 1.通过对函数的平均变化率概念的学习，培 |
| 2.理解平均变化率的含义.(重点) | 养数学抽象的核心素养. |
| 3.会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用 | 2.通过利用平均变化率解释实际问题，培养 |
| 平均变化率解释一些实际问题.(难点) | |
| 数学建模的核心素养. |
[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]
情境與問題
高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度 h(m) 與起跳后的時間t(s)存在函數(shù)關(guān)系 h(t)=-4.9t^{2}+6.5t+1 10.那么如何用運動員在某些時間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運動狀態(tài)？
知識點 平均變化率
(1)平均變化率的定義：函數(shù) f(x) 在區(qū)間[x_{1},x_{2}] 上的平均變化率為
(2)平均變化率是曲線陡峭程度的“ 》或者說，曲線陡峭程度是平均變化率的“ ”
體驗）1.思考辨析（正確的打“ \surd ”，錯誤的 打“ x^{\prime\prime})
(1)對于函數(shù) y=f(x) ，當(dāng) x 從 x_{1} 變?yōu)?x_{2} 時， x_{2}-x_{1} 一定大于0. （ )
(2)對于函數(shù) \scriptstyle y=f(x) ，當(dāng) x 從 x_{1} 變?yōu)?x_{2} 時，函數(shù)值的變化量 f(x_{2})-f(x_{1}) 可以是正數(shù)，也可以是負數(shù)或零. C 冏）
體驗2.若一質(zhì)點按規(guī)律 \Deltas=8+t^{2} 運動，則在一小段時間[2,2.1]內(nèi)的平均速度是（）
A. 4 B. 4.1
C.0.41 D.-1.1
