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非常學(xué)案

高中新課程同步核心輔導(dǎo)

非常學(xué)案FEICHANG XUEAN

圖書在版編目（CIP）數(shù)據(jù)

非常學(xué)案．?dāng)?shù)學(xué)選擇性必修第一冊蘇教版／《非
常學(xué)案》編寫組編著．--南京：江蘇人民出版社，
2024.8（2025.3重印）ISBN 978-7-214-29357-21.G634中國國家版本館CIP數(shù)據(jù)核字第20242XV453號
書名 非常學(xué)案數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊蘇教版
編著 《非常學(xué)案》編寫組
責(zé)任編輯 葉子帆
出版發(fā)行 江蘇人民出版社
地 址 南京市湖南路1號A樓，郵編：210009
印 刷 山東奧文印業(yè)有限公司
開 本 880毫米 x1230 毫米1/16
印 張 26.5
字 數(shù) 742千字
版 次 2024年8月第1版
印 次 2025年3月第2次印刷
標(biāo)準(zhǔn)書號 ISBN 978-7-214-29357-2
估 價 79.60元
如發(fā)現(xiàn)圖書質(zhì)量問題，請聯(lián)系我們：楊老師，0537-7387773；嚴(yán)老師，025-83658087，18705186649

緊扣教材、情境與問題式學(xué)案、引領(lǐng)學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

情境與問題

賽艇是一項(xiàng)通過槳和槳架進(jìn)行簡單杠桿作用，使舟艇前進(jìn)的劃水運(yùn)動.劃桿與

水平面所成角的大小，直接關(guān)系到賽艇的速度.如何確定劃桿與水平面所成角，正是我們這一節(jié)學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

情境與問題

地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道平面稱為“黃道面”，黃道面與地球赤道面的交角（二面角的平面角）為 23° 26'.黃道面與天球相

融合各版本教材經(jīng)典，實(shí)現(xiàn)教材與教輔的統(tǒng)一、教與考的銜接

3.（源自人教A版教材例題)如圖，在平行六面體 A B C D//B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} 中， A B=5,A D=3,A A^{\prime}=7,\angle B A D\ =\ 60°, BAA’=\angle D A A^{\prime}=45°. 求：

(2)A C^{\prime} 的長(精確到0.1).

通關(guān)鏈接教材潛在高考題，精練教材改編題，讓學(xué)生重視教材

【例3】【鏈接教材 P_{31} 例1】如圖，已知正方體ABCD-A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} 點(diǎn) M,N 分別是面對角線 A^{\prime}B 與面對角線A^{\prime}C^{\prime} 的中點(diǎn).求證： M N//A D^{\prime}.

[嘗試解答]

4.（教材 P_{37} 練習(xí)B T_{3} 改編)如 D圖所示，在正方體ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，已知 M,N 分別是 B D 和 A D 的中B點(diǎn)，則 B_{1}M 與 D_{1}N 所成角的余弦值為

深挖教材欄目，創(chuàng)設(shè)微課時、拓展課，拓展學(xué)生的認(rèn)知

1 \triangle A B C 的面積 S={(1)/(2)}|{\overrightarrow{A B}}|*|{\overrightarrow{A C}}|\sin A, 則以 A B,A C 為鄰邊的平行四邊形的面積 S= |{\overrightarrow{A B}}||{\overrightarrow{A C}}|*\sin A.

2.利用向量坐標(biāo)表示求出 \mid\overrightarrow{A B}\mid,\mid\overrightarrow{A C}\mid 及cOS A ，進(jìn)而求出 \sin A, 得到面積.

3. \triangle A B C 的面積公式的向量形式：

【典例】已知空間三點(diǎn) A\left(0,2,3\right),B\left(-2,1,\right. 6),C(1，一1,5).求以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積.

精選與高考命題背景相關(guān)的數(shù)學(xué)閱讀材料，拓寬知識層面

[閱讀材料·拓展數(shù)學(xué)大視野]

拓寬知識層面·增加學(xué)習(xí)趣味笛卡兒與解析兒何

從16世紀(jì)開始，由于制造業(yè)和航海業(yè)的迅猛發(fā)展，產(chǎn)生了許多迫切需要解決的實(shí)際問題，如航行中船的定位、速度問題等，這些問題都向數(shù)學(xué)提出了挑戰(zhàn)，在這一形勢下笛卡兒奠更長時間、更努力、更忘我的思考，他推崇嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理.1620年前后，他證明了四次方程x^{4}+p x^{2}+q x+r=0 的根，可以通過拋物線和圓的交點(diǎn)求出，巧妙地把代數(shù)和幾何結(jié)合在了一起.

數(shù)智教輔 智輔未來

“云教智學(xué)”平臺為精準(zhǔn)教學(xué)和管理提供大數(shù)據(jù)支持

“云教智學(xué)”平臺是由公司原創(chuàng)設(shè)計(jì)、全面賦能紙媒教育的云平臺，平臺既有豐富的備課資源、龐大的試題庫，還具有多樣化、精準(zhǔn)化的批閱采集與學(xué)情分析功能。

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圖書配備的“數(shù)智分層作業(yè)”是圖書和“云教智學(xué)”平臺融合使用的橋梁，以“數(shù)智分層作業(yè)”為載體、以平臺為支持，可全程掃描批閱，多維度生成數(shù)據(jù)分析報告，歸類錯因錯題，依托“云教智學(xué)”的強(qiáng)大功能，可提升老師的講評效率和教學(xué)的精準(zhǔn)度，可幫助學(xué)生快速實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)短板的精準(zhǔn)提升。

“數(shù)智分層作業(yè)”采用的題卡合一模式，學(xué)生可直接在相應(yīng)的作業(yè)上作答，不必再把答題內(nèi)容填涂到答題卡上。作業(yè)采用活頁形式裝訂設(shè)計(jì)，方便老師收發(fā)批閱

作業(yè)掃描批閱之后，均可以形成學(xué)情報告，精準(zhǔn)記錄學(xué)生的作業(yè)完成情況、學(xué)情波動情況，能夠準(zhǔn)確分析學(xué)生個體、班級和年級的各類測評數(shù)據(jù)，為老師因材施教、差異化教學(xué)提供了依據(jù)

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所有的作業(yè)內(nèi)容均可以實(shí)現(xiàn)智能掃描批閱，減輕了老師批閱的工作量。主觀題和客觀題都設(shè)計(jì)了填涂區(qū)域，平臺可智能識別主觀題，客觀題也能精準(zhǔn)識別老師批改痕跡和賦分情況

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目錄

第1章 直線與方程

1.1直線的斜率與傾斜角

1.2 直線的方程

1.2. 1 直線的點(diǎn)斜式方程 5
1.2.2 直線的兩點(diǎn)式方程 9
1.2.3 直線的一般式方程· 12

閱讀材料·拓展數(shù)學(xué)大視野方向向量與直線的參數(shù)

方程 16

1.3兩條直線的平行與垂直· 17
1.4兩條直線的交點(diǎn)·. 22
1.5平面上的距離.·. 26
1.5.1平面上兩點(diǎn)間的距離· 26
閱讀材料·拓展數(shù)學(xué)大視野笛卡兒與解析幾何…：29
1.5.2點(diǎn)到直線的距離 30
章末綜合提升 35

第2章 圓與方程

2.1圓的方程 37
第1課時 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 37
閱讀材料·拓展數(shù)學(xué)大視野 坐標(biāo)法與數(shù)學(xué)機(jī)械化：41
第2課時 圓的一般方程 42
2.2直線與圓的位置關(guān)系.· 46
2.3圓與圓的位置關(guān)系 50
章末綜合提升 54

第3章 圓錐曲線與方程

3.1橢圓 56
3.1.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程· 56

閱讀材料·拓展數(shù)學(xué)大視野傾斜的試管液面輪廓

一定是橢圓 60

3.1.2 橢圓的幾何性質(zhì)·· 60
第1課時 橢圓的幾何性質(zhì) 60
第2課時 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)的應(yīng)用 65

3.2 雙曲線· 70

3.2.1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程· 70
3.2.2 雙曲線的幾何性質(zhì)…· 75

3.3 拋物線·. 80

3.3.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程· 80
3.3.2 拋物線的幾何性質(zhì).· 84
閱讀材料·拓展數(shù)學(xué)大視野圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：89
章末綜合提升 90

亮點(diǎn)素引

反思領(lǐng)悟

1.求直線的傾斜角的方法及兩點(diǎn)注意/2
2.解決斜率問題的方法/3
3.直線的傾斜角和斜率的關(guān)系/4
4.求直線的點(diǎn)斜式方程的步驟/6
5.求直線的斜截式方程/7
6.利用待定系數(shù)法求直線方程/7
7.由兩點(diǎn)式求直線方程的步驟/10
8.利用截距式求直線方程的注意事項(xiàng)/11
9.直線方程的選擇技巧/11
10.直線恒過定點(diǎn)的求解策略/14
11.利用兩條直線平行或垂直判定圖形形狀的步驟/21
12.兩條直線相交的判定方法/23
13.解含有參數(shù)的直線恒過定點(diǎn)的問題/24
14.過兩條直線交點(diǎn)的直線方程的求法/25
15.計(jì)算兩點(diǎn)間距離的方法/27
16.利用坐標(biāo)法解決平面幾何問題常見的步驟/28

第4章 數(shù)列

4.1 數(shù)列. 93

第 1 課時 數(shù)列的概念及簡單表示法 93
第2課時 數(shù)列的遞推公式 97

4.2 等差數(shù)列 10]

4.2.1等差數(shù)列的概念 101
4.2.2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 101
第 1 課時等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式. 101
第2課時 等差數(shù)列的性質(zhì) 105

4.2.3 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 109

第 1 課時 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和· 109
第2課時 等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的性質(zhì).··. 114

4.3 等比數(shù)列 118

4.3.1 等比數(shù)列的概念 118
4.3.2 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 118
第 1 課時等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式 118
第2課時 等比數(shù)列的性質(zhì)· 122

4.3.3 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 27

第1課時 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和· 127
第2課時 等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用· 131

4.4 數(shù)學(xué)歸納法 ^{*} 135

章末綜合提升· 140

第5章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

5.1 導(dǎo)數(shù)的概念 143

5.1.1 平均變化率 143
5.1.2 瞬時變化率 導(dǎo)數(shù) 146

5.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 152

5.2.1 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 152
5.2.2 函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù).·. 152
5.2.3 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 156

5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 159

5.3.1 單調(diào)性 159
5.3.2 極大值與極小值 164
5.3.3 最大值與最小值 168
第1課時 最大值與最小值· 168
第2課時 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)有關(guān)問題及實(shí)際生活中的
應(yīng)用.. 173

章末綜合提升· 178

數(shù)智分層作業(yè)（單獨(dú)成冊） 183-260
綜合測評（單獨(dú)成冊） 261-284
參考答案（單獨(dú)成冊）· 285-420

第1章

直線與方程

1.1 直線的斜率與傾斜角

[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]

情境與問題

我們知道，經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有（確定)一條直線，那么，經(jīng)過一點(diǎn) P 的直線 \mathbf{\xi}_{l} 的位置能確定嗎？如圖所示，過一點(diǎn) P 可以作無數(shù)多條直線 a,b,c,*s ，我們可以看出這些直線都過點(diǎn) P ，但它們的“傾斜程度”不同，怎樣描述這種“傾斜程度”的不同呢？

知識點(diǎn)1 直線的斜率

對于直線 l 上的任意兩點(diǎn) P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2})

(1)如果 x_{1}\neq x_{2} ,那么由相似三角形的知識可知， (y_{2}-y_{1})/(x_{2)-x_{1}} 是一個定值,我們將其稱為直線 \mathbf{\xi}_{l} 的斜率.
k=(y_{2}-y_{1})/(x_{2)-x_{1}}(x_{1}\neq x_{2}).

(2)如果 {\boldsymbol x}_{1}={\boldsymbol x}_{2} ,那么直線 \mathbf{\xi}_{l} 的斜率不存在.(3)對于與 x 軸不垂直的直線 \mathbf{\xi}_{l} ，它的斜率也可以看作=縱坐標(biāo)的增量·體驗(yàn)1.已知經(jīng)過兩點(diǎn) (5,m) 和 (m,8) 的直線的斜率等于1，則 \mathbf{\nabla}_{m} 的值是

知識點(diǎn)2直線的傾斜角

思考1.任意一條直線都有傾斜角嗎？不同直線的傾斜角一定不相同嗎？

配蘇教版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

知識點(diǎn)3直線的傾斜角與斜率的關(guān)系

(1)當(dāng)直線 \mathbf{\xi}_{l} 與 x 軸垂直時，直線 \mathbf{\xi}_{l} 的傾斜角為 (π)/(2) ,斜率不存在；(2）當(dāng)直線 \mathbf{\xi}_{l} 與 x 軸不垂直時，直線 \mathbf{\xi}_{l} 的斜率 k 與傾斜角 α 之間的關(guān)系為 k{=}tan~α\big(α{\ne}(π)/(2)\big) ：

思考2.所有直線都有斜率嗎？若直線沒有斜率，那么這條直線的傾斜角為多少？

體驗(yàn)2.已知一條直線過點(diǎn) (3,-2) 與點(diǎn)(-1,-2) ，則這條直線的傾斜角 α 是（ ）

體驗(yàn)3.已知直線 \mathbf{\xi}_{l} 的傾斜角為 {30}° ，則直線 \mathbf{\xi}_{l} 的斜率為 C

體驗(yàn)）4.思考辨析（正確的打“ \surd ”，錯誤的打? *_{\bigtriangledown}{\bigtriangledown^{*}}\bigtriangledown^{*})

(1)若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對應(yīng)， Y

(2)若直線的傾斜角存在，則必有斜率與之對應(yīng). C

(3)若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定 相等. 1

(4)直線的傾斜角 α 的集合 \{α\mid0°<=slantα<180°\} 與直線集合建立了一一對應(yīng)關(guān)系．（）

反思領(lǐng)悟 求直線的傾斜角的方法及兩點(diǎn)注意

(1)方法：結(jié)合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角.
(2）兩點(diǎn)注意： ① 當(dāng)直線與 x 軸平行或重合時，傾斜角為 {0}° ;當(dāng)直線與 x 軸垂直時，傾斜角為 90°
② 注意直線傾斜角的取值范圍是 0°<=slantα {<}180° ：

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

1.一條直線 \mathbf{\xi}_{l} 與 x 軸相交,其向上的方向與 y 軸正方向所成的角為 α\left(0°<α{<}90°\right) ，則其傾斜角為 C ）

A.α
B *{180}°-α
C *\left180°-α 或 90°-α D. 90°+α 或 90°-α

類型2 直線的斜率

【例2】【鏈接教材P6例1】

(1)過兩點(diǎn) A(4,y),B(2,-3) 的直線的傾斜 角是 135° ，則 y 等于 ( >

A.1 B.5 C.-1 D.-5

(2)若 A(1,1),B(3,5),C(\boldsymbol{a},7) 三點(diǎn)共線，則 a 的值為

(3)如圖,直線 l_{1} 的傾斜角 α_{1} ={30}° ,直線 l_{1}\perp l_{2} ，求 l_{1}\ldots l_{2} 的 斜率.

[嘗試解答]

類型3直線的傾斜角和斜率的綜合

【例3】已知兩點(diǎn) A(-3,4),B(3,2) ，過點(diǎn)P(1,0) 的直線 \mathbf{\xi}_{l} 與線段 A B 有公共點(diǎn).(1)求直線 \mathbf{\xi}_{l} 的斜率 k 的取值范圍；(2)求直線 \mathbf{\xi}_{l} 的傾斜角 α 的取值范圍.

[思路探究]結(jié)合圖形考慮， \mathbf{\xi}_{l} 的傾斜角應(yīng)介于直線PB與直線 P A 的傾斜角之間.要特別注意，當(dāng) \mathbf{\xi}_{l} 的傾斜角小于 90° 時，有 k>=slant k_{P B} ；當(dāng) \mathbf{\xi}_{l} 的傾斜角大于 90° 時，則有 k{<=slant}k_{P A} ：

嘗試解答]

反思領(lǐng)悟 解決斜率問題的方法

(1)由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)利用定義式 k{=}tan~α(α{\neq}90°) 解決.
(2)由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率運(yùn)用斜率公式 k= (y_{2}-y_{1})/(x_{2)-x_{1}}(x_{1}\neq x_{2})
(3)涉及直線與線段有交點(diǎn)問題常利用數(shù)形結(jié)合列式求解.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

2.設(shè)點(diǎn) A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1, 4），直線 A C 的斜率是直線BC的斜率的3 倍，則實(shí)數(shù) \mathbf{\Psi}_{m} 的值為

母題探究]

1.(變條件)本例中，三點(diǎn)坐標(biāo)不變，其他條件改為過 B 的直線與線段 A P 有公共點(diǎn)，求直線L的斜率的取值范圍.

2.（變條件）本例中， A,B 兩點(diǎn)坐標(biāo)不變，其他條件去掉，在直線 y=-1 上求一點(diǎn) P ，使 P A,P B 的斜率互為相反數(shù).

1.（教材P6例1改編）已知直線經(jīng)過點(diǎn)A(0，4)和點(diǎn)B(1,2),則直線 _{A B} 的斜率為（ ）

A.3 B.-2C.2 D.不存在

2.若直線 l 經(jīng)過 M(2,3),N(4,3) ，則直線 \mathbf{\xi}_{l} 的 傾斜角為 C >

A. {0}° B.30°
C. {60}° {D}.{90}°

3.若直線 \mathbf{\xi}_{l} 經(jīng)過第二、四象限，則直線 \mathbf{\xi}_{l} 的傾 斜角范圍是 ( >

A. 0°<=slantα<90° {B}.90°{<=slant}α{<}180° C. 90°<α<180° I ).0°<α<180°

4.若過兩點(diǎn) A(4,y),B(2,-3) 的直線的傾斜 角為 45° ，則 s=\_

5.已知交于點(diǎn) M(8,6) 的四條直線 l_{1},l_{2},l_{3},l_{4} 的傾斜角之比為 ~1~:~2~:~3~:~4~ ，又知 l_{2} 過點(diǎn)N(5,3) ，求這四條直線的傾斜角.

反思領(lǐng)悟 直線的傾斜角和斜率的關(guān)系

(1)直線都有傾斜角，但并不是所有的直線都有斜率.當(dāng)傾斜角是 90° 時，直線的斜率不存在，此時，直線垂直于 x 軸（平行于 y 軸或與 _y 軸重合).

(2)直線的斜率也反映了直線相對于 x 軸的正方向的傾斜程度.當(dāng) 0°<=slantα<90° 時，斜率越大，直線的傾斜程度越大；當(dāng) 90°<α<180° 時，斜率越大，直線的傾斜程度也越大.

跟進(jìn)訓(xùn)練]

3.若點(diǎn) P(x,y) 在以 A(-3,1),B(-1,0) ，C(-2,0) 為頂點(diǎn)的 \triangle A B C 的內(nèi)部運(yùn)動(不包含邊界),則 (y-2)/(x-1) 的取值范圍是

課堂小結(jié)

回顧本節(jié)內(nèi)容，自我完成以下問題：直線的斜率和傾斜角反映了直線的傾斜程度，二者緊密相連，它們有什么聯(lián)系？

1.2 直線的方程

1.2.1 直線的點(diǎn)斜式方程

[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]

情境與問題

斜拉橋又稱斜張橋，橋身簡約剛毅，力感十足.若以橋面所在直線為 x 軸，橋塔所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，那么斜拉索可看成過橋塔上同一點(diǎn)的直線.

已知某一斜拉索過橋塔上一點(diǎn)B，那么該斜拉索位置能確定嗎？

知識點(diǎn)直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程

提醒：在直線 \mathbf{\xi}_{l} 的斜截式方程 y=k x+b 中，我們把直線 \mathbf{\xi}_{l} 與 y 軸的交點(diǎn) (0,b) 的縱坐標(biāo) b 稱為直線 \mathbf{\xi}_{l} 在 y 軸上的截距.

體驗(yàn)）1.思考辨析（正確的打“ \surd ”，錯誤的 打“ x\prime\prime

(1)直線的點(diǎn)斜式方程能表示平面上的所有直線.（）

② (y-y_{0})/(x-x_{0)}{=}k 與 y-y_{1}=k(x-x_{1}) 都是直線的點(diǎn)斜式方程. C

體驗(yàn)2.直線 \mathbf{\xi}_{l} 的點(diǎn)斜式方程是 y-2=3(x +1) ，則直線 \mathbf{\xi}_{l} 的斜率是 ( ）

A.2 B.-1 C.3 D.-3

體驗(yàn)3.直線 {(x)/(a^{2)}}-{(y)/(b^{2)}}=1 =1在軸上的截距是 C

A. \left|\boldsymbol\right| B.-62 C. b^{2} D.±b

體驗(yàn)）4.過點(diǎn)（2,1)且斜率為3的直線的點(diǎn)斜式方程為

類型1直線的點(diǎn)斜式方程

【例1】【鏈接教材P12例1、例2】

（1)一條直線經(jīng)過點(diǎn)（2，5），傾斜角為 45° ，則這條直線的點(diǎn)斜式方程為

(2)經(jīng)過點(diǎn)（一5,2）且與 y 軸的夾角為 {30}° 的 直線方程為

[嘗試解答]

反思領(lǐng)悟 求直線的點(diǎn)斜式方程的步驟

提醒：斜率不存在時，過點(diǎn) P(x_{0},y_{0}) 的直線與 x 軸垂直，直線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，都為 x_{0} ,故直線方程為 {\boldsymbol x}={\boldsymbol x}_{0} ：

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

1.分別求出經(jīng)過點(diǎn) P(3,4) ，且滿足下列條件的 直線方程，并畫出圖形.

(1)斜率 k=2 ；(2)與 x 軸平行；(3)與 x 軸 垂直.

類型2直線的斜截式方程

【例2】 根據(jù)條件寫出下列直線的斜截式方程：

(1)斜率為2,與 _y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)；(2)傾斜角為 {150}° ，在 _y 軸上的截距是－2；(3)傾斜角為 {60}° ，與 y 軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3.

嘗試解答］

反思領(lǐng)悟 求直線的斜截式方程

(1)先求參數(shù) k 和 b ，再寫出斜截式方程.(2)斜率可以是已知的，也可以利用傾斜角來求出，還可以利用平行、垂直關(guān)系求出斜率.(3)b 是直線在 y 軸上的截距，即直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，不是交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

［跟進(jìn)訓(xùn)練

2.已知直線 \mathbf{\xi}_{l} 在 _y 軸上的截距為一2，根據(jù)條件，分別寫出直線 \mathbf{\xi}_{l} 的斜截式方程.

(1)直線 \mathbf{\xi}_{l} 經(jīng)過點(diǎn) M(m,n),N(n,m)(m{\neq}n) (2)直線 \mathbf{\xi}_{l} 與坐標(biāo)軸圍成等腰三角形.

類型3直線的方程的簡單應(yīng)用

【例3】已知直線 \mathbf{\xi}_{l} 的斜率為 (1)/(6) ,且和兩坐標(biāo)軸圍成面積為3的三角形，求 \mathbf{\xi}_{l} 的斜截式方程.

嘗試與發(fā)現(xiàn)

直線 y^{-}{y_{1}}=k({x}{-}{x_{1}}) 與 x 軸和 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么？

嘗試解答]

反思領(lǐng)悟 利用待定系數(shù)法求直線方程

(1)已知一點(diǎn)，可選用點(diǎn)斜式，再由其他條件確定斜率.
(2)已知斜率，可選用斜截式，再由其他條件確定直線在 y 軸上的截距.

配蘇教版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

3.已知 \triangle A B C 的三個頂點(diǎn)分別是A（0,3)，B(4,2),C\ (2,1) .若直線 \mathbf{\xi}_{l} 過點(diǎn) A ，且將\triangle A B C 分割成面積相等的兩部分，求直線1的斜截式方程.

1.傾斜角為 135° ，在 y 軸上的截距為一1的直線方程是 Y >

A. x-y+1=0 B \scriptstyle*-y-1=0 C. x+y-1=0 D * x+y+1=0

2.已知直線的方程是 y+2=-x-1 ，則（ ）

A.直線經(jīng)過點(diǎn) (-1,2) ，斜率為一1
B.直線經(jīng)過點(diǎn) (2,-1) ,斜率為一1
C.直線經(jīng)過點(diǎn) (-1,-2) ,斜率為一1
D.直線經(jīng)過點(diǎn) (-2,-1) ,斜率為1

3.已知直線 \mathbf{\xi}_{l} 過點(diǎn)(3,4)且與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1),則直線 \mathbf{\xi}_{l} 的方程為

4.無論 k 取何值，直線 y=k x+2k-3 所過的 定點(diǎn)是

5.直線4過點(diǎn) P(-1,2),斜率為一， ，把繞點(diǎn) P 按順時針方向旋轉(zhuǎn) {30}° 角得直線 l_{2} ，求直線 l_{1} 和 l_{2} 的方程.

.已知直線的傾斜角等于直線 y=√(3)x+1 的傾斜角的一半，且經(jīng)過點(diǎn) (2,-3) ，求直線l 的點(diǎn)斜式方程.

課堂小結(jié)

回顧本節(jié)內(nèi)容，自我完成以下問題：

1.建立點(diǎn)斜式方程的依據(jù)是什么？
2.斜截式方程的標(biāo)準(zhǔn)形式及特征是什么？

1.2.2 直線的兩點(diǎn)式方程

[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]

情境與問題

某區(qū)商業(yè)中心 o 有通往東、西、南、北的四條大街，某公園位于東大街北側(cè)、北大街東側(cè) P 處，如圖所示.公園到東大街、北大街的垂直距離分別為1km和4km.現(xiàn)在要在公園前修建一條直線大道分別與東大街、北大街交會于 A,B 兩處，并使商業(yè)中心 o 到 ^{A,B} 兩處的距離之和最短.在上述問題中，實(shí)際上解題關(guān)鍵是確定直線AB，那么直線 A B 的方程確定后，點(diǎn) ^{A,B} 能否確定？

知識點(diǎn)直線的兩點(diǎn)式方程和截距式方程

思考方程 {(y-y_{1})/(y_{2)-y_{1}}}{=}{(x-x_{1})/(x_{2)-x_{1}}} 和方程(yy)（x-{x_{1}})=({x}{-}{x_{1}})({y_{2}}{-}{y_{1}}) 的適用范圍相同嗎？

體驗(yàn)）1.思考辨析（正確的打“ \surd^{\ \leftrightarrow} ,錯誤的打“ x\prime\prime 0

(1)直線的兩點(diǎn)式方程也可以用 {(y-y_{1})/(x-x_{1)}}= (y_{2}-y_{1})/(x_{2)-x_{1}}(x_{1}\neq x_{2},y_{1}\neq y_{2}) C >

(2)任何直線都可以用方程 {(x)/(a)}+{(y)/(b)}=1 表示。( >

(3)能用兩點(diǎn)式寫出的直線方程，也可以用點(diǎn)斜式方程寫出. C ）

體驗(yàn)2.過點(diǎn) A(3,2),B(4,3) 的直線方程是( ）

A.~x+{y+1}=0\qquadB.~x+{y-1}=0\qquad C.\ensuremath{~\b~{~x-y+1=0~}}D.\ensuremath{~\b~{~x-y-1=0}}

體驗(yàn)3.直線 y=3x+2 在 x 軸上的截距是

類型1直線的兩點(diǎn)式方程

【例1】【鏈接教材P14例3】

(1)若直線 \mathbf{\xi}_{l} 經(jīng)過點(diǎn) A\left(2,-1\right),B\left(2,7\right) ，則直線 \mathbf{\xi}_{l} 的方程為

(2)若點(diǎn) P(3,m) 在過點(diǎn) A(2,-1),B(-3 4)的直線上,則 m=

[嘗試解答]

類型 2 直線的截距式方程

反思領(lǐng)悟 由兩點(diǎn)式求直線方程的步驟

(1)設(shè)出直線所經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)根據(jù)題中的條件，找到有關(guān)方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)由直線的兩點(diǎn)式方程寫出直線的方程.提醒：當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過這兩點(diǎn)的直線方程時，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件：兩點(diǎn)的連線不垂直于坐標(biāo)軸.若滿足，則考慮用兩點(diǎn)式求方程.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

1.求經(jīng)過兩點(diǎn) \mathbf{δA}(2,m) 和 B(n,3) 的直線方程.

【例2】求過點(diǎn) (4,-3) 且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線 \mathbf{\xi}_{l} 的方程.

嘗試與發(fā)現(xiàn)

若已知直線與兩坐標(biāo)軸相交，選哪種形式的方程較好？

嘗試解答]

母題探究]

1.（變條件)本例中把“截距相等”改為“截距互為相反數(shù)”，求直線的方程.

2.（變條件)本例中把“相等”改為“絕對值相 等”呢？

反思領(lǐng)悟 利用截距式求直線方程的注意事項(xiàng)

(1)用截距式求直線方程時，縱截距和橫截距都必須存在且都不為0.
① 若 \scriptstyle a=0,b\neq0 ，則直線方程為 \scriptstyle x=0 ；
② 若 a\neq0,b=0 ,則直線方程為 y=0 ；
③ 若 \scriptstyle a=0,b=0 ,則直線方程為 y=k x(k\neq0) ：(2)截距相等且不為零，可設(shè) x+y=a
截距相反且不為零，可設(shè) x-y=a ；
截距相等且均為零，可設(shè) y=k x

類型3直線方程的靈活應(yīng)用

【例3】【鏈接教材P15例4】

在 \triangle A B C 中，已知 A(-3,2),B(5,-4), C(0,-2) ：

(1)求 B C 邊所在直線的方程；
(2)求 B C 邊上的中線所在直線的方程.

[學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)]

1.過 P_{1}(2,0),P_{2}(0,3) 兩點(diǎn)的直線方程是 C

嘗試解答］

反思領(lǐng)悟 直線方程的選擇技巧

(1)已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過該點(diǎn)的直線方程，一般選取點(diǎn)斜式方程，再由其他條件確定直線的斜率.
(2)若已知直線的斜率，一般選用直線的斜截式，再由其他條件確定直線的一個點(diǎn)或者截距.(3)若已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，一般選用直線的兩點(diǎn)式方程，若兩點(diǎn)是與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，就用截距式方程.(4)不論選用怎樣的直線方程，都要注意各自方程的限制條件，對特殊情況下的直線要單獨(dú)討論解決.

_跟進(jìn)訓(xùn)練_

2.過點(diǎn) P(2,3) 且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線有 條.

2.直線 {(x)/(a)}+{(y)/(b)}=1 過第一、三、四象限,則（

A.a{>}0,b{>}0 B,a{>}0,b{<}0 C. a<0,b>0 一 ).a{<}0,b{<}0

3.過兩點(diǎn) (-1,1) 和（3,9）的直線在 x 軸上的截距是

配蘇教版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

4.過點(diǎn)（5，2），且在 x 軸上的截距是在 _y 軸上的截距的2倍的直線方程是

5.求過點(diǎn) P(6,-2) ,且在 x 軸上的截距比在 y 軸上的截距大1的直線方程.

課堂小結(jié)

回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：

1.直線的兩點(diǎn)式方程及其適用情形分別是什么？
2.直線的截距式方程及其適用情形分別是什么？

提示請完成《課時分層作業(yè)（三）》 見第187頁

1.2.3 直線的一般式方程

[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]

情境與問題

初中我們學(xué)習(xí)過二元一次方程，它的具體形式是 A x+B y+C=0 ，前面我們又學(xué)習(xí)了直線方程的點(diǎn)斜式： y-y_{0}=k(x-x_{0}) 、斜截式:y=kx+b、兩點(diǎn)式: {(y-y_{1})/(y_{2)-y_{1}}}{=}{(x-x_{1})/(x_{2)-x_{1}}} 和截距式： 2a十=1.它們都可以化成為二元一次方程的形式，同時在一定條件下，這種形式也可以轉(zhuǎn)化為斜截式和截距式，我們把 A x+B y+C=0(A,B) 不同時為零）叫作直線的一般式，下面進(jìn)入今天的學(xué)習(xí).

知識點(diǎn)直線的一般式方程

(1)定義：方程 A x+B y+C=0(A,B 不全為0)叫作直線的一般式方程.
(2)適用范圍：平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可用一般式表示.
(3)系數(shù)的幾何意義：
① 當(dāng) B{\neq}0 時,則 -{(A)/(B)}=k (斜率)， =b(y軸上的截距);
② 當(dāng) B{=}0 ， A\neq0 時，則 -{(C)/(A)}{=}a(x 軸上的截距),此時不存在斜率.

思考當(dāng) A=0 或 B=0 或 C=0 時，方程A x+B y+C=0 分別表示什么樣的直線？

體驗(yàn)）1.思考辨析（正確的打“～”，錯誤的打“ x ”)

(1)直線的一般式方程可以表示平面內(nèi)任意一條直線. C ）

類型1直線的一般式方程與其他形式

的互化

【例1】【鏈接教材P17例5】

(1)已知直線的一般式方程為 2x-3y+6=0 ，請把一般式方程寫成為斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐標(biāo)軸上的截距.
(2)根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式.
① 斜率是 ,經(jīng)過點(diǎn) A(8，-2);
② 經(jīng)過點(diǎn)B(4,2),平行于 x 軸；
③ 在 x 軸和 y 軸上的截距分別是 {(3)/(2)},-3 ④ 經(jīng)過兩點(diǎn) P_{1}(3,-2),P_{2}(5,-4).

[嘗試解答]

(2）直線的其他形式的方程都可化為一般式. (

(3)關(guān)于 x,y 的二元一次方程 A x+B y+C =0(A,B 不同時為0)一定表示直線.（）

體驗(yàn)2.已知直線 2x+a y+b=0 在 x 軸、 y 軸上的截距分別為一1,2，則 {\mathbf{α}}_{a,b} 的值分別為）

A.-1,2 B.-2,2 C.2,-2D.-2,-2

體驗(yàn)3.直線 3x-{√(3)}\ y+1=0 的傾斜角為

反思領(lǐng)悟1.求直線的一般式方程的方法

2.由直線的一般式方程轉(zhuǎn)化為四種特殊形式時，一定要注意其運(yùn)用的前提條件.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

1.根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程.

(1)斜率是 √(3) 且經(jīng)過點(diǎn) A(5,3) ；
(2)經(jīng)過 A(-1,5),B(2,-1) 兩點(diǎn)；
(3)在 x,y 軸上的截距分別是一3，一1.

類型2 直線過定點(diǎn)問題

【例2】求直線l： (m-1)x-y+2m+1=0 所過 的定點(diǎn)的坐標(biāo).

[嘗試解答]

反思領(lǐng)悟 直線恒過定點(diǎn)的求解策略

(1)將方程化為點(diǎn)斜式，求得定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)將方程變形，把 x ， y 看作參數(shù)的系數(shù)，因?yàn)榇耸阶訉τ谌我獾膮?shù)的值都成立，故需系數(shù)為零，解方程組可得 x ， y 的值,即為直線過的定點(diǎn).

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

2.不論 \mathbf{\Psi}_{m} 為何值,直線 3(m-1)x+2(m+1)y -12=0 過定點(diǎn) （ ）

*\left(1,-{(1)/(2)}\right) B. (2,3) C.(-2,3) D.(2,0)

類型3直線一般式方程的應(yīng)用

【例3】【鏈接教材P18例6】已知直線 l:5a x-5y-a+3=0. (1)求證：不論 a 為何值，直線 \mathbf{\xi}_{l} 總經(jīng)過第一象限；(2)為使直線 \mathbf{\xi}_{l} 不經(jīng)過第二象限，求 \scriptstyle a 的取值范圍.

嘗試與發(fā)現(xiàn)

1.直線 l\colon5a x-5y-a+3=0 是否過定點(diǎn)？
2.若直線 y=k x+b(k\neq0) 不經(jīng)過第二象限， k,b 應(yīng)滿足什么條件？

嘗試解答]

[母題探究]

1.(變條件，變結(jié)論)本例中若直線在 y 軸的截距為2,求 \mathbf{\Delta}_{a} 的值.這時直線的一般式方程是什么？

2.(變條件，變結(jié)論)若直線 l:5a x-5y-a+\} 3=0 的傾斜角為直線 {√(3)}x-y+3=0 的傾斜角的2倍，求直線 \mathbf{\xi}_{l} 的方程.

1.如果 a x+b y+c=0 表示的直線是 y 軸，則系數(shù) \mathbf{\omega}_{a,b,c} 滿足條件 ? ）

A. b c=0 B.a\ne0 C. b c=0 且 a\ne0 D. a\ne0 且 \scriptstyle b=c=0

2.直線 x-y-1=0 與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為 ( ）

(1)/(4) (1)/(2) A. B.2 C.1 D.2

3.斜率為2，且經(jīng)過點(diǎn) P(1,3) 的直線的一般式方程為

4.（教材P19練習(xí)T3改編)若直線 l{:}a x{+}y{-}2{=}
0在 x 軸和 y 軸上的截距相等，則 \scriptstyle a=

5.若方程 (m^{2}-3m+2)x+(m-2)y-2m+5 =0 表示直線.

(1)求實(shí)數(shù) \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范圍；

反思領(lǐng)悟 已知含參的直線的一般式方程求參數(shù)的值（范圍)的步驟

(2)若該直線的斜率 k=1 ，求實(shí)數(shù) \mathbf{\Psi}_{m} 的值.

課堂小結(jié)

回顧本節(jié)內(nèi)容，自我完成以下問題：

1.如何把直線的一般方程化為斜截式與截距式？

2.平面直角坐標(biāo)系中任何一條直線都可以用關(guān)于 \mathbf{\Phi}_{x,y} 的二元一次方程 A x+B y+C =0(A,B 不同時為零)來表示嗎？

3.任何關(guān)于 x,y 的二元一次方程 A x+B y +C=0(A,B 不同時為零)都可以表示平面直角坐標(biāo)系中的一條直線嗎？

方向向量與直線的參數(shù)方程

除了直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式方程，還有一種形式的直線方程與向量有緊密的聯(lián)系，它由一個定點(diǎn)和這條直線的方向向量唯一確定，與直線的點(diǎn)斜式方程本質(zhì)上是一致的.

如圖，設(shè)直線 \mathbf{\xi}_{l} 經(jīng)過點(diǎn)P_{\scriptsize\0}(x_{\scriptsize0},y_{\scriptsize0}),{\nu}=(m,n) 是它的一個方向向量， P(x,y) 是直線 \mathbf{\xi}_{l} 上的任意一點(diǎn)，則向量 \overrightarrow{P_{\scriptscriptstyle0}P} 與 \mid\nu\mid 共線.根據(jù)向

量共線的充要條件，存在唯一的實(shí)數(shù) \mathbf{\Psi}_{t} ，使 \overrightarrow{P_{\scriptscriptstyle0}P}
=t±b{\nu} ,即 (x-x_{0},y-y_{0})=t(m,n) ，\left\{{\begin{array}{l}{x=x_{0}+m t,}\\ {y=y_{0}+n t.}\end{array}}\right. 所以 ①

在 ① 中，實(shí)數(shù) \mathbf{\chi}_{t} 是對應(yīng)點(diǎn) P 的參變數(shù)，簡稱參數(shù).由上可知，對于直線 \mathbf{\xi}_{l} 上的任意一點(diǎn) P\left(x ，y),存在唯一實(shí)數(shù) \mathbf{\Psi}_{t} 使 ① 成立；反之，對于參數(shù) \mathbf{\Psi}_{t}\mathbf{\Psi}_{\mathbf{\Psi}} 的每一個確定的值，由 ① 可以確定直線 \mathbf{\xi}_{l} 上的一個點(diǎn) P\left(x,y\right) .我們把 ① 稱為直線的參數(shù)方程.

從運(yùn)動學(xué)角度看， \overrightarrow{P_{\scriptscriptstyle0}P}=t{±b\nu}(t>0) 可以看成質(zhì)點(diǎn) P 從點(diǎn) P_{~o~} 出發(fā)，以速度 ±b{\nu}=(m,n) 作勻速直線運(yùn)動，經(jīng)過時間 \mathbf{\Psi}_{t}\mathbf{\Psi}_{\mathbf{\Psi}} 后的位移，因此，質(zhì)點(diǎn) P 的運(yùn)動軌跡是射線 P_{0}M. 類似地，你能刻畫射線 P_{0}N 嗎？由以上討論，你能說說方程 ① 的運(yùn)動學(xué)意義嗎？

如果直線 l 與坐標(biāo)軸不垂直，那么 m n{\neq}0 由 ① 可得

消去參數(shù) \mathbf{\Psi}_{t} ，得

即 y-y_{0}=(n)/(m)(x-x_{0}) ，

這樣就得到直線 \mathbf{\xi}_{l} 的點(diǎn)斜式方程，

從另外一個角度思考，因?yàn)橹本€ \mathbf{\xi}_{l} 經(jīng)過點(diǎn)P_{0}(x_{0},y_{0}) ，且它的一個方向向量為 ±b{\nu}=\left(m,n\right) ，所以直線 \mathbf{\xi}_{l} 的斜率 k=(n)/(m) ,所以直線 \mathbf{\xi}_{l} 的方程為

想一想，在直線的參數(shù)方程\left\{{\begin{array}{l}{x=x_{0}+m t,}\\ {y=y_{0}+n t}\end{array}}\right. 中， (m,n) 的幾何意義是什么？

提示請完成《課時分層作業(yè)（四）》 見第189頁

1.3 兩條直線的平行與垂直

[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]

情境與問題

有一天，著名魔術(shù)大師拿了一塊長、寬都是13分米的地毯去找地毯匠，要求把這塊正方形的地毯改制成寬8分米、長21分米的矩形.地毯匠對魔術(shù)師說：“這不可能吧，正方形的面積是169平方分米，而矩形的面積只有168平方分米，除非裁去1平方分米.”魔術(shù)師拿出事先準(zhǔn)備好的兩張圖，對地毯匠說：“你就按圖（1)的尺寸把地毯分成四塊，然后按圖(2)的樣子拼在一起縫好就行了，我不會出錯的，你盡管放心做吧.”地毯匠照著做了，縫了一量，果真是寬8分米、長21分米.魔術(shù)師拿著改好的地毯滿意地走了，而地毯匠還在納悶哩，這是怎么回事呢？

為了破解這個謎底，今天我們學(xué)習(xí)直線的平行與垂直.

知識點(diǎn)1兩條直線平行的判定

思考如果兩條直線平行，那么這兩條直線的斜率一定相等嗎？

體驗(yàn)1.直線 3x+y-a=0 與 3x+y=0 的位置關(guān)系是

知識點(diǎn)2 兩條直線垂直的判定

類型 1 兩直線平行或垂直的判定

【例1】【鏈接教材P23例2、P25例4】判斷下列各組中的直線 l_{1} 與 l_{2} 是否平行或垂直：(1)l_{1}:3x-4y-2=0,l_{2}:6x-8y+1=0, (2)l_{1}:3x+2y-1=0,l_{2}:6x+4y-2=0 \left(3\right)l_{1} 的斜率為一 10,l_{2} 經(jīng)過點(diǎn) A(10,2) ，B(20,3) ；(4)l_{1} 經(jīng)過點(diǎn) A\left(3,4\right),B\left(3,100\right),l_{2} 經(jīng)過點(diǎn)M(-10,40) ” N(10,40) ：

[嘗試解答]

體驗(yàn)）2.思考辨析（正確的打“√”，錯誤的打“ x") o

(1)斜率相等的兩條直線（兩直線不重合）一 定平行.

(2)只有斜率之積為一1的兩條直線才垂直.

(3)若兩條直線垂直，則斜率乘積為一1.（

體驗(yàn)3.下列直線中，與直線 l_{:}y=3x{+1} 垂直的是

A. y=-3x+1 B \scriptstyle*\ y=3x-1 C \therefore y=(1)/(3)x-1 D \mathbf{\partial}_{*}\mathbf{{y}=-(1)/(3)\mathbf{{x}-1}}

反思領(lǐng)悟1.判斷兩條直線平行的方法

(1)① 若兩條直線 l_{1},l_{2} 的斜率都存在，將它們的方程都化成斜截式.如： \mathbf{\chi}_{1}^{\prime}:y=k_{1}x +b_{1},l_{2}:y=k_{2}x+b_{2} ，則 \left\{\begin{array}{l l}{k_{1}=k_{2}}\\ {b_{1}\neq b_{2}}\end{array}\right.\Rightarrow l_{1}//l_{2} ② 若兩條直線 l_{1},l_{2} 的斜率都不存在，將方程化成 l_{1}:x=x_{1},l_{2}:x=x_{2} ，則 \boldsymbol{x}_{1}\neq\boldsymbol{x}_{2}\Rightarrow l_{1}//l_{2} ：(2)若直線 l_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0(A_{1},B_{1} 不全為 ()),l_{2}:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0(A_{2},B_{2} 不全為0)，由 A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0 得到 l_{1}//l_{2} 或 l_{1},l_{2} 重合；排除兩直線重合，就能判定兩直線平行.

2.判斷兩條直線垂直的方法

(1)

(2)若兩條直線的方程均為一般式： l_{1} ：A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0(A_{1},B_{1} 不全為 ^{(0)},l_{2} A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0(A_{2},B_{2} 不全為0)，則l_{1}\perp l_{2}\Longleftrightarrow A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

1.判斷下列各組中的直線 l_{1} 與 l_{2} 是否平行或垂直：

(1)l_{1}:4x+2y-1=0 和 l_{2}:2x-y-2=0 ；(2)l_{1}:2x-3y+4=0 和 l_{2} {\bf\Phi}_{2}:3y-2x+4=0 ；(3)l_{1}:2x-3y+4=0 和 l_{2} ： -4x+6y-8=0

類型2由平行或垂直關(guān)系求直線的方程

【例2】【鏈接教材P23例3】

(1)求過點(diǎn) (-1,3) ,且與直線 l:3x+4y-12 =0 平行的直線 {\mathbf{}}{\mathbf{}}{\mathbf{}}{\mathbf{}}^{\prime} 的方程.
(2)求與直線 4x-3y+5=0 垂直,且與兩坐標(biāo)軸圍成的 \triangle A O B 面積為6的直線方程.[思路探究］（1)利用兩直線的平行關(guān)系求出直線 {\mathit{l}}^{\prime} 的斜率，利用直線的點(diǎn)斜式求直線的方程.
(2)利用直線的垂直關(guān)系求出直線的斜率，設(shè)出直線的方程，根據(jù)待定系數(shù)法求解.

[嘗試解答]

反思領(lǐng)悟1.根據(jù)平行關(guān)系求直線方程的方法

(1)若直線 \mathbf{\xi}_{l} 與已知直線 y=k x+b 平行，則可設(shè) \mathbf{\xi}_{l} 的方程為 y=k x+m(m\neq b) ，然后利用待定系數(shù)法求參數(shù) \mathbf{\Psi}_{m} ，從而求出直線 \mathbf{\xi}_{l} 的方程.(2)若直線 \mathbf{\xi}_{l} 與已知直線 A x+B y+C=0 (A,B 不全為0)平行，則可設(shè) \mathbf{\xi}_{l} 的方程為A x+B y+m{=}0(m{\neq}C) ，然后用待定系數(shù)法求參數(shù) \mathbf{\Psi}_{m} ，從而求出直線 \mathbf{\xi}_{l} 的方程.

2.根據(jù)垂直關(guān)系求直線方程的方法

(1)若直線 \mathbf{\xi}_{l} 的斜率存在且不為0，與已知直線 \boldsymbol{y}=\boldsymbol{k}\boldsymbol{x}+\boldsymbol 垂直，則可設(shè)直線 \mathbf{\xi}_{l} 的方程為 y=-(1)/(k)x+m(k\neq0) ，然后利用待定系數(shù)法求參數(shù) \mathbf{\Psi}_{m} 的值，從而求出直線 \mathbf{\xi}_{l} 的方程.(2)若直線 \mathbf{\xi}_{l} 與已知直線 A x+B y+C=0 (A,B 不全為0)垂直，則可設(shè) \mathbf{\xi}_{l} 的方程為B x-A y+m=0 ，然后利用待定系數(shù)法求參數(shù) \mathbf{\Psi}_{m} 的值，從而求出直線 \mathbf{\xi}_{l} 的方程.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

2.已知點(diǎn) A(2,2) 和直線 l:3x+4y-20=0 ，求過點(diǎn) A 且與直線 \mathbf{\xi}_{l} 垂直的直線 l_{1} 的方程.

3.求與直線 5x+6y+9=0 平行，并且和兩坐標(biāo)軸在第一象限所圍成的三角形面積是15的直線方程.

類型3平行與垂直在平面幾何中

的應(yīng)用

【例3】【鏈接教材P25例5】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OPQR的頂點(diǎn)坐標(biāo)按逆時針順序依次為 O\left(0,0\right),P(1,t) ，Q(1-2t,2+t),R(-2t,2) ,其中斷四邊形OPQR的形狀.

t>0 試判

[嘗試解答]

反思領(lǐng)悟 利用兩條直線平行或垂直判定圖形形狀的步驟

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

4.已知點(diǎn) A\left(0,3\right),B\left(-1,0\right),C\left(3,0\right) ，求點(diǎn) D 的坐標(biāo)，使四邊形ABCD為直角梯形 (A,B ，\boldsymbol{C},\boldsymbol{D} 按逆時針方向排列).

[學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)]

1.（多選題）下列命題中，不正確的是 ( 0

A.斜率相等的直線一定平行
B.若兩條不重合的直線 l_{1},l_{2} 平行，則它們的斜率一定相等
C.直線 l_{1} x=1 與直線 l_{2} ： x{=}2 不平行
D.直線 l_{1} ： (√(2)-1)x+y=2 與直線 l_{2} x+ (√(2)+1)\ensuremath{y=3} 平行

2.若過點(diǎn) A\left(2,-2\right),B\left(5,0\right) 的直線與過點(diǎn)P(2m,1),Q(-1,m) 的直線平行，則 \mathbf{\Psi}_{m} 的值為 ( ）

3.過點(diǎn) (3,-1) 與直線 6x+7y-12=0 垂直的直線方程為

4.直線 l_{1},l_{2} 的斜率分別是方程 x^{2}-3x-1=0 的兩個根，則 l_{1} 與 l_{2} 的位置關(guān)系是

5.已知長方形ABCD的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A\left(0,1\right),B\left(1,0\right),C\left(3,2\right) ，求第四個頂點(diǎn)D 的坐標(biāo).

課堂小結(jié)

回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：

1.兩直線 l_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0(A_{1},B_{1} 不全為(),l_{2}:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0(A_{2},B_{2} 不全為0)平行的充要條件是什么？
2.兩直線 l_{1}:y=k_{1}x+b_{1},l_{2}:y=k_{2}x+b_{2} 垂直的充要條件是什么？
3.與直線 A x+B y+C=0(A,B 不全為0)平行的直線的方程可設(shè)為什么？
4.與直線 A x+B y+C=0(A,B 不全為0)垂直的直線的方程可設(shè)為什么？

1.4 兩條直線的交點(diǎn)

[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]

情境與問題

中段導(dǎo)彈防御系統(tǒng)是用來對敵方彈道導(dǎo)彈！進(jìn)行探測和跟蹤，然后發(fā)射攔截導(dǎo)彈，在敵方彈道導(dǎo)彈尚未到達(dá)目標(biāo)之前，在空中對其進(jìn)行攔截并將其摧毀.假若導(dǎo)彈的飛行路線是一條直線，攔截導(dǎo)彈的飛行路線也是直線，則被攔截的一瞬間即為兩直線相交的過程.

那么，把上述問題放在平面直角坐標(biāo)系中，如何求解兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)？

知識點(diǎn) 直線的交點(diǎn)與直線的方程組解的關(guān)系

體驗(yàn)）1.思考辨析（正確的打“√”，錯誤的打^{\ast}x^{\ast})

(1)若由兩條直線的方程組成的方程組只有一個公共解，則兩條直線相交. （ ）

(2)若兩條直線的斜率都存在且不等，則兩條直線相交. C ）

(3)直線系方程 A_{1}x+B_{1}y+C_{1}+λ(A_{2}x+ B_{2}y+C_{2})=0 表示經(jīng)過直線 A_{1}x+B_{1}y+C_{1} =0 和直線 A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0 交點(diǎn)的所有直線： ( ）

(4)直線 A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0 與直線 A_{2}x+ B_{2}y+C_{2}=0 有交點(diǎn)的等價條件是 A_{1}B_{2}- A_{2}B_{1}\ne0. )

體驗(yàn)2.直線 x=1 和直線 y=2 的交點(diǎn)坐標(biāo)是 (

A.(2,2) B. (1,1) C.(1,2) D.(2,1)

體驗(yàn)3.當(dāng) 0{<}k{<}1 時，兩條直線 y=x+ 1,2x-y-k+2=0 的交點(diǎn)在 (

A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限

類型1兩條直線的交點(diǎn)問題

【例1】【鏈接教材P29例1】

判斷下列直線是否相交，若相交，求出它們的交點(diǎn).

(1)l_{1}:2x-y=7 和 l_{2} :3x+2y-7=0 ；(2)l_{1}:2x-6y+4=0 和 l_{2}:4x-12y+8=0 ；(3)l_{1}:4x+2y+4=0 和 l_{2}:y=-2x+3.

[嘗試解答]

反思領(lǐng)悟 兩條直線相交的判定方法

方法一：聯(lián)立直線方程解方程組，若有一解，則兩直線相交.方法二：兩直線斜率都存在且斜率不等.方法三：兩直線的斜率一個存在，另一個不存在.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

1.若直線 l_{1} :y=k x+k+2 與直線 l_{2}:y=-2x +4 的交點(diǎn)在第一象限內(nèi)，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 （）

類型2 直線恒過定點(diǎn)問題

【例2】求證：不論 \mathbf{\nabla}_{m} 取什么實(shí)數(shù)，直線 (2m- 1)x+\left(m+3\right)y-\left(m-11\right)=0 都經(jīng)過一定點(diǎn)，并求出這個定點(diǎn)坐標(biāo).

[嘗試解答]

反思領(lǐng)悟 解含有參數(shù)的直線恒過定點(diǎn)的問題 [嘗試解答]

(1)任給直線中的參數(shù)賦兩個不同的值，得到兩條不同的直線求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后驗(yàn)證該交點(diǎn)就是題目中含參數(shù)直線所過的定點(diǎn).(2)含有一個參數(shù)的二元一次方程若能整理為A_{1}x+B_{1}y+C_{1}+λ(A_{2}x+B_{2}y+C_{2})=0 其中 λ 是參數(shù)，這就說明了它表示的直線必過定點(diǎn)，其\begin{array}{r}{\left\{{{A_{1}}x+{B_{1}}y+{C_{1}}=0},\right.}\\ {\left.{{A_{2}}x+{B_{2}}y+{C_{2}}=0}\right.}\end{array} 定點(diǎn)可由方程組 解得.若整理成 y^{-}{y_{0}}{=}k(x{-}x_{0}) 的形式，則表示直線必過定點(diǎn) (\mathbf{\Phi}_{(x_{0}},y_{0}) ：

跟進(jìn)訓(xùn)練_

2.不論 \mathbf{\Psi}_{m} 為何實(shí)數(shù)，直線 (m{-}1)\b x{+}(2m{-}1)\b y =m-5 恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)是

類型3過兩條直線交點(diǎn)的直線系

方程應(yīng)用

【例3】【鏈接教材P30例3】

求過兩直線 2x-3y-1=0 和 x+y+2=0 的交點(diǎn)且與直線 3x+y-1=0 平行的直線方程.

嘗試與發(fā)現(xiàn)

1.已知一點(diǎn)與斜率，如何求直線的方程？

母題探究]

1.(變條件)本例中將“ 3x+y-1=0 "改為“ x+3y-1=0^{,} ',則如何求解？

2.過兩條直線 2x-3y-1=0 與 x+y+2 =0 的交點(diǎn)的直線系方程是什么？

2.（變條件）本例中若將“平行”改為“垂直”，又如何求解？

1.直線 2x+y+8=0 和直線 x+y-1=0 的交點(diǎn)坐標(biāo)是 C ）

A. (-9,-10) B.(-9,10) C. (9,10) D.(9,-10)

2.（多選題）下列各組直線中，兩直線相交的是

A. _{y=x+2} 和 y=1
B. x-y+1=0 和 _{y=x+5}
C. x+m y-1=0(m\neq2) 和 x+2y-1=0
D. 2x+3y+1=0 和 4x+6y-1=0

3.若三條直線 2x+3y+8=0,x-y-1=0 和 x+k y=0 相交于一點(diǎn)，則 k 的值等于

4.不論 \mathbf{α}_{a} 取何值時，直線 (a-3)x+2a y+6=0 恒過第 象限.

5.已知直線 x+y-3m=0 和 2x-y+2m-1 =0 的交點(diǎn) M 在第四象限，求實(shí)數(shù) \mathbf{\Psi}_{m} 的取值 范圍.

反思領(lǐng)悟 過兩條直線交點(diǎn)的直線方程的求法

(1)常規(guī)解法（方程組法）：一般是先解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.(2)特殊解法(直線系法):先設(shè)出過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程，再結(jié)合其他條件用待定系數(shù)法求出參數(shù)，最后確定直線方程.

課堂小結(jié)

回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：

1.兩條直線 A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0 和 A_{2}x+ B_{2}y+C_{2}=0 相交的充要條件是什么？

2.過直線 A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0 與 A_{2}x+B_{2}y +C_{2}=0 交點(diǎn)的直線系方程是什么？

1.5 平面上的距離

1.5.1 平面上兩點(diǎn)間的距離

[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]

情境與問題

(1)如圖所示，數(shù)軸上有兩點(diǎn) x_{1}=-5 ,C2=7 ,則兩點(diǎn)間的距離 \boldsymbol{x}_{1}\boldsymbol{x}_{2} 是多少？

(2)如圖所示，在直角三角形中，直角三角形斜邊的長度是多少？

(3）如圖所示，點(diǎn) O 與點(diǎn) P 間的距離 O P 是多少？

那么對于平面上任意兩點(diǎn) P_{1}\left(x_{1},y_{1}\right) ，:P_{2}(x_{2},y_{2}) ，它們之間的距離 P_{1}P_{2} 是多少？

知識點(diǎn)1 兩點(diǎn)間的距離

(1)條件：點(diǎn) P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2}) ，

(2)結(jié)論： P_{1}P_{2}=√((x_{2)-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}

體驗(yàn)）1.思考辨析（正確的打“ \surd ”，錯誤的打“ x". 0

(1)點(diǎn) P_{1}(0,a) ，點(diǎn) P_{2}(b,0) 之間的距離為a-b. ( ）

(2)當(dāng) A,B 兩點(diǎn)的連線與坐標(biāo)軸平行或垂直時，兩點(diǎn)間的距離公式不適用. （）

(3）點(diǎn) P_{1}(x_{1},y_{1}) ，點(diǎn) P_{2}(x_{2},y_{2}) ，當(dāng)兩點(diǎn)連線所在直線平行于坐標(biāo)軸時， P_{1}P_{2}=|x_{1}-x_{2}| .（）

體驗(yàn)2.已知 M(2,1),N(-1,5) ，則 M N 等于 ( ）

A.5 B. √(37) C. √(13) D. 4

體驗(yàn)3.直線 y=x 上的兩點(diǎn) P,Q 的橫坐標(biāo)分別是1,5，則 P Q 等于 ( ）

A. 4 B. 4√2 C.2 D. 2{√(2)}

知識點(diǎn)2中點(diǎn)坐標(biāo)公式

一般地，對于平面上的兩點(diǎn) P_{1}\left(x_{1},y_{1}\right) ，P_{2}(x_{2},y_{2}) ，線段 P_{1}P_{2} 的中點(diǎn)是 M(x_{0},y_{0}) ，則 \scriptstyle{\left\{\begin{array}{l l}{\displaystyle x_{0}={(x_{1}+x_{2})/(2)},}\\ {\displaystyle y_{0}={(y_{1}+y_{2})/(2)}.}\end{array}\right.}

體驗(yàn)4.已知 A(1,3),B(-5,1) ,那么線段A B 的中點(diǎn)坐標(biāo)是

類型1 兩點(diǎn)間的距離

【例1】【鏈接教材P34例1】如圖，已知 \triangle A B C 的三個頂點(diǎn) A\ (~-~3,1),B\ (~3~, 一3），C(1,7)，試判斷\triangle A B C 的形狀.

[思路探究] 求出△ABC的三邊長，根據(jù)邊長間的關(guān)系判斷三角形的形狀.

[嘗試解答]

反思領(lǐng)悟 計(jì)算兩點(diǎn)間距離的方法

(1)對于任意兩點(diǎn) P_{1}(x_{1},y_{1}) 和 P_{:}(x_{:},y_{:}) ， 則 P_{1}P_{2}=√((x_{2)-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}.

(2)對于兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

1.已知點(diǎn) A(-1,2),B(2,√(7)) ，在 x 軸上求一點(diǎn) P ，使 P A=P B ，并求 P A 的值.

類型2中點(diǎn)坐標(biāo)公式及應(yīng)用

【例2】【鏈接教材P34例2】

\triangle A B C 的兩個頂點(diǎn)為 B\left(2,1\right),C(-2,3) ，求BC邊的垂直平分線的方程，

嘗試解答]

反思領(lǐng)悟求線段的垂直平分線方程，要從兩個方面思考，一是垂直，就是線段所在的直線與所求垂直平分線斜率之積等于一1，二是平分，即直線過線段的中點(diǎn).

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

2.若 \triangle A B C 的頂點(diǎn) A\left(-5,0\right),B\left(3,-2\right) ，\boldsymbol{C}(1,2) ，則經(jīng)過 A B,B C 兩邊中點(diǎn)的直線方程為 ( ）

類型3利用坐標(biāo)法解決平面幾何

問題

【例3】【鏈接教材P36例3】已知在等腰梯形ABCD中， A B//D C ，對角線為 A C 和 B D .求證： A C=B D

嘗試與發(fā)現(xiàn)

如何證明 A C=B D 7

嘗試解答]

母題探究

1.（變條件）把本例的條件改為：在△ABC中， D 是 B C 邊上任意一點(diǎn)（ \mathbf{\sigma}_{D} 與 B,C 不重合)，且 A B^{2}=A D^{2}+B D* D C. 求證：\triangle A B C 為等腰三角形.

2.(變條件)把本例的條件改為：在 \triangle A B C 中， A D 是 B C 邊上的中線，求證： A B^{2}+A C^{2}=2(A D^{2}+D C^{2}) ，

反思領(lǐng)悟 利用坐標(biāo)法解決平面幾何問題常見的步驟

(1)建立平面直角坐標(biāo)系，盡可能地將有關(guān)元素放在坐標(biāo)軸上.
(2)用坐標(biāo)表示有關(guān)的量.
(3)將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算.
(4)把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

1.已知點(diǎn) (x,y) 到原點(diǎn)的距離等于1，則實(shí)數(shù)x,y 滿足的條件是 C ）

A. x^{2}-y^{2}=1 B.\ x^{2}+y^{2}=0
C. {√(x^{2)+y^{2}}}=1 D.\ √(x^{2)+y^{2}}=0

2.已知點(diǎn) M(-1,3) 和點(diǎn) N(5,1) ，點(diǎn) P(x,y) 到點(diǎn) M,N 的距離相等，則 x,y 滿足的條件 是

3.若三角形的頂點(diǎn)分別為 A(2,-3),B(-2 -5),C(6,4) ，則 _{A B} 邊上的中線長為

4.已知點(diǎn) A 在 x 軸上，點(diǎn) B 在 y 軸上,線段_{A B} 的中點(diǎn) M 的坐標(biāo)是 \left({(5)/(2)},6\right) ，則 _{A B} 的長為

5.（源自人教A版教材）已知點(diǎn) A(-1,2) ，B(2,√(7)) ，在 x 軸上求一點(diǎn) P ，使 P A=P B ，并求 P A 的值.

課堂小結(jié)

回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：

1.兩點(diǎn)間距離公式是什么？
2.中點(diǎn)坐標(biāo)公式是什么？

和0；代數(shù)中的公式可以使解題過程機(jī)械化；
代數(shù)具有作為一門普遍的科學(xué)方法的潛力.

笛卡兒的中心思想是使代數(shù)和幾何結(jié)合起來.他說：“我決心放棄那個僅僅是抽象的幾何，這就是說，不再去考慮那些僅僅是用來練習(xí)思想的問題.我這樣做，是為了研究另一種幾何，即目的在于解釋自然現(xiàn)象的幾何.”

笛卡兒曾計(jì)劃寫一本書《思想的指導(dǎo)法則》，在書中他大膽地提出了一個解決一切問題的方案：把一切問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，把一切數(shù)學(xué)問題歸結(jié)為代數(shù)問題，把一切代數(shù)問題歸結(jié)為方程，最后得到關(guān)于一個未知數(shù)的方程.可是不久他自已就發(fā)現(xiàn)這個設(shè)想過于大膽，根本無法實(shí)現(xiàn)，這本書沒有寫完就擱下了（在他去世后人們將它出版).他的這個方案雖然失敗了，但確有很多問題可以用列方程的方法來解.

配蘇教版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

1637年笛卡兒發(fā)表了《更好地指導(dǎo)推理和尋找科學(xué)真理的方法論》，這是一本哲學(xué)的經(jīng)典著作，包含了三個附錄，《幾何學(xué)》就是其中之一.《幾何學(xué)》是笛卡兒所寫的唯一一本數(shù)學(xué)書.笛卡兒在《幾何學(xué)》中引入了坐標(biāo)方法和用方程表示曲線的思想.于是后人就把這本《幾何學(xué)》的發(fā)表作為解析幾何創(chuàng)立的標(biāo)志.

笛卡兒最初所使用的坐標(biāo)系，兩個坐標(biāo)軸的夾角不要求一定是直角，而且 y 軸并沒有明顯地出現(xiàn).至于“坐標(biāo)”“坐標(biāo)系”“橫坐標(biāo)”“縱坐標(biāo)”等名詞，也都是后來人們逐漸使用的.雖然笛卡兒當(dāng)初的坐標(biāo)系還不夠完善，但是笛卡兒當(dāng)初邁出的第一步具有決定意義，所以人們?nèi)匀话押髞淼闹苯亲鴺?biāo)系，叫作笛卡兒直角坐標(biāo)系.

差不多與笛卡兒同時，另一位法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Fermat,1601一1665)在自己的研究中也獨(dú)立地形成了用方程表示曲線的思想.因此，費(fèi)馬和笛卡兒同為解析幾何的創(chuàng)始人.

解析幾何的創(chuàng)立在數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有劃時代的意義，是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個里程碑.它促進(jìn)了微積分的創(chuàng)立，從此數(shù)學(xué)進(jìn)入了變量數(shù)學(xué)的新時期.正如恩格斯在《自然辯證法》一書中所指出的：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動進(jìn)人了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)人了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了.”

解析幾何的創(chuàng)立提供了研究幾何問題的一種新方法，借助于坐標(biāo)系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來研究.這種方法具有一般性，它溝通了數(shù)學(xué)內(nèi)部數(shù)與形、代數(shù)與幾何兩大學(xué)科之間的聯(lián)系.從此代數(shù)和幾何互相汲取新鮮的活力，得到迅速的發(fā)展.

提示請完成《課時分層作業(yè)（七）》 見第195頁

1.5.2 點(diǎn)到直線的距離

[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]

情境與問題

在鐵路的附近，有一大型倉庫，現(xiàn)要修建一條公路與之連接起來，易知，從倉庫垂直于鐵路方

向所修的公路最短.將鐵路看作一條直線l，倉庫看作點(diǎn)P.若已知直線 l 的方程和點(diǎn) P 的坐標(biāo) (\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{y}_{0}) ，如何求 P 到直線L的距離呢？

知識點(diǎn)1點(diǎn)到直線的距離

體驗(yàn)1.點(diǎn) P(1,2) 到直線 y=2x+1 的距離為 ( ）

體驗(yàn)2.若第二象限內(nèi)的點(diǎn) P(m,1) 到直線 x+y+1=0 的距離為 √(2) ，則 \mathbf{\Psi}_{m} 的值為

知識點(diǎn)2 兩條平行直線間的距離

續(xù)表

思考)(1)在運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式時對直線方程有什么要求？

(2)在應(yīng)用兩條平行直線間的距離公式時對直線方程有什么要求？

體驗(yàn)3.兩條平行直線 l_{1}:3x+4y-7=0 和 l_{2} ： 3x+4y-12=0 的距離為 ( ）

A.3 B.2 C.1 D. (1)/(2)

(2)求點(diǎn) P(1,2) 到下列直線的距離：

嘗試解答］

配蘇教版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

反思領(lǐng)悟 點(diǎn)到直線距離的求解方法

(1)求點(diǎn)到直線的距離，首先要把直線化成一般式方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式.
(2)當(dāng)點(diǎn)與直線有特殊位置關(guān)系時，也可以用公式求解，但是這樣會把問題變復(fù)雜了，要注意數(shù)形結(jié)合.

[跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.求點(diǎn) P_{0}(-1,2) 到下列直線的距離：

(1)2x+y-10=0 ：(2)x+y=2 ；
(3)_{\cal{y}}-1{=}0.

類型2兩條平行直線間的距離

【例2】【鏈接教材P39例5】

(1)兩條直線 l_{1}:3x+4y-4=0,l_{2}:6x+m y +2=0 平行，則它們之間的距離為 （ J

A. 4 B.5 C.6 D.1

(2）已知直線 l_{1} 過點(diǎn) A\left(0,1\right),l_{2} 過點(diǎn) B(5 ，0）,如果 l_{1}//l_{2} ，且 l_{1} 與 l_{2} 之間的距離為5，求 l_{1},l_{2} 的方程.

嘗試解答]

反思領(lǐng)悟 求兩條平行直線間的距離的兩種思路

（1)利用“化歸”思想將兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為求其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離.由于這種求法與點(diǎn)的選擇無關(guān)，因此，選點(diǎn)時，常選取一個特殊點(diǎn)，如直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等，以便于運(yùn)算.

(2)利用兩條平行直線間的距離公式求解，

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

2.已知直線 \mathbf{\xi}_{l} 的方程為 2x-y+1=0

(1)求過點(diǎn) A(3,2) ，且與直線 \mathbf{\xi}_{l} 垂直的直線l_{1} 的方程；

(2)求與直線 \mathbf{\xi}_{l} 平行，且到點(diǎn) P(3,0) 的距離為 √(5) 的直線 l_{2} 的方程.

嘗試解答]

類型3距離公式的綜合應(yīng)用

【例3】【鏈接教材P40例6】已知正方形的中心為直線 2x-y+2=0,x 十y+1=0 的交點(diǎn)，正方形一邊所在直線 \mathbf{\xi}_{l} 的方程為 x+3y-5=0 ,求正方形其他三邊所在直線的方程.

嘗試與發(fā)現(xiàn)

1.正方形的中心到其四條邊的距離有什么關(guān)系？
2.如何設(shè)與直線： ?:x+3y-5=0 平行的直線的方程？
3.如何設(shè)與直線 \iota_{:x}+3y-5=0 垂直的直線的方程？

母題探究]

1.（變結(jié)論）本題條件不變，求正方形的面積.

2.（變條件)把本例條件改為“直線 2x-y+(3)/(4) 2=0 和直線 x+y+1=0 為平行四邊形的兩條鄰邊”，求以(1，1)為中心的平行四邊形的另兩邊所在直線的方程.

1.點(diǎn)(5，一3)到直線 x+2=0 的距離等于（ ）

A.7 B.5 C.3 D.2

2.若直線 l_{1} * x+a y+6=0 與 l_{2} {\bf\Phi}_{2}:(a-2)x+3y +2a=0 平行，則 l_{1},l_{2} 間的距離是 （ ）

3.已知直線 \mathbf{\xi}_{l} 與兩直線 l_{1}:2x-y+3=0 和 l_{2} 2x-y-1=0 的距離相等，則 \mathbf{\xi}_{l} 的方程是

4.點(diǎn) P(\boldsymbol{a},0) 到直線 3x+4y-6=0 的距離大 于3，則實(shí)數(shù) \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范圍為

5.已知直線 l_{1} :3x+4a y-2=0(a>0),l_{2}:2x+ y+2=0 ：

(1)當(dāng) a=1 時，直線 \mathbf{\xi}_{l} 過 l_{1} 與 l_{2} 的交點(diǎn)，且垂直于直線 x-2y-1{=}0 ，求直線 l 的方程；

(2)求點(diǎn) M\Big((5)/(3),1\Big) 到直線 l_{1} 的距離 d 的最大值.

反思領(lǐng)悟 1.求參數(shù)問題

利用距離公式建立關(guān)于參數(shù)的方程或方程組，通過解方程或方程組求值.

2.求方程的問題

立足確定直線的幾何要素一一點(diǎn)和方向，利用直線方程的各種形式，結(jié)合直線的位置關(guān)系（平行直線系、垂直直線系及過交點(diǎn)的直線系），巧設(shè)直線方程，在此基礎(chǔ)上借助三種距離公式求解.

3.最值問題

（1）利用對稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問題.
(2)利用所求式子的幾何意義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.
(3)利用距離公式將問題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，通過配方求最值.

課堂小結(jié)

回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：

1.點(diǎn)到直線的距離公式是什么？
2.兩平行直線間的距離公式是什么？
3.運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式時要注意什么？
4.運(yùn)用兩平行直線間的距離公式時要注意
什么？

鞏固層·知識整合 （D

嘗試解答］

提升層·題型探究

類型1直線的傾斜角與斜率

求直線的傾斜角與斜率的注意點(diǎn)

(1)求直線的傾斜角，關(guān)鍵是依據(jù)平面幾何的知識判斷直線向上方向與 x 軸正向之間所成的角，同時應(yīng)明確傾斜角的范圍.(2)當(dāng)直線的傾斜角 0°<=slantα<90° 時，隨著 α 的增大，直線的斜率 k 為非負(fù)值且逐漸變大；當(dāng)直線的傾斜角 90°<α<180° 時，隨著 α 的增大,直線的斜率 k 為負(fù)值且逐漸變大.

【例1】（1)已知直線 l 的傾斜角為 α ,并且 {0}° {<=slant}α{<}120° ，直線 \mathbf{\xi}_{l} 的斜率 k 的范圍是（ ）

A. -√(3)<k<=slant0 B.k>-√3C. k{>=slant}0 或 k{<}-{√(3)} D.k≥0或k<-(2)已知某直線 \mathbf{\xi}_{l} 的傾斜角 α=45° ，又 P_{1}(2 ，y_{1}),P_{2}(x_{2},5),P_{3}(3,1) 是此直線上的三點(diǎn)，求 \mathbf{\Phi}_{x_{2}},\mathbf{\Phi}_{y_{1}} 的值.

類型2求直線的方程

求直線方程的方法

求直線方程的主要方法是待定系數(shù)法，要掌握直線方程五種形式的適用條件及相互轉(zhuǎn)化，能根據(jù)條件靈活選用方程，當(dāng)不能確定某種方程條件是否具備時要另行討論條件不滿足的情況.

【例2】已知 \triangle A B C 的頂點(diǎn) A\left(5,1\right),A B 邊上的中線CM所在的直線方程為 2x-y-5= _{0,A C} 邊上的高 B H 所在的直線方程為 x- 2y-5=0 求：

(1)A C 所在的直線的方程；
(2)點(diǎn) B 的坐標(biāo).

嘗試解答］

類型3兩直線的平行、垂直及距離 類型4對稱問題

問題

對稱問題的求解策略

距離公式的運(yùn)用

(1)距離問題包含兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、兩平行直線間的距離.
(2)牢記各類距離的公式并能直接應(yīng)用，解決距離問題時，往往將代數(shù)運(yùn)算與幾何圖形的直觀分析相結(jié)合.
(3)這類問題是高考考查的熱點(diǎn)，在高考中常以選擇題、填空題出現(xiàn)，主要考查距離公式以及思維能力.

【例3】已知兩條直線 l_{1}:a x-b y+4=0,l_{2} ：(a-1){x}+{y}+=0 ,求分別滿足下列條件的{\mathbf{\boldsymbol{a}}},{\mathbf{\boldsymbol}} 的值.(1)直線 l_{1} 過點(diǎn) (-3,-1) ,并且直線 l_{1} 與直線 l_{2} 垂直；(2)直線 l_{1} 與直線 l_{2} 平行，并且坐標(biāo)原點(diǎn)到l_{1},l_{2} 的距離相等.

[思路探究]（1）把 (-3,-1) 代入 l_{1} 方程，同時運(yùn)用垂直條件 A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0 ；(2）利用好平行條件及距離公式列方程.

[嘗試解答]

(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題，是對稱問題中最基礎(chǔ)、最重要的一類，其余幾類對稱問題均可以化歸為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱進(jìn)行求解.熟練掌握和靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式是解決這類問題的關(guān)鍵.
(2)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題的延伸，處理這類問題主要抓住兩個方面： ① 兩點(diǎn)連線與已知直線斜率乘積等于-1 ② 兩點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上.
(3)直線關(guān)于點(diǎn)的對稱問題，可轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)關(guān)于此點(diǎn)對稱的問題，這里需要注意的是兩對稱直線是平行的.我們往往利用平行直線系去求解.

【例4】光線通過點(diǎn) A(2,3) ,在直線 l:x+y +1=0 上反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn) B(1,1) ，試求人射光線和反射光線所在直線的方程，

嘗試與發(fā)現(xiàn)

1.怎樣求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)？
2.怎樣求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)？

嘗試解答］

第2章

圓與方程

2.1 圓的方程

第1課時 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]

情境與問題

如圖所示，設(shè)平面直角坐標(biāo)系中的 \odot C 的圓心坐標(biāo)為 \boldsymbol{C}(1,2) ，而且半徑為2.

(1)判斷點(diǎn) A(3,2) 是否在 \odot C 上；

(2）設(shè) M(x,y) 是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，那么 M 在 {\odot}C 上的充要條件是什么？此時 x,y 要滿足什么關(guān)系式？

知識點(diǎn)1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(1)圓的定義：平面內(nèi)到 的距離等于 的點(diǎn)的集合叫作圓，定點(diǎn)就是圓心，定長就是圓的半徑.

(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為 A(a,b) 、半徑長為 r 的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

當(dāng) \scriptstyle a=b=0 時,方程為 x^{2}+y^{2}=r^{2} ，表示以為圓心、半徑為 \boldsymbol{r} 的圓.

思考平面內(nèi)確定圓的要素是什么？

體驗(yàn)）1.思考辨析（正確的打“ \surd^{\ n} ,錯誤的打“ x" 0

(1)方程 (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=m^{2} 表示圓.( ）

(2)若圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 \scriptstyle(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=m^{2} (m{\ne}0) ，則圓心為 (a,b) ，半徑為 m. ）(3)圓心是原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 x^{2}+y^{2}=r^{2}(r {>}0) ： （）

體驗(yàn)2.以原點(diǎn)為圓心、2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

A. x^{2}+y^{2}=2 B.{\boldsymbol{x}}^{2}+{\boldsymbol{y}}^{2}=4 C (x-2)^{2}+(y-2)^{2}=8\quadD.x^{2}+y^{2}={√(2)}

知識點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

\scriptstyle(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}(r>0) ,其圓心為 C(a,b) ， 半徑為 \boldsymbol{r} ，點(diǎn) P\ (\ x_{0},\ y_{0}) ，設(shè) d=\mid P C\mid ={√(\left(x_{0)-a\right)^{2}+\left(y_{0}-b\right)^{2}}}.

類型1 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【例1】【鏈接教材P56例1】

求過點(diǎn) A(1,-1),B(-1,1) ，且圓心在直線x+y-2=0 上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

嘗試解答]

續(xù)表

體驗(yàn)3.已知點(diǎn) P(1,-1) 在圓 (x+2)^{2}+ y^{2}=m 的內(nèi)部，則實(shí)數(shù) \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范圍是

反思領(lǐng)悟 確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

(1)幾何法
利用圖形的幾何性質(zhì)，如圓的性質(zhì)等，直接求出圓的圓心和半徑，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)待定系數(shù)法
待定系數(shù)法是求圓的方程最常用的方法，一般步驟是：
① 設(shè)一設(shè)所求圓的方程為 (x-a)^{2}+(y-b)^{2} =r^{2} ；
② 列一由已知條件，建立關(guān)于 \mathbf{\boldsymbol{a}},\mathbf{\boldsymbol},\mathbf{\boldsymbol{r}} 的方程組；
③ 解一解方程組，求出 \mathbf{δ}_{a,b,r}
④ 代一將 \mathbf{\boldsymbol{a}},\mathbf{\boldsymbol},\mathbf{\boldsymbol{r}} 代入所設(shè)方程，得所求圓的方程.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

1.已知圓 C 經(jīng)過 A\left(5,1\right),B\left(1,3\right) 兩點(diǎn)，圓心在x 軸上，則 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為

類型2 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的實(shí)際應(yīng)用

【例2】【鏈接教材P56例2】

一艘船在航行過程中發(fā)現(xiàn)前方的河道上有一座圓拱橋.在正常水位時，拱橋最高點(diǎn)距水面 8~m~ ,拱橋內(nèi)水面寬 32~m~ ,船只在水面以上部分高 6.5~m~ ，船頂部寬 8~m~ ，故通行無阻，如圖所示.

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求正常水位時圓弧所在的圓的方程；(2)近日水位暴漲了 2~m~ ，船已經(jīng)不能通過橋洞了.船員必須加重船載，降低船身在水面以上的高度，試問：船身至少降低多少米才能通過橋洞？（精確到 0.1~{m},√(6)\approx2.45)

[嘗試解答]

反思領(lǐng)悟解析幾何在求解實(shí)際應(yīng)用問題時，有著廣泛的應(yīng)用.應(yīng)用解析法研究與平面圖形有關(guān)的實(shí)際問題，關(guān)鍵是結(jié)合圖形特點(diǎn)，建立合適的平面直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.

跟進(jìn)訓(xùn)練]

2.已知隧道的截面是半徑為 4~m~ 的半圓，車輛只能在道路中心線的一側(cè)行駛，問一輛寬為

2.7~m~ ,高為 3~m~ 的貨車能不能駛?cè)耄?/p>

類型3與圓有關(guān)的最值問題

【例3】已知 \mathbf{\Psi}_{x} 和 y 滿足 (x+1)^{2}+y^{2}=(1)/(4) ，試求 x^{2}+y^{2} 的最值.

嘗試與發(fā)現(xiàn)

1.點(diǎn) (\boldsymbol{\mathscr{x}},\boldsymbol{\mathscr{y}}) 所在的曲線是什么？
2. x^{2}+y^{2} 的幾何意義是什么？

嘗試解答］

母題探究]

1.(變條件)把本例中圓的方程變?yōu)?\left(x+1\right)^{2} +y^{2}=4 ,則過（0,0)的弦中，最長弦長為,最短弦長為

2.(變結(jié)論)本例條件不變,試求 (y)/(x) 的取值范圍.

1.圓心為(1,1)，且過原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1

A. (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1
B. (x+1)^{2}+(y+1)^{2}=1
C. (x+1)^{2}+(y+1)^{2}=2
D. (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=2

2.兩個點(diǎn) M(2,-4),N(-2,1) 與圓 C:x^{2}+y^{2} -2x+4y-4=0 的位置關(guān)系是 ( ）

A.點(diǎn) M 在圓 C 外，點(diǎn) N 在圓 C 外B.點(diǎn) M 在圓 C 內(nèi)，點(diǎn) N 在圓 C 內(nèi)C.點(diǎn) M 在圓 C 外，點(diǎn) N 在圓 C 內(nèi)D.點(diǎn) M 在圓 C 內(nèi)，點(diǎn) N 在圓 C 外

3.圓心為直線 x-y+2=0 與直線 2x+y-8= 0的交點(diǎn)，且過原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

4.經(jīng)過圓 C:(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=4 的圓心且斜率為1的直線方程為

5.已知某圓圓心在 x 軸上，半徑為5，且截 y 軸所得線段長為8，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

反思領(lǐng)悟 與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解法

(1)形如u= 形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn) (x,\ y) 和 (a,b) 的動直線斜率的最值問題.

(2)形如 l=a x+b y 形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線 y=-{(a)/(b)}x+{(l)/(b)} 截距的最值問題.

(3)形如 (x-a)^{2}+(y-b)^{2} 形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn) (x,y) 到定點(diǎn) (a,b) 的距離的平方的最值問題.

課堂小結(jié)

回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：

1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？
2.如何判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系？
3.代數(shù)式 3.代數(shù)式u=yb 、 l{=}a x{+}b y,(x{-}a)^{2}{+} (y-b)^{2} 的幾何意義分別什么？

坐標(biāo)法與數(shù)學(xué)機(jī)械化

笛卡兒開創(chuàng)了解析幾何思想方法的先河.解析幾何坐標(biāo)法的形成、發(fā)展和完善，使幾何問題的求解或求證能通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解.同時坐標(biāo)法使計(jì)算機(jī)應(yīng)用到幾何定理的證明中成為可能.

明確提出機(jī)器可以成為推理工具的思想，要追溯到17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz,1646一1716，微積分創(chuàng)始人之一）.他受笛卡兒思想的啟發(fā)，認(rèn)為笛卡兒創(chuàng)立的解析幾何，目的是將幾何推理轉(zhuǎn)化為計(jì)算.遺憾的是，由于當(dāng)時的條件限制，計(jì)算僅僅是手工操作（手搖計(jì)算機(jī)），無法進(jìn)行大量復(fù)雜的計(jì)算，所以用機(jī)器實(shí)現(xiàn)幾何定理證明的想法無法實(shí)現(xiàn).

20世紀(jì)以后，計(jì)算機(jī)迅速發(fā)展.計(jì)算機(jī)的發(fā)明使一些數(shù)學(xué)家又開始探討幾何定理證明機(jī)械化的可能性.1950年，波蘭數(shù)學(xué)家塔斯基得到一個引人注目的結(jié)論：一切初等幾何范疇中的命題都可以用機(jī)械方法判定.由于他的判定方法太復(fù)雜，在實(shí)踐中沒有太大的進(jìn)展.1959年，美籍華裔數(shù)學(xué)家王浩(1921—1995)在這方面作出了鼓舞人心的工作，他在計(jì)算機(jī)上只用了9分鐘就證明了《數(shù)學(xué)原理》羅素和懷特海著)中的350多個命題，并第一次明確提出了“走向數(shù)學(xué)的機(jī)械化”的口號，

20世紀(jì)70年代以后，我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊在幾何定理機(jī)器證明上作出了重大貢獻(xiàn)，并創(chuàng)立了“吳方法”.吳文俊是我國最具國際影響的數(shù)學(xué)家之一.他在拓?fù)鋵W(xué)、自動推理、機(jī)器證明、代數(shù)幾何、中國數(shù)學(xué)史、對策論等研究領(lǐng)域均有杰出的貢獻(xiàn).曾獲得首屆國家最高科學(xué)技術(shù)獎（2000年)、首屆國家自然科學(xué)一等獎（1956年)、首屆求是杰出科學(xué)家獎（1994年）、邵逸夫數(shù)學(xué)獎（2006年）、國際自動推理最高獎一—埃爾布朗自動推理杰出成就獎(1997年)等.“文華逾九章，拓?fù)涔奖胧穬?俊杰勝十書，機(jī)器證明譽(yù)寰球”是對他一生工作的高度概括.

吳文俊機(jī)器證明的思想，主要是從笛卡兒的坐標(biāo)法和中國古代解方程的計(jì)算方法而來的.他認(rèn)為，歐氏幾何體系的特點(diǎn)是純粹在空間形式間推理，或說在圖形之間，或者是把數(shù)量關(guān)系歸之于空間形式，或者干脆排除數(shù)量關(guān)系.另一個體系剛好與之相反，是把空間形式轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系來處理這種考慮方式就是中國的傳統(tǒng)，早在11世紀(jì)左右就已產(chǎn)生，當(dāng)時引進(jìn)的概念叫天元、地元等，用現(xiàn)在的符號就相當(dāng)于引進(jìn)了 x,y 等.用天元、地元表示某一個幾何事實(shí)，那么幾何對象之間的相互關(guān)系就表示成天元、地元之間的一種方程（即 x,y 之間的一種方程)，即17世紀(jì)解析幾何的坐標(biāo)法.

吳文俊認(rèn)為，歐氏幾何體系是非機(jī)械化的，把空間形式數(shù)量化是機(jī)械化的.吳文俊說：“我從事幾何定理證明時，首先取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)，于是幾何定理的假設(shè)與終結(jié)通常都成為多項(xiàng)式方程，稱之為假設(shè)方程與終結(jié)方程.滿足定理假設(shè)的幾何圖象，就相當(dāng)于假設(shè)方程組的一個解答或零點(diǎn).要證明定理成立，就要證明假設(shè)方程的零點(diǎn)也使終結(jié)多項(xiàng)式為零.”由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展與眾多數(shù)學(xué)家（特別是以吳文俊為首的一批中國數(shù)學(xué)家)的努力，大約在1976與1977年之交，幾何定理機(jī)器證明的夢想終于實(shí)現(xiàn)了.提出用計(jì)算機(jī)證明幾何定理的“吳方法”，被認(rèn)為是自動推理領(lǐng)域的先驅(qū)性工作.進(jìn)人20世紀(jì)80年代以后，吳文俊和他的同行把幾何定理機(jī)器證明的方法發(fā)展成為數(shù)學(xué)機(jī)械化方法.

請你查閱有關(guān)資料，進(jìn)一步了解吳文俊的事跡，了解我國數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)機(jī)械化方面的卓越貢獻(xiàn).

第 2課時 圓的一般方程

[必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知]

情境與問題

(1)把 \displaystyle(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} 展開是一個什么樣的關(guān)系式？

(2)把 x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0 配方后，將得到怎樣的方程？這個方程一定表示圓嗎？在什么條件下一定表示圓？

這就是今天我們將要研究的問題.

知識點(diǎn) 圓的一般方程

(1)圓的一般方程的概念方程 x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0( 叫作圓的一般方程.其中圓心為,圓的半徑為 r=

(2)對方程 x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0 的說明思考方程 A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F =0 表示圓的條件是什么？

體驗(yàn)）1.思考辨析（正確的打“√”，錯誤的打? *_{\bigtriangledown}x\mathbf{\vec{\Sigma}})

(1)任何一個圓的方程都能寫為一個二元二次方程. ( >(2)圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程可以互化.C(3)方程 x^{2}+y^{2}+a x+2a y+2a^{2}+a-1=0 表示圓心為 \left(-{(a)/(2)},-a\right) ，半徑為 (1)/(2)√(-3a^{2)-4a+4} 的圓. Y ）

(4)若點(diǎn) M(x_{0},y_{0}) 在圓 x^{2}+y^{2}+D x+E y+F =0 外，則 x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+D x_{0}+E y_{0}+F>0. （ ）

體驗(yàn)2.若方程 x^{2}+y^{2}+2λ x+2λ y+2λ^{2}-λ +1{=}0 表示圓，則 λ 的取值范圍是 ( ）

A. (1,+∞) B.\left[{(1)/(5)},1\right] C.~(1,+∞)\bigcup\big(-∞,(1)/(5)\big)\ ~D.\ \mathbf{R} 體驗(yàn)3.過點(diǎn) (0,0),(4,0) 和(0,6)三點(diǎn)的圓的一般方程為

類型1 圓的一般方程的認(rèn)識

【例1】若方程 x^{2}+y^{2}+2m x-2y+m^{2}+5m =0 表示圓,求：

(1)實(shí)數(shù) \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范圍；
(2)圓心坐標(biāo)和半徑.

[嘗試解答]

反思領(lǐng)悟解答該類型的題目，一般先看這個方程是否具備圓的一般方程的特征，當(dāng)它具備圓的一般方程的特征時，再看它能否表示圓，此時有兩種途徑，一看 D^{2}+E^{2}-4F 是否大于零，二是直接配方變形，看方程等號右端是否為大于零的常數(shù).

跟進(jìn)訓(xùn)練]

1.下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求其圓心和半徑.

類型2求圓的一般方程

【例2】【鏈接教材P58例3】

已知 \triangle A B C 的三個頂點(diǎn)為A（1，4），B(-2,3),C(4,-5) ，求 \triangle A B C 的外接圓方程、外心坐標(biāo)和外接圓半徑.

嘗試解答］