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解密新高考
上海高考數(shù)學(xué)指導(dǎo)方略
解密 新高考
上海高考數(shù)學(xué)指導(dǎo)方略
圖書在版編目（CIP)數(shù)據(jù)
上海高考數(shù)學(xué)指導(dǎo)方略／口口口主編.上海：上海浦江教育出版社有限公司,2025.1.（解密職校新高考系列叢書）.--ISBN978-7－81121-000-0
I.中國國家版本館CIP數(shù)據(jù)核字第 號(hào)
SHANGHAIGAOKAOSHUXUEZHIDAOFANGLUE上海高考數(shù)學(xué)指導(dǎo)方略
上海浦江教育出版社出版發(fā)行
社址：上海海港大道1550號(hào)郵政編碼：201306E-mail: cbs@ shmtu. edu. cn URL: http://www. pujiangpress. com上海商務(wù)聯(lián)西印刷有限公司印裝幅面尺寸： 210\mm{x}297\mm 印張：字?jǐn)?shù)：千字2025年1月第1版2025年1月第1次印刷責(zé)任編輯：封面設(shè)計(jì)：定價(jià)：000.00元
前言
上海的高中學(xué)生自從2020年9月開始使用上海教育出版社出版的高中數(shù)學(xué)“新教材”以來，由于現(xiàn)行教材與以往相比，內(nèi)容增多、難度加大，導(dǎo)致教學(xué)進(jìn)度推進(jìn)比往年慢,特別是高三第一輪復(fù)習(xí)時(shí)間緊任務(wù)重，教學(xué)和復(fù)習(xí)都迎來了新的挑戰(zhàn)。從2023年開始實(shí)施數(shù)學(xué)“新高考”以來，經(jīng)過兩次的“新高考”，教師對(duì)高考的方向與規(guī)律、高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)、高頻考點(diǎn)等,都十分清晰和明朗了，這對(duì)高三的復(fù)習(xí)無疑是非常有利且高效的。
在此基礎(chǔ)上,本編寫團(tuán)隊(duì)在各區(qū)高中數(shù)學(xué)教師隊(duì)伍中精挑細(xì)選“學(xué)者型”、“科研型”有經(jīng)驗(yàn)的高三把關(guān)教師總結(jié)編著了《解密新高考上海高考數(shù)學(xué)指導(dǎo)方略》這套資料，他們對(duì)指導(dǎo)高三數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有豐富的經(jīng)驗(yàn)和優(yōu)秀的方法，對(duì)“新高考”有深入的研究。每一講的內(nèi)容都是作者教師在前兩屆高三使用過的教案的基礎(chǔ)上再一次打磨而成的,確保內(nèi)容選擇的科學(xué)性和實(shí)用性,為莘莘學(xué)子奉獻(xiàn)上了兩套實(shí)用學(xué)習(xí)資料。
《解密新高考上海高考數(shù)學(xué)指導(dǎo)方略》這套資料,共由三本書組成,第一本是知識(shí)梳理,共分65講，本書遵循高中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和課堂教學(xué)規(guī)律,基本上可以實(shí)現(xiàn)一節(jié)課完成一講,確保在春考之前系統(tǒng)完整的復(fù)習(xí)一遍所有內(nèi)容。每一講里面有比較詳實(shí)的各類資料，包括為了讀透教材融會(huì)貫通的“教材幫”、研透高考明確方向的“高考幫”提升思維快速解題的“思維幫”、分層訓(xùn)練檢驗(yàn)效果的“作業(yè)幫”，特別是每一講都有“課標(biāo)要求”、“考點(diǎn)內(nèi)容”、“命題分析預(yù)測(cè)”，在“高考幫”里面又根據(jù)所涉及的內(nèi)容列出若干個(gè)“命題點(diǎn)”，并通過具體例題為學(xué)生揭示出核心要點(diǎn)“解題秘鑰”。該本書的題目主要分為基礎(chǔ)自測(cè)、例題、課堂練習(xí)三類,題目準(zhǔn)備比較豐富，供教不同班級(jí)的教師選用。書上的每一道題都有較詳細(xì)解答過程,方便教學(xué)使用。第二本是課后作業(yè),每一講之后的作業(yè),包括填空題,選擇題和解答題,根據(jù)課時(shí)重要程度安排適中的作業(yè)量,對(duì)本節(jié)課所涉及到的知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想方法做到了全覆蓋,并且還與前、后課的內(nèi)容進(jìn)行有效銜接與穿插，做到了“滾動(dòng)式”“螺旋式”的上升,有效的打牢基礎(chǔ)、提升能力。第三本書是階段測(cè)試卷，根據(jù)知識(shí)板塊劃分為12個(gè)單元，每一單元分別有一或二套試卷，每套試卷均按照標(biāo)準(zhǔn)的高考試卷結(jié)構(gòu)命題，方便對(duì)本單元復(fù)習(xí)效果進(jìn)行檢驗(yàn)評(píng)價(jià)。
本書精心打磨，匠心獨(dú)運(yùn)，以五大鮮明特色脫穎而出，為廣大學(xué)子與教育工作者量身打造高效學(xué)習(xí)與教學(xué)方案：
筑基固本，知識(shí)深植：本書深度剖析學(xué)科核心考點(diǎn)，以系統(tǒng)化的知識(shí)框架為基石，助力學(xué)生構(gòu)建堅(jiān)實(shí)的知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)從理解到內(nèi)化的跨越，為后續(xù)學(xué)習(xí)鋪設(shè)寬廣而穩(wěn)固的道路。
學(xué)以致用，技能躍升：精選235個(gè)核心命題點(diǎn)與309個(gè)核心命題角度，通過典型例題進(jìn)行細(xì)致入微的精講精析,不僅傳授解題的通用策略,更注重思維方法的引導(dǎo)，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握解題精髓,解題能力實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍。
直擊難點(diǎn)，決勝高考：緊密貼合上海新高考改革趨勢(shì)，深入挖掘考試中的難點(diǎn)與熱點(diǎn)，精準(zhǔn)掃描學(xué)生常見疑難雜癥,提供針對(duì)性強(qiáng)、實(shí)效性高的解決方案,助力學(xué)生攻克高分瓶頸,決勝高考戰(zhàn)場(chǎng)。
分層遞進(jìn)，精準(zhǔn)評(píng)估：采用分層訓(xùn)練模式，根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)階段與能力水平，設(shè)計(jì)不同難度的練習(xí)題目,既鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，又挑戰(zhàn)思維極限。通過定期檢測(cè)，及時(shí)反饋學(xué)習(xí)成效，為后續(xù)學(xué)習(xí)調(diào)整方向，確保學(xué)習(xí)路徑的科學(xué)性與高效性。
教師助手，教學(xué)無憂：特別配備教師用書，內(nèi)容詳盡解析每一章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)、考點(diǎn)及解題思路，為教師提供豐富的教學(xué)資源與靈感源泉。詳實(shí)的教學(xué)建議與策略,助力教師高效備課,輕松駕馭課堂,實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)的美好愿景。
特別研發(fā)“ AI 學(xué)習(xí)助手系統(tǒng)”，掃描圖書學(xué)習(xí)卡專屬二維碼即可解鎖：
·智能題庫：接人 DeepSeek 教育大數(shù)據(jù)，生成個(gè)性化學(xué)習(xí)圖譜·錯(cuò)題診療：自動(dòng)歸集易錯(cuò)點(diǎn)，推送定制化鞏固方案·進(jìn)度追蹤：可視化學(xué)習(xí)軌跡分析，動(dòng)態(tài)調(diào)整備考策略
由于編寫時(shí)間倉促,水平有限，編寫中難免有不妥或錯(cuò)誤之處，敬請(qǐng)廣大讀者指正.
目錄
知識(shí)梳理和課后作業(yè)
知識(shí)梳理 課后作業(yè)
第1講集合初步 (001) (301)第2講常用邏輯用語 (005) (303)第3講等式與不等式的性質(zhì) (008) (306)第4講解不等式 (012) (308)第5講基本不等式及其應(yīng)用 (017) (310)第6講冪與指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算 (021) (312)第7講冪函數(shù) (025) (314)第8講 指數(shù)函數(shù) (029) (316)第9講 對(duì)數(shù)函數(shù) (033) (318)第10講 函數(shù)的定義域和解析式 (039) (320)第11講 函數(shù)的值域和最值 (042) (322)第12講 單調(diào)性與奇偶性 (047) (325)第13講 函數(shù)的周期性、零點(diǎn)、圖像的對(duì)稱性 (053) (327)第14講 函數(shù)的應(yīng)用 (058) (330)第15講 函數(shù)綜合 (062) (334)第16講導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算 (067) (337)第17講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 (071) (338)第18講正弦、余弦、正切、余切 (075) (340)第19講常用三角公式 (083) (343)第20講解三角形 (090) (346)第21講正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì) (097) (349)
第22講函數(shù) y=A\sin(\omega x+\varphi) 的圖像和性質(zhì)… （107） (353)第23講向量的概念和運(yùn)算 (113) (357)第 24講向量的數(shù)量積和坐標(biāo)運(yùn)算 (116) (359)第25講向量的應(yīng)用 (120) (360)第26講 復(fù)數(shù)及其四則運(yùn)算 …（124) (363)第27講復(fù)數(shù)的幾何意義及實(shí)系數(shù)一元二次方程 (128) （365)第28講 平面及其基本性質(zhì) （132） (368)第29講 直線與直線的位置關(guān)系 (135) (371)第30講 直線與平面的位置關(guān)系 (139) (374)第31講 平面與平面的位置關(guān)系 （144) (377)第32講 柱體 (149) (380)第33講 錐體 (153) (383)第34講 多面體與旋轉(zhuǎn)體、球··· (158) (387)第35講 空間向量及其運(yùn)算 (163) (389)第 36 講空間向量的基本定理及其坐標(biāo)表示 (167) (392)第37講 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用 (172) (395)第38講 直線的傾斜角與斜率及直線方程 （178) (399)第39講 直線的位置關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離 (182) (401)第40講 圓 (186) (402)第41講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 (189) （404）第42講 橢圓 ：（194) （405）第43講 雙曲線 (198) （407)第44講 拋物線 （202） (409)第45講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1 (206) (410)第46講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系2 ：(211) (413)第47講 等差數(shù)列 ·(217） (415)第48講 等比數(shù)列 (223) (418)第 49講數(shù)列結(jié)合 (228) (420)第50講數(shù)學(xué)歸納法 (234) (422)第51講計(jì)數(shù)原理 (239) （425)第52講 排列與組合 (243） (427)第53講計(jì)數(shù)原理在古典概率中的應(yīng)用 (247) (428)
第54講二項(xiàng)式定理 (250) (431)第55講隨機(jī)現(xiàn)象與樣本空間 (254) (433)第56講古典概率 (257) (434)第57講頻率與概率 (260) (437)第58講隨機(jī)事件的獨(dú)立性 (264) (439)第59講總體、樣本與抽樣方法 (268) （442)第60講統(tǒng)計(jì)圖表 (271) (444)第61講統(tǒng)計(jì)估計(jì)與統(tǒng)計(jì)活動(dòng) (277) (447)第62講條件概率與全概率 (282) (449)第63講隨機(jī)變量的分布及特征 (286) (452)第64講常見分布 (290) (456)第65講成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析 (294) (459)
階段測(cè)試卷
階段測(cè)試卷1集合與不等式單元測(cè)試卷 (465)階段測(cè)試卷2 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)測(cè)試卷（A） (468)階段測(cè)試卷3函數(shù)與導(dǎo)數(shù)測(cè)試卷(B) (474)階段測(cè)試卷4三角函數(shù)測(cè)試卷（A)· (480)階段測(cè)試卷5三角函數(shù)測(cè)試卷（B）· (485)階段測(cè)試卷6向量與復(fù)數(shù)測(cè)試卷 (490)階段測(cè)試卷7立體幾何與空間向量測(cè)試卷 (494)階段測(cè)試卷8數(shù)列測(cè)試卷 (501)階段測(cè)試卷9解析幾何測(cè)試卷(A)· (506)階段測(cè)試卷10解析幾何測(cè)試卷(B) (512)階段測(cè)試卷11排列組合與二項(xiàng)式定理測(cè)試卷 (520)階段測(cè)試卷12概率與統(tǒng)計(jì)測(cè)試卷 (525)
第1講 集合初步
考情幫 考題概覽 精準(zhǔn)預(yù)測(cè)
| 考点内容 | 课标要求 | 考题取样 | 对应命题点 | 预测热度 | 核心素养 |
| 1.集合的含义与表示 | 理解 | 2023年上海秋考第 13题 | 命题点1 | ★★ | 逻辑推理 数学运算 |
| 2.集合间的基本关系 | 理解 | 2023年上海春考第 1题 | 命题点2 | ★★ | 逻辑推理 |
| 3.集合的基本运算 | 理解 | 2024年上海秋考第 1题 | 命题点3 | ★★★ | 数学运算 |
| 命题分析预测 | 从近几年的高考情况来看，集合是高考必考内容，一般以填空、选择题的形式出 现,试题较为简单,属于送分题,主要考查考生的逻辑推理、数学运算等核心素 养.命题热点为集合的基本概念、关系和运算，通常集合中的元素都已给出.预 计2026年高考命题热点变化不大,不宜拔高学习要求，但应加强对集合中的创 新问题的重视. | ||||
教材幫 讀透教材 融會(huì)貫通
知識(shí)梳理
一、集合的基本概念
1.集合元素的性質(zhì)：
2.集合的分類： 和
3.集合的表示方法：
| 关系 表示 | 文字语言 | 符号语言 |
| 相等 | 集合A与集合B 中的所有元 素 | 且 A=B |
| 子集 | A中任意一个元素 均为B中的元素 | |
| 真子集 | A中任意一个元素 均属于B,且B中 至少有一个元素不 属于A. | ACB或BOA |
1.元素與集合的關(guān)系
二、幾種關(guān)系
① 屬于,記為 · ② 不屬于,記為 2.集合與集合間的關(guān)系
(續(xù)表)
| 关系 表示 | 文字语言 | 符号语言 |
| 空集 | 空集是 的子集,是 的真子集 | QCA CB(B≠) |
3.常見數(shù)集的符號(hào)
| 集合 | 自然数集 | 整数集 | 有理数集 | 实数集 |
| 符号 |
三、集合的基本運(yùn)算
| 并集 | 交集 | 补集 | |
| 图形 | |||
| 符号 | AUB= | ANB= | A= |
四、常用結(jié)論
1.A\cup B=A\Leftrightarrow B\subseteq A,A\cap B=A\Leftrightarrow A\subseteq B.
2.A\cap A=A,A\cap\emptyset=\emptyset. 3.A\cup A=A,A\cup\bigotimes=A. 4 4.{\stackrel{=}{\overline{{A}}}}=A,A\cap{\stackrel{-}{A}}=\emptyset,A\cup{\stackrel{-}{A}}=U. 5.A\subseteq B\Leftrightarrow A\cap B=A\Leftrightarrow A\cup B=B \Longleftrightarrow\overline{{A}}\supseteq\overline{{B}}\Longleftrightarrow A\cap\overline{{B}}=\emptyset.
6.若集合 A 中含有 \mathbf{\Omega}_{n} 個(gè)元素，則它的 子集個(gè)數(shù)為 _,真子集個(gè)數(shù)為 非空真子集個(gè)數(shù)為
基礎(chǔ)自測(cè)
1.滿足 \{1,2\}\subseteq A\subset\{1,2,3,4\} 的集合 A 的 個(gè)數(shù)是
2.已知集合 A=\{1,2,3\} ， B=\ensuremath{\left\{γ\vert y=2x-1\right.} ， x\in A\} ，則 A\cap B=
3.已知集合 A=\{1,2,3\} ， B=\left\{x\vert\left(x+1\right)\left(x-\right.\right. {\boldsymbol{2}})<0,x\in\mathbf{Z}\} ，則 A\cup B=
4.設(shè)集合 A=\left\{a\mid a=3k,k\in\mathbf{Z}\right\} ， B=\{b\vert b= 6k+1,k\in\mathbf{Z}\} ， C=\left\{c\mid c=9k+1,k\in\mathbf{Z}\right\} ，若 x\in A,y\in B,z=x+y ，則 ( 1
A. z\in A B. z\in B C. z\in C D.以上答案都不對(duì)
高考幫 研透高考 明確方向
命題點(diǎn)1 集合的表示方法
【例1】（1）（2023年上海秋考第13題）集合 P~=~\{1,2\} ， Q\ =\ \{2,3\} ，若 M\ = \{x\vert x\in P 且 x\not\in Q\} ，則 M= ）
A.1} B.2} C. \{3\} D. \{1,2,3\}
（2）已知集合 A=\{x\mid y=\mid x\mid ,且 y<2,x\in\mathbf{Z}\} ，B=\left\{p{-}q^{|}p\in A{,}q\in A\right\} ,則集合 B 中元素的個(gè)數(shù)為 ）
A. 1 B.3 C.5 D.7
命題點(diǎn)2 集合之間的關(guān)系
【例2】（1）（2023年上海春考第1題）已知集合 A=\left\{1,2\right\} ， B=\left\{1,a\right\} 且 A=B ，則 \scriptstyle a
（2）已知集合 A=\{x\vert x<-3 或 x>7\} ， B=\left\{x\vert\begin{array}{r l}\end{array}\right. \scriptstyle x<2m-1\} ，若 B\subseteq A ,則實(shí)數(shù) \mathbf{\nabla}_{m} 的取值范圍是
【變式1】本例中的 B 改為 B=\left\{x\vert m+1<=slant x\right\vert <=slant2m-1\} ,其余不變，該如何求解？
【變式2】本例中的 A 改為 A=\left\{x\mid-3<=slant x<=slant\right. 7， B 改為 B=\left\{x\mid m+1<=slant x<=slant2m-1\right\} ,又該如何求解？
命題角度2 已知集合運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)
【例4】設(shè)集合 A=\left\{x|-2<x<4\right\} ,集合 B= \{x\mid x^{2}-3a x+2a^{2}=0\} ：
（1）求使 A\cap B=B 的實(shí)數(shù) \mathbf{α}_{a} 的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù) \mathbf{α}_{a} ,使 A\cap B=\emptyset 成立？若存在.求出實(shí)數(shù) \mathbf{α}_{a} 的取值范圍;若不存在，請(qǐng)說明理由.
命題點(diǎn)3 集合的運(yùn)算
命題角度1 集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算
【例3】（1）（2024年上海秋考第1題）設(shè)全集 U=\{1,2,3,4,5\} ,集合 A=\{2,4\} ，則 \overset{-}{A} \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma}
（2）已知集合 P=\left\{\left.y\right|y=x^{2}-2x+2,x\in\mathbf{R}\right\} ， Q =\{x\vert y{=}\ln(x{-}2)\} ，則 P\cap Q=
（3）（教材改編）已知集合 A=\{1,2\} ，求所有滿足 A\cup B=\{1,2,3\} 的集合 B
命題點(diǎn)4 集合中的計(jì)數(shù)問題
【例5】（1）設(shè)集合 A=\{2024,2025\} ,則滿足 A\cup B=\left\{2024,2025,2026\right\} 的集合 B 的個(gè)數(shù)是 ( ）
A. 1 B.3
C.4 D.8
（2）以集合 U=\{a,b,c,d\} 的子集中選出4個(gè)不同的子集，需同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：(1) \varnothing,U 都要選出;
（2）對(duì)選出的任意兩個(gè)子集A和 B ,必有A\subseteq B 或 B\subseteq A ,那么共有 種不同的選法.
思維幫 提升思維 快速算題
命題點(diǎn)5 集合的綜合問題
命題角度1 集合的新定義問題
【例6】（1）對(duì)于給定的集合 P 和 Q ,定義 P * Q=\{x\mid x\in P 且 x\notin Q\} .若 A=\{x\mid\log_{2}x<1\} ， B{=}\{x\mid\mid x{-}2\mid{<}1\} ，則 \scriptstyle A-B=
命題角度2 集合的綜合問題
【例7】設(shè)集合 A=\left\{x\mid x^{2}+4x=0,x\in\mathbf{R}\right\} ， B= \left\{x\left|x^{2}+2\left(a+1\right)x+a^{2}-1=0,x\in\mathbf{R}\right\} .若 B\subseteq A ,求實(shí)數(shù) \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范圍.
作業(yè)幫 分層訓(xùn)練 檢測(cè)結(jié)果
課堂作業(yè)
1.已知集合 A=\left\{x\mid x^{2}-3x+2=0,x\in\mathbf{R}\right\} ， B= \{x|0{<}x{<}5,x\in\mathbf{N}\} ,則滿足條件 A\subseteq C\subseteq B 的 集合 c 的個(gè)數(shù)為
2.已知集合 P=\left\{x\mid1<=slant x<=slant3\right\} ， Q=\{x\mid x^{2}>=slant 4}，則 P\cup{\overline{{Q}}}=
3.已知集合 A=\left\{x\mid\mid x+2\mid<3\right\} ,集合 B=\left\{x\right\vert (x-m)\ *\ ({~}x-2)<0\} ，且 A\cap B=(-1,n) ，則 m=,n=
4.非空集合 it{G} 關(guān)于運(yùn)算 {+} 滿足：
① 對(duì)于任意 a,b\in G ,都有 a{+}b\in G
② 存在 e\in G ,使對(duì)一切 a\in G 都有 a{+}e=e {+}a=a ,則稱 it{G} 關(guān)于運(yùn)算 {+} 為融洽集,
現(xiàn)有下列集合運(yùn)算：
(1) \begin{array}{r}{G=\left\{\begin{array}{r l}\end{array}\right.}\end{array} 非負(fù)整數(shù)！， {+} 為整數(shù)的加法；(2) \begin{array}{r}{G=\left\{\begin{array}{r l}\end{array}\right.}\end{array} 偶數(shù)}， \circledast 為整數(shù)的乘法；
(3) G=\left\{x\mid x=m+n{√(2)}\right. ， m\in{\mathbf{Z}},n\in{\mathbf{Z}}\} ， {+} 為實(shí)數(shù)的乘法；
（4） \begin{array}{r}{G=\left\{\begin{array}{r l}\end{array}\right.}\end{array} 二次三項(xiàng)式}， \circledast 為多項(xiàng)式的乘法.
其中關(guān)于運(yùn)算 {+} 的融洽集有
課后作業(yè)
請(qǐng)課下完成單獨(dú)成冊(cè)的對(duì)應(yīng)課時(shí)的課后作業(yè)，
第2講 常用邏輯用語
考情幫 考題概覽 精準(zhǔn)預(yù)測(cè)
| 考点内容 | 课标要求 | 考题取样 | 对应命题点 | 预测热度 | 核心素养 |
| 充分条件与必要条件 | 理解 | 2024年上海秋考模拟 | 命题点1 | ★ | 逻辑推理 |
| 命题分析预测 | 从近几年的高考情况来看，逻辑用语高考没有考到，但是高考考点之一，一般以 填空、选择题的形式出现，试题较为简单，属于送分题，主要考查考生的逻辑推 理、数学运算等核心素养.命题热点为判断充分条件与必要条件.预计2026年 高考命题热点变化不大，不易拔高学习要求，但应加强对逻辑用语中培养逻辑 推理能力重视. | ||||
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知識(shí)梳理
一、命題
1.命題的概念：用自然語言、符號(hào)或式 子,且可以表達(dá) 的陳述句.
2.命題的分類： 命題和 命題
3.命題與推出關(guān)系：命題“若 α ，則 β ，是真命題,則稱
推出關(guān)系具有傳遞性,即“若 α{\Rightarrow}β,β{\Rightarrow} γ ，則
二、充分條件與必要條件
1.如果 p{\Rightarrow}q ,則 p 是 q 的
2.如果 q{\Rightarrow}p ,則 p 是 q 的
3.如果既有 p{\Rightarrow}q ,又有 q{\Rightarrow}p ,記作 q\Leftrightarrow p ,則 p 是 \scriptstyle q 的
三、反證法
1.反證法的基本步驟
（1）否定結(jié)論，提出假設(shè)（假設(shè)結(jié)論的反面成立)；
（2）推出矛盾（從假設(shè)出發(fā)，通過推理,導(dǎo)出矛盾);
（3）推翻假設(shè)，肯定結(jié)論
2.常見的正面敘述詞語和它的否定
詞語
| 正面 词语 反面 | 都是任意 | 至少有一个 | 至多有一个 | |
| 词语 | 不都是 存在 | 一个都没有 |
| 正面 词语 否定 | 等于（=） | 大于(>) | 小于( | 是或 | |
| 不等于 | 不大于 | 不小于 （≥) | 不是且 |
基礎(chǔ)白測(cè)
1. “ a>=slant0^{\prime\prime} 是“ a>=slant1 ”的
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.若要用反證法證明“若 x^{2}+y^{2}=0 ，則 x=0 且 y=0 ”，應(yīng)假設(shè)為
3.若“ \scriptstyle x=2 ”是“ x<a ”的充分條件，則實(shí)數(shù) \mathbf{\Psi}_{a} 的取值范圍為
4.判斷下列語句是否為命題？若是，請(qǐng)判斷其真假,并說明理由.
（1）求證 √(3) 是無理數(shù);(2)若 {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{R} ,則 x^{2}+4x+4>=0
（3）你是高一的學(xué)生嗎？
（4）并非所有的人都喜歡吃蘋果；
（5）若 x y 是有理數(shù),則 x,y 都是有理數(shù);(6) 60x+9>4
高考幫 研透高考 明確方向
命題點(diǎn)1 充分條件、必要條件
【例1】下列四個(gè)命題：
① “存在 x\in\mathbf{R},x^{2}-x+1<=slant0^{,} 的否定；
② “若 x^{2}+x-6>=0 ,則 \scriptstyle x>2 ”的否命題；
③ 在 \triangle A B C 中，“ A{>}30° ’是“ sinA>(1)/(2), ”的充分不必要條件;
④ “函數(shù) f(x)=\tan{(x+\varphi)} 為奇函數(shù)”的充要條件是“ \varphi=kπ(k\in\mathbf{Z}) ：
其中真命題的序號(hào)是 （真命題的序號(hào)都填上)【例2】已知集合 A=\left\{x\mid2x+m<0,x\in\mathbf{R}\right\} ，B=\{x\vert x<-1 或 x{>}3,x\in\mathbf{R}\ \} ：
（1）是否存在實(shí)數(shù) m ,使得 x\in A 是 x\in B 成立的充分條件?
（2）是否存在實(shí)數(shù) m ，使得 x\in A 是 x\in B 成立的必要條件？
思維幫 提升思維 快速算題
命題點(diǎn)2 常用邏輯用語綜合問題
【例3】（1）設(shè) x,y\in\mathbf{R} ,證明： \left|x-y\right|=\left|x\right|+ |y| 的充要條件為 x y<=slant0
（2）設(shè) a,b,c\in\mathbf{R},a+b+c=1,a^{2}+b^{2}+c^{2}>1 ，求證： ^{a,b,c} 至少有一個(gè)為負(fù)數(shù).
作業(yè)幫 分層訓(xùn)練 檢測(cè)結(jié)果
課堂作業(yè)
1.“ x{>}3 ”是“ \left|{\bf\nabla}x{-}1\right|>2^{\prime} 的
A.充要條件
B.既不充分也不必要條件
C.充分不必要條件
D.必要不充分條件
2.已知條件 p\colon(1)/(x)<1 ,則使得條件 p 成立的一個(gè)充分不必要條件是 C 1
A. x<-1
B. x>=slant1
C. _{x<0} 或 _{x>1}
D. x\neq0
3.已知命題“存在 {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{R} ，使 2x^{2}+x-a=0 ”為真命題,則實(shí)數(shù) \mathbf{α}_{a} 的最小值為
4.已知條件 α . \scriptstyle0<x<2 和條件 β ： \scriptstyle0<x<a ,若α 是 β 的一個(gè)充分不必要條件,則實(shí)數(shù) \mathbf{α}_{a} 的取值范圍是
課后作業(yè)
請(qǐng)課下完成單獨(dú)成冊(cè)的對(duì)應(yīng)課時(shí)的課后作業(yè)，
第3講 等式與不等式的性質(zhì)
考情幫 考題概覽 精準(zhǔn)預(yù)測(cè)
| 考点内容 | 课标要求 | 考题取样 | 对应命题点 | 预测热度 | 核心素养 |
| 1.比较两个数(式) 的大小 | 理解 | 2023年上海秋考第 21题 | 命题点1 | ★★ | 逻辑推理 数学运算 |
| 2.不等式的性质及其 应用 | 理解 | 2024年上海春考第 13题 | 命题点2 | ★★ | 逻辑推理 数学运算 |
| 命题分析预测 | 从近几年的高考情况来看，等式与不等式是高考必考内容，会在不同的题型中 出现，试题难度跨度较大，简单、中档题都有.主要考查考生的逻辑推理、数学运 算等核心素养.命题热点为比较两个数的大小和不等式的性质以及应用.预计 2026年高考命题热点变化不大，不宜拔高学习要求. | ||||
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知識(shí)梳理
一、等式的性質(zhì)與方程的解集
1.傳遞性：設(shè) *,b,c 均為實(shí)數(shù),如果\scriptstyle a=b ,且 b=c ,那么 ~\bf~\chi~_{a}~\bf~\chi~_{c}
2.加法性質(zhì)：設(shè) *,b,c 均為實(shí)數(shù),如果\scriptstyle a=b ,那么 a+c b+c.
3.乘法性質(zhì)：設(shè) *,b,c 均為實(shí)數(shù),如果\scriptstyle a=b ,那么 a c b c
4.含有未知數(shù)的等式稱為方程.使得方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為方程的解.以方程的所有解為元素組成的集合稱為方程的解集.
5.韋達(dá)定理若一元二次方程 a x^{2}+b x+c \scriptstyle=0 的兩個(gè)根為 x_{1}\ldots x_{2} ,則
二、不等式的性質(zhì)
1.傳遞性設(shè) *,b,c 均為實(shí)數(shù),如果 \vert a>
b ,且 b{>}c ,那么 \mathbf{α}_{a} C
2.加法性質(zhì)設(shè) *,b,c 均為實(shí)數(shù),如果 \mathbf{\Omega}_{a} >b ,那么 a+c b+c.
3.乘法性質(zhì)設(shè) \boldsymbol{a},\boldsymbol,\boldsymbol{c} 均為實(shí)數(shù)，
如果 \scriptstyle a>b ,且 c{>}0 ,那么 a c b c ：
如果 \scriptstyle a>b ,且 c<0 ,那么 a c b c
4.常用結(jié)論：對(duì)任意的實(shí)數(shù) \scriptstyle{a,b} ,都有 a^{2}+b^{2}2a b ,當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)取等.
基礎(chǔ)白測(cè)
1.如果 a<b<0 ,那么下列不等式中正確的是( )
(-a)/(-b)<1 B. a^{2}>a b (1)/(b^{2)}<(1)/(a^{2)} \mathbf{D}.(1)/(a)<(1)/(b)
2.若 a<0,-1<b<0 ，則 a,a b,a b^{2} 從小到大的 排列為
3.設(shè) \boldsymbol a\in\mathbf{R} ,求關(guān)于 x 的方程 a x=a^{3}-x+1 的解集.
4.已知方程 x^{2}+4x-7=0 的兩根為 x_{1},x_{2} ,求 {x_{1}}^{3}{+x_{2}}^{3}.
高考幫 研透高考 明確方向
命題點(diǎn)1 比較兩個(gè)數(shù)（式)的大小
【例1】（2023年上海秋考第21(2)題）已知當(dāng) n{>=slant}2 時(shí)， a_{n}=\ln a_{n-1}-1 ,試比較：當(dāng) n>=slant2 時(shí)， style{a_{n}} 與 {a_{n-1}-2} 的大小.
命題點(diǎn)2 不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用
命題角度1 不等式的性質(zhì)
【例2】（1）（2024年上海春考真題）已知a,b,c\in\mathbf{R},b>c ,則下列不等式恒成立的是C 0
A. a+b^{2}>a+c^{2} B. a^{2}+b>a^{2}+c
C. a b^{2}>a c^{2} D. a^{2}b{>}a^{2}c
(2）若 a,b\in\mathbf{R} ,則 a b(a-b)>0 成立的一個(gè)充要條件是 ( )
A. a<0<b B. b{<}a{<}0 (1)/(a)<(1)/(b) D. a>b>0
命題角度2 不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用
【例3】（1）若 a{>}b{>}0,d{>}c{>}0 ,求證： (a)/(c)>(b)/(d).
（2）已知 a,b,x,y\in\mathbf{R}^{+} ,且 *(1)/(a){>}(1)/(b),x{>}y 求證： (x)/(x+a)>(y)/(y+b).
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命題點(diǎn)3 不等式的綜合問題
命題角度1 不等式綜合問題正誤的判定【例4】設(shè) \boldsymbol{a},\boldsymbol,\boldsymbol{c},\boldsymbol{p} 為實(shí)數(shù)，若同時(shí)滿足不等式 a x^{2}+b x+c>0√(b x^{2)+c x+a>0} 與 c x^{2}+a x+b>0 的全體實(shí)數(shù) x 所組成的集合等于 (p,+∞) ：則關(guān)于結(jié)論:@a,b,c 至少有一個(gè)為0： ②p=0. 下列判斷中正確的是 ( ）
A. ① 和 ② 都正確 B. ① 和 ② 都錯(cuò)誤 C. ① 正確， ② 錯(cuò)誤 D. ① 錯(cuò)誤， ② 正確
命題角度2 不等式的探究問題
【例5】（1）“若 b{<}a{<}0 ,則 \scriptstyle a^{3}>b^{3} ”命題是否正確？若正確，請(qǐng)給予證明；若不正確，請(qǐng)說明理由;
（2）“若 b<a<0 ，則 a^{n}{>}b^{n}\left(n\in\mathbf{N}*\mathbf{\right)} ”命題是否正確,請(qǐng)說明理由.你能得到一個(gè)更一般的結(jié)論嗎？
作業(yè)幫 分層訓(xùn)練 檢測(cè)結(jié)果
課堂作業(yè)
1.若 8<x<10,2<y<4 ，則 (x)/(y) 的取值范圍 為
2.給出下列命題： ① 若 a{>}b ,則 a c^{2}>b c^{2}
② 若 \scriptstyle a>b ，則 (1)/(a)<(1)/(b)
③ 若 ^{a,b} 是非零實(shí)數(shù),且 a<b ，則 (1)/(a b^{2)}<(1)/(a^{2)b}
④ 若 a<b<0 ,則 a^{2}>a b>b^{2}
其中正確的命題是 ·（填對(duì)應(yīng)序號(hào)
即可)
3.已知 1<=slant a<=slant b<=slant2 ,記 (3)/(a)+b 的最大值為 M ，最小值為 \mathbf{\nabla}_{m} ，則 M^{2}-m^{2}= 4.若 a<b<0 ,則下列結(jié)論中正確的是(
A.不 (1)/(a)>(1)/(b)\bar{\nless}\mathbb{I}(1)/(\left|a\right|)>(1)/(\left|b\right|) 均不能成立B.不等式 (1)/(a-b)>(1)/(a)\bar{\nparallel}(1)/(\left|a\right|)>(1)/(\left|b\right|) 均不能成立
課后作業(yè)
請(qǐng)課下完成單獨(dú)成冊(cè)的對(duì)應(yīng)課時(shí)的課后作業(yè).
C.不等式 (1)/(a-b)>(1)/(a) 和 \left(a+(1)/(b)\right)^{2}>\left(b+(1)/(a)\right)^{2} 均不能成立
D.不等式 (1)/(\left|a\right|)>(1)/(\left|b\right|)\bar{\nwarrow}\mathbb{H}\left(a+(1)/(b)\right)^{2}>\left(b+(1)/(a)\right)^{2} 均不能成立
第4講 解不等式
考情幫 考題概覽 精準(zhǔn)預(yù)測(cè)
| 考点内容 | 课标要求 | 考题取样 | 对应命题点 | 预测热度 | 核心素养 |
| 1.一元二次不等式的 求解 | 掌握 | 2024年上海秋考第 3题 | 命题点1 | ★★ | 逻辑推理 数学运算 |
| 2.分式不等式的求解 | 理解 | 2024年上海秋考 模拟 | 命题点2 | ★ | 逻辑推理 数学运算 |
| 3.含绝对值不等式的 求解 | 理解 | 2023年上海秋考第 1题 2023年上海春考第 3题 | 命题点2 | ★★ | 逻辑推理 数学运算 |
| 命题分析预测 | 从近几年的高考情况来看，解不等式是高考必考内容，基本上在简单题中出现， 难度较低，考生做到会解课本要求的几类不等式即可得分.主要考查考生的逻 辑推理、数学运算等核心素养.命题热点为一元二次不等式、分式不等式和含绝 对值的不等式的求解.预计2026年高考命题热点变化不大,不宜拔高学习 要求. | ||||
《解密新高考》一盞明燈照亮升學(xué)路
解密新高考
上海高考數(shù)學(xué)指導(dǎo)方略
課后作業(yè)
第1講 集合初步
1.已知數(shù)集 \left\{0,-1,2a\right\}=\left\{a-1,-\left|a\right|,a+1\right\} ，則由實(shí)數(shù) \mathbf{α}_{a} 的值組成的集合為
2.已知集合 A=\{x^{2},y^{2}\} B=\left\{4x+21,4y+\right.
21}.若 A=B ,則 x+y=
3.若集合 A=\{x\mid a x^{2}-3x+1=0\} 的子集只有兩個(gè),則實(shí)數(shù) \scriptstyle a=
4.已知集合 A=\{x\mid m-1<=slant x<=slant2m-1\} ， B= [1,5],若 A\subseteq B ，則實(shí)數(shù) \mathbf{\nabla}_{m} 的取值范圍 是
5.若 \{x\vert x<1 或 \mathbf{λ}_{x>4}\}\cup\{x\mid m<x<2m+3\}=\mathbf{R} ， 則實(shí)數(shù) \mid m 的取值范圍為
6.已知集合 \begin{array}{l l l}{A}&{=}&{\{x\mid a<x<0\}}\end{array} ， B^{\prime}\ = \{x|-2<x<-1\} ，若 A\cap B=B ,則實(shí)數(shù) \mathbf{α}_{a} 的取值范圍為
7.已知集合 A=\left\{x\vert x>a\right\} B=\left\{x|-2<x<1\right\} ，且 \stackrel{-}{A}\cap B=\varnothing ，則 \mathbf{α}_{a} 的取值范圍為 ( ）
10.已知集合 A=\left\{x|-2<=slant x<=slant5\right\} ， B=\left\{x\vert m+\right. 1<=slant x<=slant2m-1\} ：
A. \{a\vert a<=slant-2\} B. \{a|a<=slant1\}
C. \{a\vert a>=slant-2\} D. \{a|a>=slant1\}
（1）當(dāng) m=3 時(shí),求 A\cup B,A\cap{\overline{{B}}} （2）若集合 B 為非空集合且 A\cup B{=}A ,求實(shí)數(shù) \mid m 的取值范圍;（3）若 A\cap B=\emptyset ,求實(shí)數(shù) \mathbf{\psi}_{m} 的取值范圍.
8.已知集合 A=\{x\mid1<=slant x<2\} \boldsymbol{B}=\{x\vert x>a\} ，若A\cup B=B ,則實(shí)數(shù) \mathbf{\Omega}_{a} 的取值范圍是 （）
A. \scriptstyle a>=2 B,a{>}2
C. a<=slant1 ~D~.a<1
9.設(shè)全集 {\cal U}={\bf R} ,集合 A=\{x\mid x^{2}-6x+8=0\} B =\left\{x\left|{(3)/(x)}<1\right\}
11.已知集合 A=\{x\mid x^{2}-7x+6<0\} ，
B=\{x|4-t<x<t\}
（1）當(dāng) \scriptstyle t=4 時(shí),求 A\cup B
（2）若 A\cap B=A ,求實(shí)數(shù) \mathbf{\chi}_{t} 的取值范圍.
（1）求 A\cup{\overline{{B}}} （2）設(shè)集合 C=\{x\vert x^{2}+3a=\left(3+a\right)x,a\in\mathbf{Z}\} ，若 A\cap C 恰有2個(gè)子集，求 \mathbf{\Omega}_{a} 的值.
12.已知集合 A=\{x\mid-3<=slant x<=slant7\} ， B=\left\{{x\left|t+1\right.} <=slant x<=slant2t-2\} ：
（1）在 TD\overline{{A}}\subseteq\overline{{B}},②A\cup B=A,③A\cap B=B. 三個(gè)條件中任選一個(gè)，作為下面問題的條件，并解答.問題：當(dāng)集合 ^{A,B} 滿足時(shí)，求實(shí)數(shù) \mathbf{\chi}_{t} 的取值范圍.（2）若 A\cap B=\emptyset ,求實(shí)數(shù) \mathbf{\chi}_{t} 的取值范圍.
第2講 常用邏輯用語
1.關(guān)于 x 的方程 (m+1)x+2=0 的解為2的充要條件是
2.給出能夠說明“若 a<b ，則 (1)/(a^{2)+1}>(1)/(b^{2)+1} 是
假命題的一組 \ Q,\ b 的值： a= ；
b=
3.已知命題甲：關(guān)于 x 的方程 x^{2}+x+m=0 有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根；命題乙：關(guān)于 x 的方程 4x^{2}+x+m=0 沒有實(shí)數(shù)根.若甲、乙有且只有一個(gè)是真命題，則實(shí)數(shù) \mathbf{\psi}_{m} 的取值范圍是
4.若命題甲“ x\in[2,5] ”和命題乙“ x\in \{x\vert x<1 或 ? x{>}4? ”中至少有一個(gè)是真命題，則 實(shí)數(shù) x 的取值范圍是
5.已知 p\colon5x-1>a,q\colon x>1 ,且“若 p ,則 it{q} ” 為真命題，則實(shí)數(shù) \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范圍 是
6.若 p\colon-2<x<2,q . √(x)<4 ，則 \boldsymbol{p} 是 it{q} 的條件.（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中選一個(gè)你認(rèn)為正確的填在橫線處)
7.已知條件 p ： (1)/(x)<1 ,則使得條件 p 成立的一個(gè)充分不必要條件是 ( ）
A. \scriptstyle x<-1 B. x>=slant1
C. _{x<0} 或 x{>}1 D. x\neq0
8.集合 \begin{array}{r c l}{A}&{=}&{\{-1,1,3,5\}}\end{array} ，集合 B\ = \{a,1,3,5\} ，若“ x\in A ”是“ x\in B ”的充要條件,則 \scriptstyle a= （ ）
A.0 B.-1
C.3 D.5
9.命題甲：集合 A=\{x|-2<x<6\} ? B=\left\{x\left|x+\right.\right. \scriptstyle a-1>0\} ，且 A\cup B=\{x|x>-2\} .命題乙：集合 A=\{x\mid x^{2}+(a+2)x+1=0\} ， B=\{x|x{>}0\} ，且 A\cap B=\emptyset .問題：若命題甲和乙中有且只有一個(gè)真命題，求實(shí)數(shù) \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范圍.
10.在“ ① 充分不必要； ② 必要不充分； ③ 充要”這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的橫線中,并求解下列問題：
已知集合 A=\{x\vert2-a<=slant x<=slant1+2a,a>=slant(1)/(3)\} B=\{y\vert y=√(6x+1),0{<=slant}x{<=slant}4\},
（1）若 3\in A 且 {5\not\in A} ,求實(shí)數(shù) \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù) \mathbf{\Psi}_{a} ，使得 x\in A 是 x\in B 的條件.若存在,求實(shí)數(shù) \mathbf{α}_{a} 的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
11.命題甲：集合 A=\{x|-2<x<6\} ， B= \{x|x+a-1{>}0\} ，且 A\cup B=\{x|x{>}-2\} ，命題乙：集合 A=\{x\mid x^{2}+(a+2)x+1=0\} ， B= \{x|x{>}0\} ,且 A\cap B=\emptyset ，
（1）若命題甲是真命題，求實(shí)數(shù) \mathbf{α}_{a} 的取值范圍；
（2）若命題乙是真命題，求實(shí)數(shù) \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范圍；
（3）若命題甲和乙中有且只有一個(gè)真命題，求實(shí)數(shù) \mathbf{α}_{a} 的取值范圍.
12.已知 p ：關(guān)于 x 的方程 x^{2}-2a x+a^{2}+a-2 \scriptstyle=0 有實(shí)根， \mathbf{\nabla}*\boldsymbol{q} ：關(guān)于 x 的方程 x-2a+5=0 的解在[-3,9]內(nèi).
（1）若 \overset{-}{q} 是真命題,求 \mathbf{α}_{a} 的取值范圍；（2）若 p 和 q 中恰有一個(gè)是真命題，求 \mathbf{α}_{a} 的取值范圍.
第3講 等式與不等式的性質(zhì)
1.關(guān)于 x 的方程 a x=a^{2}+x-1 有唯一解的條件是
2.已知實(shí)數(shù) \scriptstyle{a,b} 滿足 a-b\in[0,1],a+b\in [2,4],則 \scriptstyle a 的取值范圍為 4a-2b 的取值范圍是
3.設(shè) a>b>0,m>0,n>0 ，則 p={(b)/(a)},q={(a)/(b)},r=
{(b+m)/(a+m)},s={(a+n)/(b+n)} α+"的大小順序是
4.已知 a,b\in(0,1) ，記 M=a b,N=a+b-1 ，則 M 與 N 的大小關(guān)系是
5.下面四個(gè)條件中，使 a>b 成立的充分而非必要的條件是 (填寫序號(hào)).
①a>b-1 ②a>b+1 ③a^{2}{>}b^{2} ④a^{3}{>}b^{3}
6.若 x_{1} 和 x_{2} 是方程 2x^{2}+x+3=0 的兩個(gè)根,
1+的值為
7.若 a<b<0 ,則下列結(jié)論中正確的是（
A.不等 \because(1)/(a)>(1)/(b)\mp\sharp(1)/(|a|)>(1)/(|b|) 均不能成立
B.不等式 \because(1)/(a-b)>(1)/(a)\bar{\nmid}(1)/(\mid a\mid)>(1)/(\mid b\mid) 均不能成立C.不等式 (1)/(a-b)>(1)/(a) 和 \left(a+(1)/(b)\right)^{2}>\left(b+(1)/(a)\right)^{2} 均不能成立
D.不等式 (1)/(\mid a\mid)>(1)/(\mid b\mid)\bar{\nmid}\mathbb{H}\left(a+(1)/(b)\right)^{2}>\left(b+(1)/(a)\right)^{2} 均不能成立
8.劉老師沿著某公園的環(huán)形道（周長(zhǎng)大于1~km )按逆時(shí)針方向跑步，他從起點(diǎn)出發(fā)、并用軟件記錄了運(yùn)動(dòng)軌跡，他每跑 1km ，軟件會(huì)在運(yùn)動(dòng)軌跡上標(biāo)注出相應(yīng)的里程數(shù).
已知?jiǎng)⒗蠋煿才芰?11\ km ,恰好回到起點(diǎn)，前 5km 的記錄數(shù)據(jù)如圖所示，則劉老師總共跑的圈數(shù)為 >
A. 7 B. 8 C.9 D.10
9.原有酒精溶液 \mathbf{\Omega}_{a} （單位：g）,其中含有酒精 it （單位： \mathbf{g} ),其酒精濃度為 {(b)/(a)}. 為增加酒精濃度,在原溶液中加入酒精 x （單位：g),新溶液的濃度變?yōu)?*{(b+x)/(a+x)}. 根據(jù)這一事實(shí),可提煉出如下關(guān)于不等式的命題：若 a>b>0 _{x>0} ，則 (b)/(a)<(b+x)/(a+x)<1. 試加以證明.
10.葉老師和王老師兩人一起去糧店打醬油共三次，葉老師每次打100元醬油，而王老師每次打100斤醬油，由于醬油市場(chǎng)瞬息萬變，每次打的醬油價(jià)格都不相同，分別為\mathbf{\Psi}_{a} 元 \boldsymbol{*}\boldsymbol 元、 \mid c\mid 元，則三次后兩人所打醬油的平均價(jià)格較低的是哪位老師？請(qǐng)寫出理由的關(guān)鍵不等式.
12.設(shè) f(x) 和 g\left(x\right) 是整式多項(xiàng)式 \boldsymbol{I}(\boldsymbol{x})=0 ，g(x)=0 都有解. A=\{x|f^{2}(x)+g^{2}(x)=0\} ： B= \{x\mid\mid f(x)\mid+\mid g(x)\mid=0\} C=\{x\vert f(x)\ g(x)=0\} ：（1）判別 A 與 B 關(guān)系；
（2）判別 A 與 \boldsymbol{c} 關(guān)系并證明.
11.已知一元二次方程 x^{2}-2m x+m-1=0 的 兩實(shí)根為 x_{1},x_{2} ,且 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=4. 求實(shí)數(shù) \mathbf{\psi}_{m} 的值.
解密新高考
上海高考數(shù)學(xué)指導(dǎo)方略
階段測(cè)試卷
階段測(cè)試卷1 集合與不等式單元測(cè)試卷
一、填空題(本大題共12題,滿分54分.其中第1\~6題每題4分,第7\~12題每題5分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.
1.已知集合 M=\left\{a\left|{(6)/(5-a)}\in\mathbf{N},a\in\mathbf{N}\right\} ,用列舉法表示 M=
2.已知 p 是 \boldsymbol{r} 的充分非必要條件， s 是 \boldsymbol{r} 的必要條件， q 是 bf{it{s}} 的必要條件,那么 \boldsymbol{p} 的一個(gè)條件是 q ，
3.“ x{>}3^{\prime} ‘是“ \scriptstyle{\dot{x}}>2 ”的 條件.（填“充分非必要”“必要非充分”“充要”或“既非充分又非必要”)
4.滿足 A\cup\{-1,1\}=\{-1,0,1\} 的集合 A 共有 個(gè).
5.不等式 x^{2}-6{>}5\left|x\right| 的解集是
6.已知集合 A=\left\{x|-2<=slant x<=slant7\right\} B=\left\{x\mid m+1<=slant x<=slant2m-1\right\} ，且 A\cup B{=}A ,則實(shí)數(shù) \mid m 的取值范圍 是
7.已知 a+2b=1 ，則 3^{a}+9^ 的最小值為
8.若集合 M=\{x\mid x^{2}+3x-6=0\} ， N=\{x\vert k x+6=0\} 且 N\subset M ，則 k 的所有可能值的乘積為
9.若關(guān)于 x 的一元二次方程 k x^{2}+3x-1=0 有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是
10.已知正實(shí)數(shù) \mathbf{\omega}_{a,b} 滿足 a+4b=1 ，則 a b 的最大值為
11.對(duì)任意 {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{R} ，不等式 \left|x{-}2\right|+\left|x{-}3\right|>=slant2a^{2}{+}a 恒成立，則實(shí)數(shù) \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范圍為
12.若關(guān)于 x 的不等式 x^{2}-4x-m>=0 對(duì)任意 x\in(0,1] 恒成立,則 \mathbf{\nabla}_{m} 的最大值為
二、選擇題(本大題共4題,滿分18分,第13\~14題每題4分,第15～16題每題5分)每題有且只有一個(gè)正確答案,考生應(yīng)將答案填寫在括號(hào)內(nèi)，選對(duì)得滿分,否則一律得零分.
13.若 a,b,c\in\mathbf{R} ,則下列條件中，使“ \scriptstyle(a>b ”成立的充分非必要條件是
A. a+c>b+c 上 \:λ.\:a-c>b-c-1\: C. a c^{2}>b c^{2} D.(a)/(c^{2)}{>}(b)/(c^{2)+1}
14.對(duì)于下列命題：
①若a>b>0,c>d>0,則b+d;② 若 a{>}b{>}0,c{>}d{>}0 ,則 a^{c}{>}b^xmqnarg ，關(guān)于上述命題描述正確的是
A. ① 和 ② 均為真命題 B. ① 和 ② 均為假命題C. ① 為真命題， ② 為假命題 D. ① 為假命題， ② 為真命題
15.已知集合 A=\{x\mid-2<=slant x<=slant7\} B=\{x\mid m+1<x<2m-1\} 且 B\neq\emptyset ,若 A\cup B{=}A ，則
A. -3<=slant m<=slant4 B. -3<m<4 C. 2<m<4 D.2<m≤4
(2x^{2}+4x+4)/(x+1) 16.若 \scriptstyle x>-1 ，則 的最小值為 T
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答題（本大題共5題，共78分)解下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必 要的步驟.
17.（14分）解關(guān)于 x 的不等式： a\left(a x-1\right)>x-1 ，
18.（14分）已知全集為R,集合 A=\left\{x\left|x+1\right|-\left|x-2\right|<=slant2\right\},B=\left\{x\left|{(x+1)/(\left|x-2\right|)}>=slant2\right\}
（1）求集合 A ；（2）求集合 B 的補(bǔ)集 B
19.（14分）已知正數(shù) x,y 滿足 x+y=2 （1）求xy 的最大值；
（2）求 (1)/(x)+(2)/(y) 的最小值.
20.（18分）已知集合 A=\{x\mid x^{2}-3x+2<=slant0\}\ ,B=\{x\mid x^{2}-(a+1)x+a<=slant0\}
（1）當(dāng) A=B 時(shí)，求實(shí)數(shù) \mathbf{\Delta}_{a} 的值；
（2）當(dāng) A\subseteq B 時(shí)，求實(shí)數(shù) \mathbf{\Omega}_{a} 的取值范圍.
21.（18分)某光伏企業(yè)投資144萬元用于太陽能發(fā)電項(xiàng)目， n(n\in\mathbf{N},n{>}0) 年內(nèi)的總維修保養(yǎng)費(fèi)用為 (4n^{2}+20n) 萬元，該項(xiàng)目每年可給公司帶來100萬元的收入.假設(shè)到第 \mathbf{\Omega}_{n} 年年底,該項(xiàng)目的純利潤為 y 萬元.（純利潤 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 累計(jì)收入-總維修保養(yǎng)費(fèi)用-投資成本)
（1）寫出純利潤 y 的表達(dá)式，并求該項(xiàng)目從第幾年起開始盈利.
（2）若干年后,該公司為了投資新項(xiàng)目,決定轉(zhuǎn)讓該項(xiàng)目,現(xiàn)有以下兩種處理方案：① 年平均利潤最大時(shí),以72萬元轉(zhuǎn)讓該項(xiàng)目；
② 純利潤最大時(shí)，以8萬元轉(zhuǎn)讓該項(xiàng)目.
你認(rèn)為以上哪種方案最有利于該公司的發(fā)展？請(qǐng)說明理由.
階段測(cè)試卷2 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)測(cè)試卷（A)
一、填空題(本大題共12題,滿分54分.其中第1\~6題每題4分,第7\~12題每題5分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.
1.函數(shù) y=\ln(1-x)/(2+x) 的定義域?yàn)?/p>
2.若函數(shù) \scriptstyle y=f(x) 為偶函數(shù),且當(dāng) _{x<0} 時(shí) f(\boldsymbol{x})=2^{\boldsymbol{x}}-1 ，則 f(1)=
3.當(dāng) x\in\left[a,+∞\right) 時(shí),冪函數(shù) y=x^{2} 的圖像總在 y=x^{(1)/(2)} 的圖像上方,則 \mathbf{α}_{a} 的取值范圍為
f(x)={\left\{\begin{array}{l l}{2^{x},x<=slant0}\\ {1,x>0}\end{array}\right.} 4.設(shè)函數(shù) 則滿足 f(x-1)<f(2x) 的 x 的取值范圍是
5.已知 f(x)=x^{2},g(x)=\left\{\begin{array}{l}{{f(x),x>=slant0}}\\ {{-f(-x),x<0}}\end{array}\right. 則 g(x)<=slant2-x 的 x 的取值范圍為
6.函數(shù) f(x)=\left(2^{x}-1\right)\left(2^{-x}-a\right) 的圖像關(guān)于 x=1 對(duì)稱，則 f(x) 的最大值為
7.請(qǐng)寫出同時(shí)滿足下面三個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)解析式 f(x)= ①f(1-x)=f(1+x);②f(x) 至少有兩個(gè)零點(diǎn)； ③f(\boldsymbol{x}) 有最小值.
\scriptstyle y={\left\{\begin{array}{l l}{\left(a-2\right)x+4a+1,x<=slant2}\\ {}\\ {2a^{x-1},x>2}\end{array}\right.} 8.已知 \scriptstyle0<a<2 ,函數(shù) ,若該函數(shù)存在最小值,則實(shí)數(shù) \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范圍是
9.設(shè) a{>}0 ,已知函數(shù) f(x)=\ln{\left(x^{2}+a x+2\right)} 的兩個(gè)不同的零點(diǎn) x_{1},x_{2} ,滿足 \left|x_{1}-x_{2}\right|=1 ,若將該函數(shù)圖像向右平移 m(m{>}0) 個(gè)單位后得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像,則 m=
f(x)=\left\{{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)^{3},0<=slant x<2,}\\ {}\\ {\left[{(2)/(x)},x>=slant2\right.}\end{array}}\right. 10.對(duì)于函數(shù)y=f(x),其中f(x)=2 ,若關(guān)于 x 的方程 f(x)=k x 有兩個(gè)不同的根,則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是
11.中國古代建筑的主要受力構(gòu)件是梁,其截面的基本形式是矩形.如圖，將一根截面為圓形的木材加工制成截面為矩形的梁,設(shè)與承載重力的方向垂直的寬度為 x ,與承載重力的方向平行的高度為 y ,記矩形截面抵抗矩 \scriptstyle{W={(1)/(6)}x y^{2}} .根據(jù)力學(xué)原理，截面抵抗矩越大，梁的抗彎曲能力越強(qiáng)，則寬 x 與高 y 的最佳之比應(yīng)為
12.已知函數(shù) \scriptstyle y=f(x) ,其中 f(x)=\left|{(2^{x+1})/(2^{x)+2^{-x}}}-1-a\right| ,存在實(shí)數(shù)x,x2,*s,x_{n} 使得 \sum_{i=1}^{n-1}f(x_{i})=f(x_{n}) 成立,若正整數(shù) n 的最大值為8,則實(shí)數(shù) \mathbf{\Psi}_{a} 的取值范圍是
二、選擇題（本大題共4題,滿分18分,第13\~14題每題4分,第15～16題每題5分)每題有且只有一個(gè)正確答案,考生應(yīng)將答案填寫在括號(hào)內(nèi),選對(duì)得滿分,否則一律得零分.
13.生物豐富度指數(shù) d{=}(S{-}1)/(\mathbf{ln)N} 是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo),其中 s,N 分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù) itmnrokfb 越大,水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類數(shù) s 沒有變化,生物個(gè)體總數(shù)由 N_{1} 變?yōu)?N_{2} ,生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15,則
A. 3N_{2}{=}2N_{1} \begin{array}{c}{{{\bf B}.~2N_{2}=3N_{1}}}\\ {{}}\\ {{{\bf D}.~N_{2}^{3}=N_{1}^{2}}}\end{array} C N_{2}^{2}{=}N_{1}^{3}
14.設(shè)函數(shù) f(x)={(e^{x}+2\sin x)/(1+x^{2)}} 則曲線 \scriptstyle y=f(x) 在點(diǎn) (0,1) 處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為 (
A.{(1)/(6)} \mathbf{B}.{(1)/(3)} C.(1)/(2) {\bf D.}(2)/(3)
15.設(shè)函數(shù) f(x)=(x+a)\ln(x+b) ，若 f(x)\mathop{>=}0 ,則 a^{2}+b^{2} 的最小值為
A. (1)/(8) {\bf B}.(1)/(4) C.(1)/(2) D. 1
16.設(shè)正數(shù) ^{a,b,c} 不全相等， a b c=1 ，函數(shù) f(x)=\left(1+a^{x}\right)\left(1+b^{x}\right)\left(1+c^{x}\right) .關(guān)于說法：
① 對(duì)任意 ^{a,b,c,f(x)} 都為偶函數(shù);
② 對(duì)任意 a,b,c,f(x) 在[0.01,0.02]上嚴(yán)格單調(diào)增.以下判斷正確的是
C ）
A. ① ② 都正確 B. ① 正確、 ② 錯(cuò)誤 C. ① 錯(cuò)誤、 ② 正確 D. ① ② 都錯(cuò)誤 三、解答題(本大題共5題,共78分)解下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必 要的步驟.
17.(14分)若 f(x)=\log_{a}x(a>0,a\neq1) ：
(1) \scriptstyle y=f(x) 過(4,2),求 f(2x-2)<f(x) 的解集;
（2）存在 x 使得 f(x+1)\ f(a x)\ f(x+2) 成等差數(shù)列,求 \mathbf{\Omega}_{a} 的取值范圍.
18.（14分）已知函數(shù) f(x)=a(x{-}1)-\ln x{+}1 （1）求 f(x) 的單調(diào)區(qū)間;
(2）當(dāng) a<=slant2 時(shí),證明：當(dāng) x{>}1 時(shí) f(x)<e^{x-1} 恒成立.
19.（14分)某工藝品售賣店，為了更好地進(jìn)行工藝品售賣，進(jìn)行了銷售情況的調(diào)查研究.通過對(duì)每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去一個(gè)月（以30天計(jì)）,每件的銷售價(jià)格 \varphi(x) （單位；元)與時(shí)間第 x 天的函數(shù)關(guān)系近似滿足 \varphi\left({\boldsymbol{x}}\right)=10+{(k)/(x)} ， \scriptstyle(k>0) ，日銷售量 g(x) (單位：件）與時(shí)間第 x 天的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：
| x | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| g(x) | 50 | 55 | 60 | 55 | 50 |
已知第10天的日銷售收人為505元.
（1）求 k 的值；
（2）給出以下三個(gè)函數(shù)模型： ①g(x)=a x+b;②g(x)=(a)/(x)-b;③g(x)=a\mid x-m\mid+b. 根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來描述在過去一個(gè)月內(nèi)日銷售量 \varrho({x}) 與時(shí)間第 x 天的變化關(guān)系,并求出該函數(shù)解析式及定義域;（3）設(shè)在過去一個(gè)月內(nèi)該工藝品的日銷售收入為 f(x) （單位：元）,求 f(x) 的最小值.
20.（18分）設(shè)函數(shù) f(x)=x^{2}-2t x+2 ,其中 t\in\mathbf{R}
（1）若 t=1 ，
(i）當(dāng) x\in[0,3] 時(shí)，求 f(x) 的最大值和最小值；
（ii）對(duì)任意的 x\in\left[0,a+2\right] ,都有 f(x)<=slant5 ,求實(shí)數(shù) \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范圍;
（2）若對(duì)任意的 x_{1},x_{2}\in\left[0,4\right] ,都有 \left|f(x_{1})-f(x_{2})\right|<=slant8 ,求實(shí)數(shù) \mathbf{\chi}_{t} 的取值范圍.
21.（18分)若函數(shù) f(x) 滿足：對(duì)任意正數(shù) ^{s,t} ,都有 f(s)+f(t)<f(s+t) ,則稱函數(shù) * f(x) 為“ H 函數(shù)”.
（1）試判斷函數(shù) f_{1}(x)=x^{2} 與 f_{2}(x)=\ln(x+1) 是否為“ H 函數(shù)”,并說明理由；
（2）若函數(shù) y=3^{x}+x-3a 是“ H 函數(shù)”,求實(shí)數(shù) \mathbf{α}_{a} 的取值范圍;
（3）若函數(shù) f(x) 為“ H 函數(shù)” \mathbf{\nabla}I(1)=1 ,對(duì)任意正數(shù) it{s}_{\boldsymbol{*}}t ,都有 f(s){>}0,f(t)>0 ,證明：對(duì)任意 x\in (2^{k},2^{k+1})(k\in\mathbf{N}) ,都有 f(x)-f{\biggl(}{(1)/(x)}{\biggr)}>{(x)/(2)}-{(2)/(x)}.
