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理想樹(shù)

第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式

第1講 集合及其運(yùn)算 1
第2講 常用邏輯用語(yǔ) 5
第3講 不等式及其性質(zhì) 8
第4講基本不等式（課堂延伸：柯西不等式與權(quán)方和不等式）· 10
第5講一元二次不等式· 14

考情動(dòng)態(tài)速遞

核心考向

·集合的交并補(bǔ)運(yùn)算/P3變式4 ·利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷 充分、必要條件/P6例1

創(chuàng)新考法

結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程利用基本不等式求最值/P11變式3

第二章 函數(shù)

第6講 函數(shù)的概念及其表示 18
第7講函數(shù)的單調(diào)性與最值(課堂延伸:對(duì)勾函數(shù)與飄帶函數(shù)) ......21
第8講 函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性與周期性· 25
第9講 冪函數(shù)與二次函數(shù) 29
第10講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 32
第11講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 35
重難點(diǎn)突破 \mathbf{1} 指、對(duì)、冪比較大小問(wèn)題 38
第12講 函數(shù)的圖象 40
第13講 函數(shù)與方程 43
第14講 函數(shù)模型及其應(yīng)用 46

八省考情

不等式含參恒成立問(wèn)題/P31變式4[八?。▍^(qū)）聯(lián)考2025·8]

核心考向

·根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值/P27例3
·構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)性質(zhì)比較大小/P39例5

重難考點(diǎn)

已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍/P45例3

創(chuàng)新考法

以國(guó)民收入支配和國(guó)家經(jīng)濟(jì)發(fā)展為背景建立函數(shù)模型/P48變式2

第三章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第15講導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其幾何意義 49
第16講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 53
第17講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（課堂延伸：三次函數(shù)）·· 57
第18講 函數(shù)中的構(gòu)造問(wèn)題 62
重難點(diǎn)突破2 指對(duì)同構(gòu)問(wèn)題 65
重難點(diǎn)突破3利用導(dǎo)數(shù)研究恒（能）成立問(wèn)題（課堂延伸:洛必達(dá)
法則) 67

核心考向

·曲線過(guò)某點(diǎn)的切線方程/ P51例5
·分類(lèi)討論含參函數(shù)的單調(diào) 性/P55例3

重難考點(diǎn)

利用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)研究參數(shù)取值范圍問(wèn)題/P75例2

重難點(diǎn)突破4 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題 71
重難點(diǎn)突破5 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題 74
拔高點(diǎn)突破 ^1 極值點(diǎn)偏移問(wèn)題 。 77

創(chuàng)新考法

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)解決三角形問(wèn)題/P63變式2

第四章 三角函數(shù)與解三角形

核心考向

·三角函數(shù)弦切互化問(wèn)題/P85例2
·根據(jù)正、余弦定理判斷三角形的形狀/P103例2

重難考點(diǎn)

第19講 任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念 80
第20講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式 84
第21講兩角和與差的正弦、余弦和正切公式· 87
第22講簡(jiǎn)單的三角恒等變換 90
第23講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 93
第24講函數(shù) y=A\sin\left(\omega x+\varphi\right) 的應(yīng)用 97
重難點(diǎn)突破6三角函數(shù)中 \omega 的取值問(wèn)題 100
第 25講正弦定理、余弦定理(課堂延伸:射影定理) 102
第26講解三角形應(yīng)用舉例· 107

·根據(jù)最值（值域）求解 \omega 的取值范圍/P100變式2·利用正、余弦定理解決三角形中的角平分線問(wèn)題/P105例4

創(chuàng)新考法

數(shù)形結(jié)合解決直線與三角函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題/P92例5

第五章 平面向量、復(fù)數(shù)

核心考向

·根據(jù)向量共線求參數(shù)的值/P116變式3
·利用向量數(shù)量積求向量的模/P119例3
第 27講平面向量的概念及線性運(yùn)算 110
第28講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(課堂延伸：等和線定理)114
第 29講平面向量數(shù)量積(課堂延伸:極化恒等式) 117
第 30講平面向量的綜合應(yīng)用(課堂延伸:三角形的四心與奔馳定理)121
第31講復(fù)數(shù)·· 124

重難考點(diǎn)

三角形的垂心與奔馳定理的綜合運(yùn)用/P123變式4

創(chuàng)新考法

向量與動(dòng)點(diǎn)軌跡結(jié)合求最值問(wèn)題/P122變式3

第六章 數(shù)列

八省考情

第32講數(shù)列的概念和性質(zhì) 127
第33講 等差數(shù)列· 130

等比數(shù)列的判定與證明不等式 問(wèn)題/P135變式2[八?。▍^(qū)）聯(lián) 考2025 ** 16]

第34講等比數(shù)列 133
重難點(diǎn)突破 ^{7} 構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng) 137
第35講數(shù)列求和 139
第36講數(shù)列的綜合應(yīng)用 142
拔高點(diǎn)突破 _2 特殊數(shù)列與子數(shù)列問(wèn)題 145
拔高點(diǎn)突破3 數(shù)列的新定義問(wèn)題 147

核心考向

利用等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)求項(xiàng)/P132例3

重難考點(diǎn)

以太極衍生原理為背景考查數(shù)列奇偶項(xiàng)問(wèn)題/P146變式3

創(chuàng)新考法

數(shù)列的新定義與概率的綜合應(yīng)用/P148變式1

第七章 立體幾何與空間向量

第37講基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積(課堂延伸：

祖原理) 149
重難點(diǎn)突破 ^8 內(nèi)切球、外接球、棱切球問(wèn)題 154
第38講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 157
第39講 空間直線、平面的平行 161
第40講 空間直線、平面的垂直 164
第41講 空間向量的概念與應(yīng)用 167
第42講 空間角與空間距離 172
重難點(diǎn)突破 \mathbf{9} 空間中的截面、翻折及探索性問(wèn)題 179
拔高點(diǎn)突破 ^4 空間中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題（含八省聯(lián)考題型創(chuàng)新解讀）·..··182

核心考向

·以蒙古包為例考查幾何體的表面積/P152例2
·利用向量法證明線面平行及線線垂直/P171變式4
·利用幾何法求直線與平面所成角/P175例2
·利用向量法求平面與平面夾角的余弦值/P176變式3

重難考點(diǎn)

·利用翻折前后各量之間的變化關(guān)系判斷空間中的位置關(guān)系/P179例2·根據(jù)空間位置關(guān)系求動(dòng)點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度/P182變式2

第八章 解析幾何

八省考情

第43講 直線方程 185
第 44講兩條直線的位置關(guān)系 188
第45講 圓的方程(課堂延伸:阿波羅尼斯圓) 191
第46講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 193
第 47講橢圓(課堂延伸:蒙日?qǐng)A) 196
第48講雙曲線 201
第 49 講拋物線(課堂延伸:阿基米德三角形) 205

直線與拋物線的位置關(guān)系/P207變式3[八?。▍^(qū)）聯(lián)考2025·9]

核心考向

·直線與圓相交弦的最值問(wèn)題/P195例4
·利用直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程/P209例1

ⅢI

重難點(diǎn)突破 10 曲線的軌跡方程問(wèn)題 209

第50講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 211

重難點(diǎn)突破 \mathbf{11} 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定線問(wèn)題 214

拔高點(diǎn)突破5 圓錐曲線中的求值、證明與探索性問(wèn)題 217

重難考點(diǎn)

拔高點(diǎn)突破 \bullet 圓錐曲線中的最值、范圍問(wèn)題 220

·橢圓中的最值問(wèn)題/P199例5
·圓錐曲線中動(dòng)點(diǎn)在定直線上的問(wèn)題/P216例3

創(chuàng)新考法

以阿基米德三角形為背景考查拋物線的切線方程/P208例5

第九章 計(jì)數(shù)原理

第51講兩個(gè)計(jì)數(shù)原理 222
第52講排列組合 225
第53講二項(xiàng)式定理 228

核心考向

·定序的排列問(wèn)題/P226例2·二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題/P228例1

重難考點(diǎn)

二項(xiàng)式系數(shù)的最值問(wèn)題/P230例5

第十章 概率與統(tǒng)計(jì)

第54講 隨機(jī)事件與概率 231
第55講事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式· 235
第56講離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差····. 238
第57講二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布 242
第58講 隨機(jī)抽樣 247
第59講用樣本估計(jì)總體 251
第60講成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析 256
第61講概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用 262

八省考情

列聯(lián)表、獨(dú)立性檢驗(yàn)/P261變式4[八省（區(qū)）聯(lián)考2025 * 15]

核心考向

·相互獨(dú)立事件發(fā)生的概率/P236例2·根據(jù)頻率分布直方圖求解百分位數(shù)/P254變式3

重難考點(diǎn)

非線性回歸模型的應(yīng)用/ P259例3

拔高點(diǎn)突破 ^{7} 概率、統(tǒng)計(jì)與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用 265

創(chuàng)新考法

以新能源汽車(chē)為背景考查概率與數(shù)列的綜合問(wèn)題/P265變式1

作業(yè)本（P267-P432）答案及詳解（P433-P632）

第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式

第 1 講集合及其運(yùn)算

溫習(xí) 知識(shí)梳理

1.元素與集合

(1)集合中元素的三個(gè)特征：

(2)元素與集合的關(guān)系：
若 \mathbf{\Delta}_{a} 是集合 A 的元素，就說(shuō) \mathbf{\Delta}_{a} 屬于集合 A ，記作：;若 \scriptstyle a 不是集合 A 的元素，就說(shuō) \scriptstyle a 不屬
于集合 A ，記作：

（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法(4)集合的分類(lèi)：按元素的個(gè)數(shù)分為 和

(5)常用數(shù)集的記法：

(6)全集與空集：
不含任何元素的集合叫作空集，記作 ；一個(gè)集合含有所研究問(wèn)題中涉及的所有元素，稱(chēng)這個(gè)集合為全集，記作

2.集合間的基本關(guān)系

3.集合的基本運(yùn)算

基礎(chǔ)自測(cè)

常用結(jié)

(1)集合 \{y\vert y=2x,x\in\mathbf{R}\} 與集合 \{{\bf\Pi}(x,y)|{\bf\Pi}_{y}=2x ， \boldsymbol{x}\in\mathbf{R}\boldsymbol{\} 表示同一集合.

1.判斷下列說(shuō)法是否正確（在括號(hào)內(nèi)打“ \surd ”或*_{x^{\prime\prime}}

(2) \{2,1\}\subseteq\{x\mid x^{2}-3x+2=0\}.

(3)集合/1,2,3,5的真子集的個(gè)數(shù)為15.

1.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
2.若一個(gè)集合含有 n 個(gè)元素，則它的子集有 2^{n} 個(gè),非空子集有 (2^{n}-1) 個(gè)，真子集有 (2^{n}-1) 個(gè)，非空真子集有 (2^{n}-2) 個(gè).\begin{array}{r l}&{\left\vert\begin{array}{l}{3,\left(1\right)A\subseteq\left(A\cup B\right);B\subseteq\left(A\cup B\right);A\cup A=A;A\cupQ=\left\vert}\\ {\vdots}\\ {A,A\cup B=B\cup A;A\cup B=B\Leftrightarrow A\subseteq B.}\end{array}\right.}\\ &{\left\vert\begin{array}{l}{4}\\ {\vdots}\\ {\left(2\right)\left(A\cap B\right)\subseteq A;\left(A\cap B\right)\subseteq B;A\cap A=A;A\capQ=\left\vert}\\ {\vdots}\\ {\left(Q;A\cap B=B\cap A;A\cap B=A\Leftrightarrow A\subseteq B.}\end{array}\right.}\\ &{\left\vert\begin{array}{l}{3}\\ {\vdots}\\ {\left(3\right)\complement_{v}U=Q;\complement_{v}\emptyset=U;\upint_{v}(\complement_{v}A)=A;A\cup\left(\complement_{v}A\right)=U;}\end{array}\right\}}\\ &{\left\vert\begin{array}{l}{\vdots}\\ {A\cap\left(\complement_{v}A\right)=Q.}\end{array}\right.}\end{array}

4.德·摩根定律：\begin{array}{r l}&{\vdots\complement_{\upsilon}(A\cup B)=(\complement_{\upsilon}A)\cap(\complement_{\upsilon}B);}\\ &{\vdots\complement_{\upsilon}(A\cap B)=(\complement_{\upsilon}A)\cup(\complement_{\upsilon}B).}\end{array} (4)設(shè) U=\mathbf{R},A=\left\{x\left|{(x-1)/(x+1)}>0\right.\right\} 則 \stackrel{*}{\operatorname{\mu}}_{U}A=\left\{x\left|(x-1)/(x+1)<=slant\right.\right. 0\left\}=\left\{x|-1<x<=slant1\right\}.\right

2.已知全集 U=\left\{x\in\mathbf{N}|x<=slant7\right\} ， A=\{2,3,6,7\}\ , B=
2,3,4,5}，則 \begin{array}{r}{A\cap(\complement_{v}B)=}\end{array} （ 1

A.6,7} B.1,7} C.1,6} D.1,6,7}

3.[北師版必修一P12A組T5改編]滿足條件|1，2\}\subsetneqq A\subseteq\{1,2,3,4\} 的集合 A 的個(gè)數(shù)是（）

A. 1 B.2
C.3 D.4

4.[北師版必修一P12A組T10改編］已知集合 M= 1} N=\left\{a,a^{2}\right\} ,且 M\cup N{=}N 則實(shí)數(shù) \scriptstyle a=

精講 考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)1 元素與集合間的關(guān)系

例1（1)[四川樂(lè)山2024三模]已知集合 A=\left\{\left({\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{x}},\right.\right. \scriptstyle y)\mid x^{2}+y^{2}<=slant10,x\in\mathbf{N}_{+},y\in\mathbf{N}_{+}\mid ,則集合 A 的元素個(gè)數(shù)為 ( ）

A. 9 B.8
C.6 D.5

（2）[江西新余2024模擬］已知數(shù)集 ^{A,B} 滿足A\cap B=\left\{1,2,3\right\} ， A\cup B=\{1,2,3,4,5\} ，若 4\not\in A ，

<2→

則一定有

A.5\in A B.5A C.4\in{\cal B} D.4B

課堂記錄：

變式1→（1)[江蘇南通2025開(kāi)學(xué)考］若 {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{N} ,集合A=\{0,1,2,3\} ， B=\{x,x^{2},3,4\} ，則 A\cap B 滿足

A. 0\in(A\cap B) \mathbf{B}.1\in(A\cap B) C.2\not\in(A\cap B) \operatorname{D}.3\not\in(A\cap B)

(2)已知集合 A=\left\{\begin{array}{l l}{(x,y)\mid x+y=8,x,y\in\mathbf{N}_{+}\right\} ， B= \{\left(x,y\right)\mid\mid x-y\mid>2,x,y\in\mathbf{R}\} ，則 A\cap B 中元素的個(gè)

數(shù)為

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式（）

A.2 B.3 C.4 D.5

方法點(diǎn)透+

利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.

考點(diǎn)2 集合與集合間的關(guān)系

角度1 集合的關(guān)系

例2［山西大同2025開(kāi)學(xué)考］已知集合 A=\left\{x\mathsf{I}\right. x(2-x)>0\} ， B=\left\{x|{√(x+1)}>=slant1\right\} ，則 ( ）

\mathbf{A}.A\cap B=\emptyset\qquad\quad\mathbf{B}.A\cup B=\mathbf{R} C.BCA D.ACB

課堂記錄：

變式2[廣東佛山2025月考]滿足集合1,2為 M 的子集且 M\subseteq\left\{1,2,3,4,5\right\} 的集合 M 的個(gè)數(shù)是（）

A.6 B.7
C.8 D. 15

角度2 已知集合的關(guān)系求參數(shù)的值（范圍）

例3[全國(guó)新課標(biāo) \mathbb{I}2023*2] 設(shè)集合 A=\left\{0,-a\right\} ， B=\left\{1,a-2,2a-2\right\} ,若 A\subseteq B ，則 a= (

A.2 B.1 2
C. D.-1 3

課堂記錄：

變式3[江蘇常州2024三模］已知集合 A=\left\{x\mathsf{I}\right. -1<=slant x+1<=slant6\} ， B=\left\{x\vert m-1<x<2m+1,m\in\mathbf{R}\right\} ,若A\cup B{=}A ,則實(shí)數(shù) \mid m\mid 的取值范圍為

+方法點(diǎn)透

1.已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)，關(guān)鍵是將兩個(gè)集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系.合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析及對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.確定參數(shù)所滿足的條件時(shí)，一定要把端點(diǎn)值代入進(jìn)行驗(yàn)證，否則易增解或漏解.
2.當(dāng) B 為A的子集時(shí)，若未說(shuō)明 B 非空，則應(yīng)考慮 B 為空集的情況.

考點(diǎn)3 集合的基本運(yùn)算

角度1 集合的基本運(yùn)算

例4[全國(guó)新課標(biāo) ~I~2024*1] 已知集合 A=\left\{x\vert-5<\right. x^{3}<5\} ， B{=}\left\{{-}3,{-}1,0,2,3\right\} ，則 A\cap B= （ ）

A. \left\{-1,0\right\} B.2,3}C. \{-3,-1,0\} D.{-1,0,2}課堂記錄：

變式4［全國(guó)甲(理) 2023*1] 設(shè)全集 {\boldsymbol{U}}=\mathbf{Z} ,集合M=\left\{x\mid x=3k+1,k\in{\bf Z}\right\}\ ,N=\left\{x\mid x=3k+2,k\in{\bf Z}\right\}\ , 則 \complement_{U}(M\cup N)= ( )

A. \{x\vert x=3k,k\in\mathbf{Z}\} B. \{x\vert x=3k-1,k\in{\bf Z}\} C. \{x\vert x=3k{-}2,k\in\mathbf{Z}\} D. Q

領(lǐng)航計(jì)劃 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)角度2 已知集合的運(yùn)算求參數(shù)的值（范圍）

例5［江蘇南京2025開(kāi)學(xué)考]已知集合 A=\left\{x\in\mathbf{Z}\vert\right. \left|x\right|<=slant2\left\} ， B=\{x\mid x<=slant a\} ，若 A\cap B 中只有1個(gè)元素，則實(shí)數(shù) \scriptstyle a 的取值范圍是 ）

A. [-2,-1] B. [-2,-1)C.(-1,0) D. [-1,0]課堂記錄：

變式5已知集合 A=\left\{x\mid(x+1)\ *\ (x{-}a)\in0\right\} ” B= \{x\vert(x+3)(x+2)(x-1)=0\} ，若 A\cap B\neq\emptyset ,則實(shí)數(shù) \scriptstyle a 的取值范圍為

方法點(diǎn)透+

解決集合運(yùn)算問(wèn)題的注意點(diǎn)：

1.看元素構(gòu)成；2.對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)，明確集合中元素的特點(diǎn)；3.注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常見(jiàn)的工具有數(shù)軸和Venn圖等.

考點(diǎn)4 容廳原理的應(yīng)用

例6市場(chǎng)調(diào)查公司為了了解某小區(qū)居民在訂閱報(bào)紙方面的取向，抽樣調(diào)查了500戶居民，調(diào)查的結(jié)果顯示：訂閱晨報(bào)的居民有334戶，訂閱晚報(bào)的居民有297戶，其中兩種報(bào)紙都訂閱的居民有150戶，則兩種報(bào)紙都不訂閱的居民有戶.

課堂記錄：

變式6某班共有學(xué)生47人，寒假參加體育訓(xùn)練，其中參加足球隊(duì)的有25人，參加排球隊(duì)的有22人，參加游泳隊(duì)的有24人，足球、排球都參加的有12人,足球、游泳都參加的有9人,排球、游泳都參加的有8人,則三項(xiàng)都參加的人數(shù)為（）

A.2 B.3
C.4 D.5

+方法點(diǎn)透

利用容斥原理先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來(lái),再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù).

考點(diǎn)5 集合新定義

例7［河北石家莊二中2025月考］若 x\in A ,且 -x\in A,就稱(chēng)A是伙伴關(guān)系集合,集合 M=\left\{-2,-1,0 R1,2,3的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)是 （ ）

A.31 B.7 C.3 D.1課堂記錄：

變式7\（多選)對(duì)任意 {\bf\nabla}A,B\subseteq{\bf R} ,記 A\ @B=\left\{x\vert x\in\right. \left(A\cup B\right),x\notin\left(A\cap B\right)\} ，并稱(chēng) A\ @B 為集合 ^{A,B} 的對(duì)稱(chēng)差.例如：若 A=\left\{1,2,3\right\} ， B=\{2,3,4\} ，則

A\circled{+}B=\{1,4\} .下列命題中,為真命題的是（

A.若 {\bf\nabla}A,B\subseteq{\bf R} 且 A\bigoplus B=B ,則 A=\emptyset B.若 {\bf\nabla}A,B\subseteq{\bf R} 且 A{+}B=\emptyset ,則 A=B C.若 A,B\subseteq\mathbf{R} 且 (A@B)\subseteq A ,則 A\subseteq B D.存在 {\bf\nabla}A,B\subseteq{\bf R} ,使得 A\oplus B\not=\ell_{\scriptscriptstyleR}A\oplus\ell_{\scriptscriptstyleR}B

+方法點(diǎn)透

解決集合新定義問(wèn)題，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，結(jié)合題目所給定義和要求轉(zhuǎn)化為已學(xué)知識(shí).

提示:課后完成《作業(yè)本》第1練

第2 講 常用邏輯用語(yǔ)

溫習(xí) 知識(shí)梳理

1.命題

可以 ,用文字或符號(hào)表述的陳述句叫作命題.

2.充分條件、必要條件與充要條件的概念

3.全稱(chēng)量詞和存在量詞

（1)全稱(chēng)量詞：在命題中，“所有”“任意”這樣的詞叫作全稱(chēng)量詞，用符號(hào)“ _"表示.(2)存在量詞：在命題中，“存在”“有一個(gè)”這樣的詞叫作存在量詞，用符號(hào)“ _”表示.

4.全稱(chēng)量詞命題、存在量詞命題的否定

常用結(jié)論

1.命題 p 與它的否定 \neg p 真假性相反.
2.若 p 是 q 的充分不必要條件，則 q 是 p 的必要 不充分條件；若 p 是 q 的必要不充分條件，則 q 是 p 的充分不必要條件.
3.若 x\in A 是 {\boldsymbol{x}}\in B 的充分條件，則 A\subseteq B ；若 x\in A 是 x\in B 的必要條件，則 A\supseteq B ；若 x\in A 是 \boldsymbol{x}\in\boldsymbol{B} 的充分不必要條件，則 A\subsetneq B ；若 x\in A 是 x\in B 的 必要不充分條件，則 A\supsetneq B ，
4.全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題；存在量 詞命題的否定是全稱(chēng)量詞命題.

基礎(chǔ)自測(cè)

1.判斷下列說(shuō)法是否正確（在括號(hào)內(nèi)打“√”或x^{\prime\prime} )

(1)“至少有一個(gè)三角形的內(nèi)角和是 180° ”是全稱(chēng)量詞命題. （）(2)已知 p:x>0,q:x>1 ，則 p 是 q 的充分不必要條件. ( ）(3)設(shè) a,b,c\in\mathbf{R} ，則 a^{2}+b^{2}+c^{2}=a b+a c+b c 的充要條件是 \scriptstyle a=b=c ， ( ）(4)已知命題 p :存在一個(gè)四邊形，它的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上，則命題 p 是真命題. （）

2.[北師版必修一 P23A 組T3(3)改編]命題“ \exists x\in R,使 x^{2}+x-1\neq0^{,,} 的否定是 （）

A.3 {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{R} .使 x^{2}+x-1=0 B.不存在 {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{R} ，使 x^{2}+x-1\neq0 C. \forall x\notin\mathbf{R} ，使 x^{2}+x-1=0 D. \forall x\in\mathbf{R} ，使 x^{2}+x-1=0

領(lǐng)航計(jì)劃 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)

3.［北師版必修一P23B組T1（1）改編］“方程 x^{2} 一a x+1=0 有實(shí)根”是“ a>=slant2 ”的 （）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

4.已知集合 A=\{1,3,a^{2}\} ， B=\left\{1,a+2\right\} ，若“ x\in A ” 是“ x\in B ”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù) \mathbf{\Omega}_{a} 的值是

精講 考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)1 充分條件與必要條件

角度1充分、必要條件的判斷

例1[東北三省2025聯(lián)考］已知 \left\{a_{n}\right\} 是無(wú)窮數(shù)列，a_{1}=3 ,則“對(duì)任意的 m,n\in\mathbf{N}_{+} ,都有 \boldsymbol{a}_{m+n}=\boldsymbol{a}_{m}+\boldsymbol{a}_{n} 是“ \left\{a_{n}\right\} 是等差數(shù)列”的 （）

A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件

課堂記錄：

變式1[重慶2024月考］已知 p:x^{2}-2x-3<0 ,那么命題 p 的一個(gè)必要不充分條件是 ）

A. -1<x<3
B. \scriptstyle0<x<2
C. -3<x<3
D. -2<x<1

·方法點(diǎn)透

充分條件、必要條件的常用判斷方法

(1)定義法：由 \scriptstyle p\Rightarrow q,q\Rightarrow p 進(jìn)行判斷； (2)集合法：根據(jù) p,q 對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān) 系進(jìn)行判斷.

角度2 根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的值(范圍）

例2[江蘇揚(yáng)州2025開(kāi)學(xué)考］若不等式 \mid x+1\mid<a 成立的充分條件是 \scriptstyle0<x<4 ，則實(shí)數(shù) \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范圍是 ( ）

A.(-∞∞,-1] B. \left(-∞,5\right] C.\left[-1,+∞\right] D,[5,+∞]

課堂記錄：

變式2[福建寧德2025模擬]甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在玩一個(gè)猜數(shù)字游戲，甲、乙、丙共同寫(xiě)出三個(gè)集合： A=\left\{x\mid0<\Delta x<2\right\} ， B=\left\{x\vert-3<=slant x<=slant5\right\} ， C= \left\{x\bigg\vert0<x<(2)/(3)\right\} ,然后他們?nèi)烁饔靡痪湓拋?lái)正確描述“ \varDelta ”表示的數(shù)字，并讓丁同學(xué)猜出該數(shù)字.以下是甲、乙、丙三位同學(xué)的描述：甲：此數(shù)為小于5的正整數(shù)；乙：“ x\in B ”是“ x\in A ”的必要不充分條件；丙：“ x\in C ”是“ x\in A ”的充分不必要條件，則\varDelta "表示的數(shù)字是 （）

A.3或4 B.2或3
C.1或2 D.1或3

方法點(diǎn)透

根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的解題策略

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式（組），最后進(jìn)行求解；(2)要注意對(duì)區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).

考點(diǎn)2 全稱(chēng)量詞與存在量詞

角度1 量詞命題的否定與真假判斷

例3（1)[廣東中山2025模擬]命題“3 x{>}0 ， x^{2}> x^{3} ”的否定是

A. \forall x{>}0,x^{2}{>}x^{3}
B. \forall x>0,x^{2}<=slant x^{3}
C. \forall\boldsymbol{x}<=slant0,\boldsymbol{x}^{2}<=slant\boldsymbol{x}^{3}
D. \exists x>0,x^{2}<=slant x^{3}

(2)[全國(guó)新課標(biāo) \parallel2024*2] 已知命題 p\colon\forall x\in \mathbf{R},\mathsf{I}x+1\mathsf{I}>1 ;命題 q\colon\exists x>0,x^{3}=x. 則 (

A. p 和 q 都是真命題B. \lnot p 和 q 都是真命題C. p 和 |\neg\ q 都是真命題D. \neg{p} 和 \neg q 都是真命題

課堂記錄：

變式3→（1）［山東青島2024三模］已知命題 p \forall x\in\left(0,{(π)/(2)}\right),\sin x<x ，則 \neg{p} 是 C )

A. \mid x\not\in\left(0,{(π)/(2)}\right) ,sin x>xB.3 x\in\left(0,{(π)/(2)}\right) ,sin x>xC. \mid x\not\in\left(0,{(π)/(2)}\right) sinx≥xD.xE x\in\left(0,(π)/(2)\right) sinx≥x(2)（多選）［廣東深圳2024期末]下列命題中為真命題的有

A. \forall x>0,x+{(1)/(x)}>=2
B. \exists x<0,x+{(1)/(x)}>-2 x 1
C. A x> +x 2 2 x 1
D.x<0 2 2 +x

+方法點(diǎn)透

1.對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定，先改變量詞,再否定結(jié)論.
2.要判斷全稱(chēng)量詞命題“ \forall x\in M,p(x) ”是不是真命題,需要對(duì)集合 M 中的每一個(gè)元素 {}_{x,p\left(x\right)} 都成立;要判斷存在量詞命題“ \exists x\in M,p(x) ”是不是真命題，只需要在集合 M 內(nèi)找到一個(gè)元素x ，使得 p(x) 成立即可.

角度2 已知命題的真假求參數(shù)

例4［陜西西安2025摸底考]若命題“3 x\in[-1 ，3]， x^{2}-2x-a<=slant0^{,} 為真命題,則實(shí)數(shù) \mathbf{α}_{a} 可取得的最小整數(shù)值是 （）

A. -1 B.0 C.1 D.3

課堂記錄：

變式4[遼寧部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2024三模]若“ \exists x\in(0,+∞) ，使 x^{2}-a x+4<0^{,} 是假命題，則實(shí)數(shù) \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范圍為

·方法點(diǎn)透

已知命題的真假求參數(shù)的范圍，可以直接由命題的含義,利用函數(shù)的最大(小)值求參數(shù)的取值范圍；利用 p 與 \neg p 的關(guān)系，轉(zhuǎn)化成命題的真假求參數(shù)的取值范圍.

提示:課后完成《作業(yè)本》第2練

第3講 不等式及其性質(zhì)

溫習(xí) 知識(shí)梳理

1.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的基本事實(shí)a-b>0\Longleftrightarrow a\Longleftrightarrow b;a-b=0\Longleftrightarrow a=b;a-b<0\Longleftrightarrow a b ：

2.等式的性質(zhì)

(1)如果 a=b ,那么 ；(2)如果 a=b,b=c ,那么(3)如果 a=b ,那么 \scriptstyle a± c=b± c (4)如果 a=b ,那么 \scriptstyle a c=b c .(5)如果α=b,c≠0,那么= \scriptstyle{(a)/(c)}={(b)/(c)}.

3.不等式的性質(zhì)

性質(zhì)1如果 a{>}b ,且 b{>}c ,那么
性質(zhì)2如果 a{>}b ,那么
性質(zhì)3如果 a{>}b,c{>}0 ,那么 ；如果 a{>}b,c{<}0 ,那么
性質(zhì)4如果 a{>}b,c{>}d ,那么
性質(zhì)5如果 a{>}b{>}0,c{>}d{>}0 ,那么 ；如果 a{>}b{>}0,c{<}d{<}0 那么
性質(zhì)6當(dāng) a{>}b{>}0 時(shí)， {sqrt[n]{a}}>{sqrt[n]} ,其中 n\in\mathbf{N}_{+},n>=slant2

常用結(jié)論

1.倒數(shù)的性質(zhì)

2.分?jǐn)?shù)的性質(zhì) 若 a>b>0,m>0 ，則

基礎(chǔ)自測(cè)

1.判斷下列說(shuō)法是否正確（在括號(hào)內(nèi)打“√”或x^{\prime\prime} )

(1)若> 則 a{>}b ( >(2)若 \scriptstyle a c=b c ,則 a=b ( ）(3)a>b\Leftrightarrow a c^{2}>b c^{2} （ )(4)若 a>b>c ，則 (1)/(a)<(1)/(b)<(1)/(c) ( ）

2.（多選）[北師版必修一P26T6改編］已知 a{>}b{>}0 ，c{>}d{>}0 ,則下列不等式恒成立的有 （）

\scriptstyleA.{\boldsymbol{a}}-d>b-c B.ac>bd C.(a)/(b){>}(c)/(d) D.-(d)/(a){>}-(c)/(b)

3.（多選）已知實(shí)數(shù) x,y 滿足 _{1<x<6,2<y<3} ，則 (

A.3<x+y<9 B. -1<x-y<3 C.2<xy<18 D.{(1)/(3)}<{(x)/(y)}<3

4.[北師版必修一P26T5改編］已知 a\in\mathbf{R} ，則 a^{2}+ 3a-1 2a-2. （填" > ”或“ < "）

精講 考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)1 數(shù)（式）的大小比較

例1若 a<0,b<0 ,則 p{=}(b^{2})/(a){+}(a^{2})/(b) 與 \scriptstyle q=a+b 的大小關(guān)系為 ( ）

A.p<q B.p≤q C. p>q D.p≥q

課堂記錄：

變式1設(shè)α=0.1e2,b 1c=0.2e\~,則下列選項(xiàng)

考點(diǎn)2 不等式的基本性質(zhì)

例2（1)[北京師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2025開(kāi)學(xué)考］若 a<b 且 \boldsymbol{a}\boldsymbol\neq0 ,則下列不等式中一定成立的是 （）

{A.~}{(1)/(a)}{>}{(1)/(b)} \mathbf{B}.{(b)/(a)}{>}1 C. a^{3}<b^{3} D,\ |a|<|b| (2）（多選）設(shè) b>a>0,c\in\mathbf{R} ,則下列不等式中正確的是 (

A. a^{(1)/(2)}<b^{(1)/(2)} \mathbf{B}.{(1)/(a)}-c<{(1)/(b)}-c
a+2 a
D.ac <bc b+2 b

課堂記錄：

正確的是

A. c<b<a B.b<a<c C.b<c<a D.a<c<b

+方法點(diǎn)透

比較大小的常用方法：(1)作差法： ① 作差； ② 變形； ③ 定號(hào)； ④ 得出結(jié)論.(2)作商法（前提是兩式同號(hào)）： ① 作商； ② 變形； ③ 判斷商與1的大??； ④ 得出結(jié)論.

變式2（1)[河南駐馬店2024模擬]已知 \scriptstyle a>b>c> 0,則下列說(shuō)法一定正確的是 （）

A. a{>}b{+}c B. a^{2}<b c
C. a c{>}b^{2} \mathbf{D}.a b+b c>b^{2}+a c

（2）（多選）[湖南長(zhǎng)沙2024模擬]設(shè) \scriptstyle(a,b,c,d 為實(shí)數(shù),且 a{>}b{>}0{>}c{>}d ,則下列不等式正確的有（）

A. c^{2}<c d \mathbf{B}.\ a-c<b-d C.ac<bd D.{(c)/(a)}{-(d)/(b)}{>0}

+方法點(diǎn)透

判斷不等關(guān)系的常用方法

(1)利用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)；
(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤選項(xiàng).

考點(diǎn)3 不等式性質(zhì)的綜合運(yùn)用

例3[江蘇南通2025模擬]設(shè) x,y 為實(shí)數(shù),且滿足3<=slant x y^{2}<=slant8,4<=slant(x^{2})/(y)<=slant9 ，則 \Big\vert(x^{3})/(y^{4)} 的最大值為 ( ）

A. 27 B.24 C.12 D.32

課堂記錄：

變式3［福建寧德2025開(kāi)學(xué)考］已知 -1<x-y<4 ， 2<x+y<3 ，則 3x+y 的取值范圍是

方法點(diǎn)透

利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的范圍的注意點(diǎn)：一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)避免擴(kuò)大變量的范圍.解決的途徑是先確立所求范圍的整體與已知范圍的整體間的數(shù)量關(guān)系，再通過(guò)不等關(guān)系的運(yùn)算求解.

提示:課后完成《作業(yè)本》第3練

第4 講 基本不等式

溫習(xí) 知識(shí)梳理

1.基本不等式： {√(a b)}<=slant{(a+b)/(2)}

(1)基本不等式成立的條件： ；
(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取
等號(hào)；
(3)其中, 稱(chēng)為 \boldsymbol{a},\boldsymbol 的算術(shù)平均值，稱(chēng)為 ^{a,b} 的幾何平均值.

2.利用基本不等式求最大值、最小值已知 x{>}0,y{>}0

(1)如果積 x y 是定值 P ,那么當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)，和 x+y 有最小值 .（簡(jiǎn)記：積定和
最小)
(2)如果和 x{+}y 是定值 s ,那么當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí),積 x y 有最大值 ．（簡(jiǎn)記：和定積
最大)

常用結(jié)論

\stackrel{*}{!}1.a^{2}+b^{2}>=slant2a b\left(a,b\in\mathbf{R}\right) ，當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)等號(hào)成立.
2. {(b)/(a)}+{(a)/(b)}>=slant2(a b>0) ，當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)等號(hào)成立.3. a b<=slant\left({(a+b)/(2)}\right)^{2}<=slant{(a^{2}+b^{2})/(2)}(a,b\in\mathbf{R}) ，當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)等號(hào)成立.
4 {(2)/({/{1){a}}+{(1)/(b)}}}<=slant{√(a b)}<=slant{(a+b)/(2)}<=slant{√((a^{2)+b^{2})/(2)}}(a>0,b>0) ，當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)等號(hào)成立.

基礎(chǔ)自測(cè)

1.判斷下列說(shuō)法是否正確（在括號(hào)內(nèi)打“√”或 “ \mathbf{\nabla}*\mathbf{x}^{\prime\prime} )

(1) (a+b)^{2}>=4a b.

(2)函數(shù) f(x)=x+{(1)/(x)} 的最小值為2.

(3)“ _{x>0} 且 y{>}0^{\prime} 是 (x)/(y)+(y)/(x)>=2^{*} ”的充要條件。 (

(4)函數(shù) f(x)=√(x^{2)+3}+(2)/(√(x^{2)+3)} 的最小值是 2√(2) ，

2.[北師版必修一P31B組T3改編］若 x{>}0 ，函數(shù) y=3x+{(1)/(x)} 的最小值為 ( >

A.√3 B.2
\mathbf{C}.2{√(3)} D.4

3.［北師版必修一P31A組T10改編]設(shè)計(jì)用 96~m^{2} 的材料制造某種長(zhǎng)方體車(chē)廂（無(wú)蓋），按交通法規(guī)定廂寬為 2~m~ ，則車(chē)廂的最大容積是 （）

A.8√(2)~m^{3} B. 32 m2 C.4√(2)~m^{3} \mathbf{D}.64\ \mathbf{m}^{3}

4.設(shè) x<0 ，則函數(shù) y=2-3x-{(4)/(x)} 的最小值為,此時(shí) x 的值為

精講 考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)1 利用基本不等式求最值

角度1 直接法

例1（多選)下列說(shuō)法正確的是

A.當(dāng) x{>}1 時(shí)， x+{(1)/(x)}>=2 B.當(dāng) _{x<0} 時(shí)， x+(1)/(x)<-2 C.當(dāng) 0<x<1 時(shí) √(x)+(1)/(√(x))>2 D.當(dāng) x>=slant2 時(shí) \scriptstyle{√(x)}+{(2)/(√(x))}>=2{√(2)} 課堂記錄：變式1已知 a b=1 ，則 4a^{2}+9b^{2} 的最小值為

·方法點(diǎn)透

若條件和問(wèn)題間存在基本不等式的關(guān)系，則直接應(yīng)用基本不等式求解，注意使用基本不等式的條件.

角度2 配湊法

例2若 x{>}{-}1 ，則 (2x^{2}+4x+4)/(x+1) 的最小值為課堂記錄：

變式2[北京部分校2025質(zhì)檢]已知 style a>1 ，則 \scriptstyle a+ (100)/(a-1) 的最小值為 ,此時(shí) \mathbf{\Delta}_{a} 等于

方法點(diǎn)透

將代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變換，通過(guò)添項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)、湊因子等方法湊成和為定值或積為定值的形式，變換時(shí)要注意代數(shù)式的取值范圍.

角度3 常數(shù)代換法

例3[江蘇宿遷2025調(diào)研]若 a{>}0,b{>}0,a{+}2b{=}3 ，則 {(3)/(a)}+{(6)/(b)} 的最小值為

A.9 B.18
C.24 D.27

課堂記錄：

變式3［河南湘豫名校2024聯(lián)考］已知點(diǎn) P(x,y) 在以原點(diǎn) o 為圓心,半徑為 r=√(7) 的圓上,則 (1)/(x^{2)+1}+ (4)/(y^{2)+1} 的最小值為 ）

4 5+2√2
A. B. 9 9 7
C. D.1 9

方法點(diǎn)透

將與常數(shù)等價(jià)的表達(dá)式代入到不等式中化簡(jiǎn)，再利用基本不等式進(jìn)行求解.

角度4消元法

例4已知正實(shí)數(shù) x,y 滿足 {x^{2}+3x y-2=0} ，則 2x{+}y 的 最小值為 C

A.{(2{√(10)})/(3)} \mathbf{B}.(√(10))/(3)
C.(2)/(3) 1 D. 3

課堂記錄：

變式4若正實(shí)數(shù)\scriptstyle x,y,z滿足x^{2}+4y^{2}=z+3x y,則當(dāng)3xy(1)/(x)+(1)/(2y)-(1)/(z)$ 大時(shí) 的最大值是 C ）Z

領(lǐng)航計(jì)劃 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)

1 3 A. B.1 C. D.2 2 2

方法點(diǎn)透

當(dāng)題目中的變量較多時(shí)，可以考慮消減變量，轉(zhuǎn)化為雙變量或單變量問(wèn)題.

角度5 構(gòu)造不等式法

例5［海南2024模擬]若正數(shù) \scriptstyle a,b 滿足 a b=2a+ (1)/(2)b+3 ,則 a b 的最小值為 （

A.3 B.6 C.9 D.12

考點(diǎn)2 基本不等式的綜合應(yīng)用

課堂記錄：

例6【北京2025開(kāi)學(xué)考］若對(duì)任意正數(shù) x ，不等式(2)/(x^{2)+4}<=slant(2a+1)/(x) 恒成立，則實(shí)數(shù) \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范圍為

課堂記錄：

變式6［福建寧德2025模擬］若兩個(gè)正實(shí)數(shù) x,y 滿足 4x+y=2x y ,且不等式 x+(y)/(4)<m^{2}-m 有解,則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 ( ）

A. \{m\}-1<m<2\} B. \{m\vert m<-1 或 m{>}2\nmid C. \{m\}-2<m<1\} D. \{m\vert m<-2 或 m{>}1\nmid

·方法點(diǎn)透?

利用基本不等式求解不等式恒（能）成立問(wèn)題，通常先分離參數(shù)，求解方法為(1)若 \scriptstyle{a>= f(x)} 恒成立,則 a>=slant f(x)_{max} ，若 a>=slant f(x) 能成立，則 a>=slant\dagger f(x)_{{min}} ;(2)若 \scriptstyle a<=slant f(x) 恒成立，則 a<=slant f(x)_{{min}} ，若a<=slant f(x) 能成立,則 a<=slant f(x)_{{max}}

角度2利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題

例7【陜西西安2024模擬]某農(nóng)業(yè)園租用甲公司的 A 種收割機(jī)和乙公司的 B 種收割機(jī)收割某種

角度1與基本不等式有關(guān)的恒(能)成立問(wèn)題

變式5［福建莆田2025開(kāi)學(xué)考］若實(shí)數(shù) x,y 滿足4x^{2}+y^{2}+x y=1 ,則 2x{+}y 的最大值為

+方法點(diǎn)透

尋找條件與變量之間的關(guān)系，通過(guò)重新分配，使用基本不等式，得到含有問(wèn)題代數(shù)式的不等式，通過(guò)解不等式得出范圍，從而求出最值，

農(nóng)作物.已知用9臺(tái) A 種收割機(jī)和4臺(tái) B 種收割機(jī)合作恰好用1天時(shí)間收割完一塊 M 畝的這種作物.現(xiàn)在用1臺(tái) A 種收割機(jī)收割一塊 M 畝的這種作物，用1臺(tái) B 種收割機(jī)收割另外一塊 M 畝的這種作物，如果兩塊地收割完畢后它們所用的天數(shù)之和最少，則用1臺(tái) A 種收割機(jī)收割完 M 畝這種作物所需的天數(shù)為 ，用1臺(tái) B 種收割機(jī)收割完 M 畝這種作物所需的天數(shù)為

課堂記錄：

變式7√[廣東韶關(guān)2024聯(lián)考］在工程中估算平整一塊矩形場(chǎng)地的工程量 \boldsymbol{\W} （單位：平方米）的計(jì)算公式是 \scriptstyle{W=} （長(zhǎng) ^{+4} > x （寬 +4 ).在不測(cè)量長(zhǎng)和寬的情況下，若只知道這塊矩形場(chǎng)地的面積是10000平方米,每平方米收費(fèi)1元,請(qǐng)估算平整這塊場(chǎng)地所需的最少費(fèi)用(單位：元)是 （）

A.10 000 B.10 480
C.10 816 D.10 818

方法點(diǎn)透

利用基本不等式求解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，設(shè)出變量，注意變量應(yīng)滿足實(shí)際意義，抽象出目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

1.柯西不等式

(1)二維形式的柯西不等式若 \scriptstyle a,b,c,d 都是實(shí)數(shù),則 \begin{array}{r}{\left(\ a^{2}+b^{2}\right)\left(\ c^{2}+d^{2}\right)>=slant}\end{array} (a c+b d)^{2} ,當(dāng)且僅當(dāng) a d=b c 時(shí)，等號(hào)成立.

(2)三維形式的柯西不等式
若 a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3} 都是實(shí)數(shù),則( \scriptstyle(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}) ·
\begin{array}{r}{(\ensuremath{b_{1}^{2}}+\ensuremath{b_{2}^{2}}+\ensuremath{b_{3}^{2}})>=slant(\ensuremath{a_{1}}\ensuremath{b_{1}}+\ensuremath{a_{2}}\ensuremath{b_{2}}+\ensuremath{a_{3}}\ensuremath{b_{3}})^{2}}\end{array} ,當(dāng)且僅當(dāng) (a_{1})/(b_{1)}=
=時(shí)，等號(hào)成立.(3)n 維形式的柯西不等式
對(duì)于任意的 2n(n\in\mathbf{N}_{+} )個(gè)實(shí)數(shù) a_{1},a_{2},*s,a_{n},b_{1} ，b_{2},*s,b_{n} ,有 {\bigl(}a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+*s+a_{n}^{2} 0 (b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+*s+b_{n}^{2})>= (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+*s+a_{n}b_{n})^{2} ，當(dāng)且僅當(dāng) {(a_{1})/(b_{1)}}={(a_{2})/(b_{2)}}=*s={(a_{n})/(b_{n)}} 時(shí)，等號(hào)成立.

2.權(quán)方和不等式

(1)二維形式的權(quán)方和不等式
若 a_{1},a_{2},b_{1},b_{2} 為正實(shí)數(shù)，則有 (a_{1})/(b_{1)}+(a_{2})/(b_{2)}>=slant ((√(a_{1)}+√(a_{2)})^{2})/(b_{1)+b_{2}} ,當(dāng)且僅當(dāng) {(√(a_{1)})/(b_{1)}}={(√(a_{2)})/(b_{2)}} 時(shí),等號(hào)成立.
(2)n 維形式的權(quán)方和不等式
若 a_{i},b_{i} 為正實(shí)數(shù) (i=1,2,*s,n) ,實(shí)數(shù) q{>}0 ，則

\sum_{i=1}^{n}(a_{i}^{q+1})/(b_{i)^{q}}>=slant(\big(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\big)^{q+1})/(\big(\sum_{i=1)^{n}b_{i}\big)^{q}} 口 業(yè) {(a_{1})/(b_{1)}}={(a_{2})/(b_{2)}}=*s={(a_{n})/(b_{n)}} 時(shí)，等號(hào)成立.

例8柯西不等式是數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的一個(gè)重要不等式，而柯西不等式的二維形式是同學(xué)們可以利用向量工具得到的：已知向量 ±b{a}=\left(x_{1},y_{1}\right),b=\left(x_{2},±b{\Omega}\right. y_{2} ，由 |a* b|<=slant|a||b 得到 \left(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\right)^{2}<=slant\left(x_{1}^{2}+\right. y_{1}^{2})\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right) ，當(dāng)且僅當(dāng) x_{1}y_{2}=x_{2}y_{1} 時(shí)取等號(hào).現(xiàn)已知 a>=slant0,b>=slant0,a+b=9 ，則 √(2a+4)+√(b+1) 的最大值為

變式8［廣東深圳2025調(diào)研]權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化,在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用,其表述如下：設(shè)正實(shí)數(shù) ^{a,b,x,y} 滿點(diǎn)足 (a^{2})/(x)+(b^{2})/(y)>=((a+b)^{2})/(x+y) 當(dāng)且僅當(dāng) {(a)/(x)}={(b)/(y)} 時(shí),等號(hào)成立,則函數(shù) f(x)=(1)/(3x)+(16)/(1-3x)\bigg(0<x<(1)/(3)\bigg) 的最小值為( ）

A.16 B.25
C.36 D. 49

提示:課后完成《作業(yè)本》第4練

第5講一元二次不等式

溫習(xí) 知識(shí)梳理

1.一元二次不等式

一般地,形如 a x^{2}+b x+c>0 ，或 _,或ax2+b x+c>=slant0 ，或 a x^{2}+b x+c<=0 （其中， \mathbf{\Psi}_{,x} 為未知數(shù)， ^{a,b} ，\boldsymbol{\mathbf{\mathit{c}}} 均為常數(shù),且 a\neq0 )的不等式叫作一元二次不等式.使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫作這個(gè)一元二次不等式的解集.

2.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系

3.簡(jiǎn)單分式不等式的解法

(1)(f(x))/(g(x)){>}0(<0){\Longleftrightarrow}\qquad\quad (2)(f(x))/(g(x)){>=slant}0(<=slant0){\Leftrightarrow}\_

<14

常用結(jié)論

1.不等式 a x^{2}+b x+c>0(a\neq0), {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{R} 恒成立 \Leftrightarrow a>
0且 \scriptstyle\Delta<0
2.不等式 a x^{2}+b x+c<0(a\neq0)\ ,x \boldsymbol{x}\in\mathbf{R} 恒成立 \Leftrightarrow a<
0且 \scriptstyle\Delta<0
3.二次項(xiàng)系數(shù)為正的一元二次不等式的解集為
“大于取兩邊，小于取中間”

基礎(chǔ)自測(cè)

1.判斷下列說(shuō)法是否正確（在括號(hào)內(nèi)打“ \surd ”或x^{\prime\prime} )

(1)不等式 x^{2}<=slant a 的解集為 [-√(a),√(a)] .（(2)若不等式 a x^{2}+b x+c>0(a\neq0) 的解集為( \mid m\mid ，n ，則 a<0 ， （）(3)若關(guān)于 x 的一元二次方程 a x^{2}+b x+c=0 沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則不等式 a x^{2}+b x+c>0 的解集為 \mathbf{R} （

(4)不等式 (2x-1)/(x+2)<1 的解集為 (-∞,3) ：

2.[北師版必修一P41A組T3改編]已知集合 A= \left\{x\vert x^{2}-4<0\right\} ，集合 B=\{x\mid x^{2}-4x+3<0\} ，則 \complement_{\mathbf{R}}\left(A\cup B\right) ( >

A. \{x|{-}2{<}x{<}1\} B. \{x\vert-2<x<3\} C. \{x\vert x<=slant-2 或 \scriptstyle x>=3\nmid D. \{x|x<=slant1 或 \scriptstyle x>=3\}

3.［北師版必修一P41B 組T1改編]若不等式 a x^{2}+ b x+c>0 的解集是 \left\{x\bigg\vert-(1)/(2)<x<2\right\} ,則 c x^{2}+b x+a<0 的解集是 ( ）

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式

4.某商店售賣(mài)的一種紀(jì)念章，每枚的最低售價(jià)為15元，若每枚按最低售價(jià)銷(xiāo)售，每天能賣(mài)出45枚，每枚售價(jià)每提高1元，日銷(xiāo)售量將減少3枚.為了使這批紀(jì)念章每天獲得600元以上的銷(xiāo)售收入，這批紀(jì)念章的銷(xiāo)售單價(jià) x （單位：元）的取值范圍是

精講 考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)1 求解一元二次不等式

角度1不含參的不等式

例1解下列不等式：(\ 1)x^{2}+3>3(\ x+1). (2)-x2+2x-3>0.

角度2 含參的不等式

例2解關(guān)于 x 的不等式 a x^{2}-4>=slant2x-2a x\left(a\in\mathbf{R}\right) ，

課堂記錄：

變式1［[河北辛集2024月考]不等式 *(3x-2)/(2x+3)<0 的解集是 ( ）

{A.~}\left\{x\ \bigg|-(2)/(3)<x<(3)/(2)\right\}\qquad{B.~}\left\{x\ \bigg|-(3)/(2)<x<(2)/(3)\right\} [<-或} [#或

·方法點(diǎn)透

解一元二次不等式的一般步驟：（1)將不等式化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的標(biāo)準(zhǔn)形式；(2)計(jì)算相應(yīng)方程根的判別式，有根時(shí)求出方程的根；（3)結(jié)合圖象寫(xiě)出不等式的解集.

課堂記錄：

變式2[甘肅天水2025月考]若關(guān)于 x 的不等式x^{2}-(2a+1)x+2a<0 恰有兩個(gè)正整數(shù)解,則 \scriptstyle a 的取值范圍是

+方法點(diǎn)透

解含參的不等式，常需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論：

(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)大于0、小于0及等于0進(jìn)行分類(lèi)；（2）根據(jù)判別式與0的關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)；(3）若有兩個(gè)根時(shí)，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行分類(lèi)討論.

考點(diǎn)2 三個(gè)二次之間的關(guān)系

例3（1)（多選）[福建2025月考]已知關(guān)于 x 的不等式 a\left(x-1\right)\left(x+3\right)-2>0 的解集是 \displaystyle\left(x_{1},x_{2}\right) ,其中x_{1}<x_{2} ,則下列結(jié)論中正確的是 ）

A. x_{1}+x_{2}+2=0
B. -3<x_{1}<x_{2}<1
C. \vert x_{1}-x_{2}\vert>4
D. x_{1}x_{2}+3<0

（2）[北京2025開(kāi)學(xué)考］已知關(guān)于 x 的不等式a\left(x-1\right)\left(x-2\right)>2x^{2}-8x+8 的解集為 (-∞,-1)\cup (2,+∞) ，則 \scriptstyle a 的值為

課堂記錄：

變式3[廣東梅州2024質(zhì)檢］已知關(guān)于 x 的不等式 a x^{2}+b x-12>=0 的解集為 \{x\vert x<=slant-3 或 \scriptstyle x>=4! ：(1)求 ^{a,b} 的值；

考點(diǎn)3 一元二次不等式恒成立問(wèn)題

角度1 在R上恒成立

例4若不等式 k x^{2}+\left(k-6\right)x+2>0 的解集為全體實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 ）

A. [2,18] B.(-18,-2) C. (2,18) D.(0,2)

課堂記錄：

變式4[廣西南寧2025月考］若命題“ \forall x\in\mathbf{R},x^{2}+ 2x+3>m ”是假命題，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是( ）

A. (-∞,2)
B. [2,+∞)

(2)求關(guān)于 x 的不等式 b x^{2}+a x+6>=slant0 的解集，

+方法點(diǎn)透

1.一元二次方程的根就是相應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn)，也是相應(yīng)一元二次不等式解集的端點(diǎn).2.給出一元二次不等式的解集，可以確定相應(yīng)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向以及與 x 軸的交點(diǎn)，可以代入根或利用根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù).

C.(-∞,2] D. (2,+∞)

方法點(diǎn)透

一元二次不等式 a x^{2}+b x+c>0 在 bf{R} 上恒成立 \Leftrightarrow a> 0且 \scriptstyle\Delta<0 ；一元二次不等式 a x^{2}+b x+c<=slant0 在 bf{R} 上恒成立 \Longleftrightarrow a<0 且 \scriptstyleλ<=slant0

角度2 在給定區(qū)間上恒成立

例5［廣東肇慶2025開(kāi)學(xué)考］已知對(duì)任意 x\in[1 ，2],不等式 a x^{2}-2x+3a<0 恒成立,則實(shí)數(shù) \scriptstyle a 的取值范圍是 （）

課堂記錄：

變式5［山西呂梁2024月考］已知關(guān)于 x 的不等式 x^{2}-(a+4)x+2a+5>=0 在 (-∞,2) 上恒成立,則\mathbf{α}_{a} 的最小值為

方法點(diǎn)透

對(duì)于一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值.

角度3 給定參數(shù)范圍的恒成立

例6若命題“ \left.\begin{array}{c}{{\left.\begin{array}{r l}{{1}}&{{3}}\end{array}\right],a x^{2}-\left(\ 2a-1\right)x+3-a<}}\end{array}\right. 0”為假命題,則實(shí)數(shù) x 的取值范圍為 ( ）

A. [-1,4] \mathbf{B}.\left[0,{(5)/(3)}\right]

考點(diǎn)4 一元二次方程根的分布問(wèn)題

例7已知方程 x^{2}+(2m-1)x+4-2m=0 的兩根一個(gè)比2大,另一個(gè)比2小,則實(shí)數(shù) \mathbf{\nabla}_{m} 的取值范圍是課堂記錄：

變式7若函數(shù) f(x)=2a x^{2}+3x-1 在區(qū)間(-1,1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù) \scriptstyle a 的取值范圍為（ ）

A. \{a\vert-1<a<2\} B.\left\{a\ \bigg\vert\ a=-(9)/(8)(\overrightarrow{mu})/(\overrightarrow{mu)}-1<a<2\right\} 第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式℃.[-1,0][,4]D.[-1,0) 0(≥,4]

課堂記錄：

變式6對(duì)于 0<=slant m<=slant4 中的任意 \mathbf{\nabla}_{m} ，不等式 x^{2}+m x> 4x+m-3 恒成立,則 x 的取值范圍是 (

A. [-1,3]
B. \left(-∞,-1\right]
C.\left[3,+∞\right)
D.\left(\begin{array}{l}{-∞\ ,-1}\right)\cup\left(3,+∞\ \right)

+方法點(diǎn)透

給定參數(shù)范圍的恒成立問(wèn)題，可以把參數(shù)看成新的自變量，再根據(jù)題目條件解不等式.或者利用分離參數(shù)法來(lái)求解不等式.

C. \{a\vert-1<=slant a<=slant2\} 9 8

方法點(diǎn)透

在求解方程根的分布問(wèn)題時(shí)，主要從以下幾個(gè)方面建立關(guān)于系數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解： ①\Delta 的符號(hào)； ② 方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系； ③ 方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào).

提示：課后完成《作業(yè)本》第5練