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DIGITALEMPOWERMENT 幾何數(shù)的探究
目錄 CONTENTS
是否有三角形數(shù)呢？
長方形數(shù)·
圓形數(shù)·
關于三角形數(shù)的相關資料的搜索與整理·
長方形和數(shù)與形中的關系·
三角形數(shù)··
“數(shù)形結合”的探究· 10三角形數(shù)的探討 11探究三角形數(shù)· 12正方形數(shù)· 13數(shù)學廣角一數(shù)與形 14數(shù)與形一三角形· 15“三角形數(shù)”的規(guī)律 16三角形數(shù)· 18世界上有三角形數(shù)嗎？ 19數(shù)與形：有關三角形數(shù)的探究 ·21圓形數(shù)·· ·22圓形數(shù)··· ·23
是否有三角形數(shù)呢？
六（1）班126
我們在付老師的課堂中，學習了正方形數(shù)。但在下課后，刁老師向我們提出了一個問題，既然有正方形數(shù)，那會不會還有其他的數(shù)呢？比如梯形，三角形，長方形數(shù)。那今天我就來探索，看看有沒有三角形數(shù)呢？
第1步：猜想
我的猜想是：既然有正方形數(shù)，那就一定會有三角形數(shù)，因為正方形和三角形都是一個平面圖形，怎么可能沒有規(guī)律呢？
第2步：探索
我用點來做畫，先畫出一個點，再增加兩個點，變成一個三角形。再在他的兩邊增加三個。變成一個大一點的三角形。我再繼續(xù)增加，但這次要增加4個。
通過仔細觀察：第1個數(shù) :1=1
第2個數(shù) :3{=}1+2
第3個數(shù) :6=1+2+3
第4個數(shù) :10=1+2+3+4
由此我們可以得出：
第n個數(shù) =1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+
n
第3步：得出結論
仔細觀察，我們可以得出上面的三角形的個數(shù)等于從1開始加到第幾個？例如第5個要從1開始加到5。
所以我們得到了一個發(fā)現(xiàn)：
每一個三角形數(shù)，都是從1加到N個自然數(shù)的和。我們寫出公式就是：N乘以( \mathsf{N}{+}1 ）除以2的商是N三角數(shù)
三角形數(shù)的規(guī)律
三角形數(shù)的規(guī)律：第n個數(shù)等于n（ n+ 1））/2在這個科技迅速發(fā)展的時代，我們可以通過各種各樣的資料來幫助自己，研究一些我們自己想要研究的一些知識。今天我們通過了三個步驟：猜想，探索，得出結論。來幫助自己發(fā)現(xiàn)了三角形數(shù)和得出了三角形數(shù)的規(guī)律。我的這篇論文到此結束，謝謝大家的觀看。
數(shù) 學 小 故 事
動物中的數(shù)學“天才”
蜜蜂蜂房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱錐形的底，由三個相同的菱形組成。組成底盤的菱形的鈍角為109度28分，所有的銳角為70度32分，這樣既堅固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，誤差極小。
丹頂鶴總是成群結隊遷飛，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精確地計算還表明“人”字形夾角的一半——即每邊與鶴群前進方向的夾角為54度44分8秒！而金剛石結晶體的角度正好也是54度44分8秒！是巧合還是某種大自然的“默契”？
蜘蛛結的“八卦”形網(wǎng)，是既復雜又美麗的八角形幾何圖案，人們即使用直尺的圓規(guī)也很難畫出像蜘蛛網(wǎng)那樣勻稱的圖案。
冬天，貓睡覺時總是把身體抱成一個球形，這其間也有數(shù)學，因為球形使身體的表面積最小，從而散發(fā)的熱量也最少。
真正的數(shù)學“天才”是珊瑚蟲。珊瑚蟲在自己的身上記下“日歷”，它們每年在自己的體壁上“刻畫”出365條斑紋，顯然是一天“畫”一條。奇怪的是，古生物學家發(fā)現(xiàn)3億5千萬年前的珊瑚蟲每年“畫”出400幅“水彩畫”。天文學家告訴我們，當時地球一天僅21.9小時，一年不是365天，而是400天。
長方形數(shù)
六（1）班白可馨
觀察一下，下面的圖和算式都有什么關系，把算式補充完整吧！
數(shù)的平方。（其實就是這個意思：從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加，那么他們的和就是奇數(shù)個數(shù)的平方)這種數(shù)就叫——長方形數(shù)
例如
1+3+5+7=（4)1+3+5+7+9+11+13=（7)2
1= （）平方？1+3= （）平方？1+3+5= （）平方？首先，我們可以直接來數(shù)一數(shù)每個圖中到底有多少個長方形?、?第一個有一個長方形，那么就是1的平方② 第二個有四個長方形，那么就是2的平方③ 第三個有九個長方形，那么就是3的平方
如果我們不用數(shù)的方法，那么我們可以怎樣知道每個圖中有多少個長方形呢?
現(xiàn)在我們先來觀察一下吧：
第一個算式從1開始有4個連續(xù)的奇數(shù)相加，那么他們的和就是4的平方。
第二個算式從1開始有7個連續(xù)的奇數(shù)相加，那么它們的和就是7的平方。
那么，如果是下面這樣的算式，我們該怎樣去寫呢？
我們可以把它分為兩個部分：第一個部分是 1+3+5+7 ，有四個連續(xù)的奇數(shù)；第二個部分是 1++35 ，有三個連續(xù)的奇數(shù)。那么這個算式就等于4的平方加3的平方。
如果我們把第一個小長方形給去掉，像下面這樣，這個是不是也是長方形數(shù)呢？
哦！我發(fā)現(xiàn)：算式左邊的加數(shù)是每個長方形圖左下角的小長方形和其他“一”形圖中所包含的小長方形的個數(shù)，它們的和正好等于每個長方形圖中每列小長方形個
所謂長方形數(shù)，就是一個長方形啊，可是呢，這里去掉了一個小長方形，下面就空了一塊，它就不是一個長方形了，所以這個它就不是一個長方形數(shù)了！
謝謝大家的觀看！
圓形數(shù)
六（1）班曾柔巽
圓形數(shù)，一種神秘而又美麗的數(shù)學現(xiàn)象，自古以來便引起了無數(shù)數(shù)學家的癡迷。它們?nèi)缤箍罩虚W爍的繁星，璀璨奪目。圓形數(shù)有哪些神奇的奧秘呢？下面就讓我們一起探索圓形數(shù)的奧秘吧！
在遙遠的古代，人們就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了圓形數(shù)的存在。據(jù)史書記載，古希臘哲學家畢達哥拉斯曾研究過圓形數(shù)的問題，并將其視為神圣的數(shù)字。然而，直到16世紀，意大利數(shù)學家卡爾達諾才首次明確地提出了圓形數(shù)的概念。他認為，所有滿足以下條件的正整數(shù)都是圓形數(shù)：
一個數(shù)可以表示為兩個正整數(shù)之比的平方。例如，6、28和49都可以表示為圓形數(shù)，因為它們分別是3:5、6:8和7:9的平方。
隨著科學技術的發(fā)展，人們對圓形數(shù)的研究也日益深入。在18世紀，法國數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了一種特殊的圓形數(shù)——素數(shù)的平方是圓形數(shù)。例如，2、3、5、7等素數(shù)的平方都是圓形數(shù)。這一發(fā)現(xiàn)使得圓形數(shù)的研究進入了一個新的階段。
在現(xiàn)代生活中，圓形數(shù)被廣泛應用于各個領域。它們不僅是一種美麗的數(shù)學現(xiàn)象，還具有一定的實際意義。例如，在密碼學中，圓形數(shù)被用來生成難以破解的密鑰；在物理學中，圓形數(shù)則可以用來描述光的傳播規(guī)律。此外，圓形數(shù)還激發(fā)了許多數(shù)學家進行更深入的研究，如代數(shù)幾何、拓撲學等領域都與圓形數(shù)有著密切的關系。
然而，盡管圓形數(shù)的研究已經(jīng)取得了豐碩的成果，但我們?nèi)匀粚ζ渲跎佟＿@是因為
圓形數(shù)的數(shù)量龐大且分布廣泛，要完全掌握它們的性質(zhì)和規(guī)律是一項極為艱巨的任務?；蛟S
只有在不斷探索的過程中，我們才能逐漸揭開圓形數(shù)的神秘面紗。
在這個充滿無限可能的世界里，圓形數(shù)以其獨特的魅力吸引著無數(shù)人的目光。它們?nèi)缤活w顆璀璨的明珠，閃耀在數(shù)學的殿堂之中。作為學生的我們，定會沿著圓形數(shù)這個奧秘研究下去。
數(shù) 學 小 故 事
喝湯
從前，有個土財主從來沒出過門。一天，他帶了一些錢和一些吃的東西上了街，逛了半天，感覺非常餓，于是就吃了一些東西，可又感覺特別渴，便走進了一家湯店。他找了一個位置坐下，然后大聲叫道：“小二，來碗雞湯?！毙《犃撕芸炀投松狭艘煌胂銍妵?、熱呼呼的雞湯，并且對土財主說：“每碗十二文。”土財主沖著小二無所謂地說：“我有的是錢！”隨即摸了摸自己的口袋，這時土財主呆住了，袋子底下競然有個洞！他急忙把口袋翻了過來，還好有十文錢，可這賬怎么算呢？他靈機一動，又大口大口地喝起湯來，直到快喝完了，小二走過來說：“請您付錢。”土財主甩出了十文錢。小二一看急了，說：“我剛剛不是說了一碗湯十二文，你怎么給我十文呢？土財主又沖著他說：“我的湯都喝了嗎？沒有！我只喝了十二分之十，一碗湯十二文，所以我給你十文呀！”說著，土財主拍著屁股走出了湯店，小二還傻乎乎地站在那兒想呢。
關于三角形數(shù)的相關資料的搜索與整理
六（1）班曾梓凌
今天，我們的數(shù)學老師刁老師教了我們圖與形中的正方形數(shù)。在即將下課時，刁老師讓我們在課余時上網(wǎng)搜索與正方形數(shù)有關的其他圖形數(shù)，我選擇的也就是今天我寫的題目—三角形數(shù)。
1、開始搜索
2、在網(wǎng)上搜索到的資料
我先使用電腦在瀏覽器中搜索正方形數(shù)相關資料。在查閱資料時我了解到除了正方形數(shù)外，還有三角形數(shù)和五邊形數(shù)及k邊形數(shù)，這些數(shù)看起普通實則神奇無比。不過要想在這龐大的網(wǎng)絡中找到完整的信息屬實不易，但在我長達一個多小時的查找下也是找到了我認為比較全面的資料：
三角形數(shù)是一定數(shù)目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，被稱為三角形數(shù)。其實啊，早在古希臘時期就有以畢達哥拉斯為首的學派對三角形數(shù)進行了研究.畢達哥拉斯為首的學派的數(shù)學家們在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù)，他們對三角形數(shù)進行了系統(tǒng)的研究。他們發(fā)現(xiàn)三角形數(shù)具有某些規(guī)律，例如將三角形數(shù)1、3、6、10等進行觀察，可以發(fā)現(xiàn)它們之間存在一定的遞推關系。
根據(jù)這些規(guī)律，我們可以列舉出更多的三角形數(shù)，如15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120等。進一步研究可發(fā)現(xiàn)，每五個三角形數(shù)中，有兩個數(shù)可以被5整除。這樣的規(guī)律在數(shù)列a中依次出現(xiàn)，如1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120等。
和其他數(shù)的關系
四面體數(shù)是三角形數(shù)在立體的推廣。
兩個相繼的三角形數(shù)之和是平方數(shù)。
三角平方數(shù)是同時為三角形數(shù)和平方數(shù)的數(shù)。
三角形數(shù)屬於一種多邊形數(shù)。
所有偶完美數(shù)都是三角形數(shù)。
任何自然數(shù)是最多三個三角形數(shù)的和。
3、相關數(shù)學家介紹
古希臘數(shù)學家、哲學家。畢達哥拉斯出生在愛琴海中薩摩斯島（今希臘東部小島）的貴族家庭，自幼聰明好學，曾在名師門下學習幾何學、自然科學和哲學。
因為向往東方的智慧，曾越過萬水千山，游歷了當時世界上兩個文化水準極高的文明古國一一巴比倫和埃及（有爭議），吸收了美索不達米亞文明文化。后來他就到意大利的南部傳授數(shù)學及宣傳他的哲學思想，并和他的信徒們組成了一個所謂“畢達哥拉斯學派”的政體。
畢達哥拉斯是比同時代中一些開壇授課的學者進步一點；因為他容許婦女（當然是貴族婦女而非奴隸女婢）來聽課。他認為婦女也是和男人一樣有求知的權利，因此他的學派中就有十多名女學者。這是其他學派所沒有的現(xiàn)象。
數(shù)學家的故事——商高
商高，周朝數(shù)學家。數(shù)學成就據(jù)《周算經(jīng)》記載，主要有三方面：勾股定理、測量術和分數(shù)運算。
《周牌算經(jīng)》中記載了這樣一件事—一次周公問商高：“古時作天文測量和訂立歷法，天沒有臺階可以攀登上去，地又不能用尺寸去測量，請問數(shù)是怎樣得來的？”商高回答說：“數(shù)是根據(jù)圓和方的道理得來的，圓從方來，方又從矩來。矩是根據(jù)乘、除計算出來的。”
這里的“矩”原是指包含直角的作圖工具。這說明了“勾股測量術”，即可用 3:4:5 的辦法來構成直角三角形?！吨芩憬?jīng)》并有“勾股各自乘，并而開方除之”的記載，說明當時已普遍使用了勾股定理。勾股定理是中國數(shù)學家的獨立發(fā)明，在中國早有記載?！吨芩憬?jīng)》還記載了矩的用途：“周公日：大哉言數(shù)！請問用矩之道。商高日：平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環(huán)矩以為圓，合矩以為方。”
據(jù)此可知，當時善于用矩的商高已知道用相似關系的測量術?！碍h(huán)矩為圓”，即直徑上的圓周角是直角的幾何定理，這比西方的發(fā)現(xiàn)要早好幾百年。
數(shù)學腦筋急轉彎
買汽水
每瓶汽水賣1.00CNY，每2個空瓶即可以直接兌換1瓶汽水，問給你20.00CNY買汽水喝，最多能喝到幾瓶？
1、買20瓶，喝20瓶，空10個瓶(20)2、20個空瓶換10瓶，喝10瓶，空10個瓶(10)3、10個空瓶換5瓶,喝5瓶,空5個瓶(5)4、5個空瓶換2瓶,喝2瓶,空3個瓶(2)5、3個空瓶換1瓶,喝1瓶,空2個瓶(1)6、2個空瓶換1瓶,和1瓶,空1個瓶(1)7、借1個空瓶，共2個空瓶，換1瓶喝掉，空瓶換人家(1)合計： 20+10+5+2+1+1+1=40\Ddot{\#} L
長方形和數(shù)與形中的關系
遵義市幸福小學陳歐圻
、提出問題
當我們學習了數(shù)學廣角一—數(shù)與形后，我馬上就聯(lián)想到我們以前學習的“長方形”。既然數(shù)與形能與正方形產(chǎn)生規(guī)律，那么長方形是不是也可以像正方形一樣產(chǎn)生一定的關系和規(guī)律。為了證實我的猜想是正確的，我便結合在學校的知識來研究長方形在數(shù)與形中的關系。
二、開始研究
我們在學習中知道了正方形在數(shù)與形的規(guī)律：
1.加數(shù)都是由奇數(shù)組成的。2.加數(shù)都是從1開始連續(xù)相加的。3.第n個算式有n個數(shù)相加，和式n個平方。
那么現(xiàn)在我們就以這些公式來推出長方形在數(shù)與形中的關系。
我們先在紙上畫一個長為2cm,寬為1cm 的長方形，并標好長度。
然后在這長方形的四周再圍上三個這樣的長方形，我們就可以發(fā)現(xiàn)長方形的長擴大了兩倍，長方形的寬都增加了1。是不是覺得和我們在課上學到的情況有一些相似了，但別先著急，我們接著圍四周畫下去。
當我們畫好了3-4個示意圖時，就可以觀察到長方形的長不斷增加兩倍，而長方形的寬則一直增加1。
得到了這些信息，我們就可以開始分析。首先我們先從長方形的周長開始探究，在一開始的一個長方形的長和寬分別是1cm和2cmo
再加上三個相同的長方形所得到的大長方形的長和寬都增加了二，長為4cm寬為 2cm 。那一直算下去：第三個長方形的長為 6cm ，寬為 3cm 、第四個長方形的長為8cm ，寬為 4cm ·….·…觀察到了這里，你會發(fā)現(xiàn)長方形的周長規(guī)律并不是我們一開始想得那樣，長和寬都擴大了兩倍。
那我們繼續(xù)觀察，可以發(fā)現(xiàn)：長方形的寬 x2= 長方形的長。那用字母表示：ax2=b 有了這個發(fā)現(xiàn)，我們就可以推出長方形在數(shù)與形中的規(guī)律了，首先長方形的寬的規(guī)律為：1、2、3、4.…可以發(fā)現(xiàn)這個數(shù)是怎么寫也寫不完的，就用n表示，同時長方形的長也用n表示。那求這種規(guī)律的長方形就可以例出公式： n2xn{=}S 0
就是表示長方形的寬 \mathbf{x}2= 長方形的長，第2個“n”表示長方形的寬，它們相乘后就等于長方形的面積。
數(shù)學腦筋急轉彎
牛吃草
有一棵樹，在距樹7米的地方有一堆草，一頭牛用一根3米的繩子拴著，最后這頭牛把這堆草全吃光了，請問為什么？（注意：這頭牛體長不足2米）
答案：牛沒拴在樹上
三角形數(shù)
同學們，你們知道什么是正方形數(shù)嗎？
正方形數(shù)一般指平方數(shù)。平方數(shù)（或稱完全平方數(shù)），是指可以寫成某個整數(shù)的平方的數(shù)，即其平方根為整數(shù)的數(shù)。例如， 9=3x3 ，9是一個平方數(shù)。
查閱資料：正方形數(shù)就是圖形數(shù)的一種，也叫平方數(shù)。平方數(shù)是可以表示某個整數(shù)的平方的數(shù)，即其平方根為整數(shù)的數(shù)。說起它來大家都很熟悉，如1，4，9，16.….…都是正方形數(shù)。結合圖形來看，若n為正方形數(shù)，n個點就可以等距排列成一個正方形，如圖所示：
正方形中有幾個正方形排列的小點或者圓或者正方形等物體，物體總數(shù)就是正方形數(shù)。
數(shù)學上，平方數(shù)，或稱完全平方數(shù)，是指可以寫成某個整數(shù)的平方的數(shù)，即其平方根為整數(shù)的數(shù)。例如， 9=\begin{array}{l l l}{3}&{x}&{}\end{array} 3，它是一個平方數(shù)。
平方數(shù)也稱正方形數(shù)，若n為平方數(shù)，將n個點排成矩形，可以排成一個正方形。
若將平方數(shù)概念擴展到有理數(shù)，則兩個平方數(shù)的比仍然是平方數(shù)，例如，（2~x~2)~/~(3~x~3)=4/9=2/3~x~2/3 。
若一個整數(shù)沒有除了1之外的平方數(shù)為其因子，則稱其為無平方數(shù)因數(shù)的數(shù)。
0也是平方數(shù)。
知道了正方形數(shù)，那相反，會不會還有長方形數(shù)或者三角形數(shù)等其他的圖形數(shù)呢？我也是這么想的。今天，我準備嘗試著研究一下長方形數(shù)。
我的猜測：三角形數(shù)應該和正方形數(shù)差不多，因為“數(shù)”字的前面都是一個圖形，中間應該會有著聯(lián)系。
什么是三角形數(shù)？
第n個三角形數(shù)的公式是 n(n{+}1)/2 或者 [-1]/8 第n個三角形數(shù)是開始的n個自然數(shù)的和。
所有大于3的三角形數(shù)都不是質(zhì)數(shù)。
開始的n個立方數(shù)的和是第n個三角形數(shù)的平方（舉例： 1+8+27+64=100 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} ）所有三角形數(shù)的倒數(shù)之和是2。
任何三角形數(shù)乘以8再加1是一個平方數(shù)。一部分三角形數(shù)（3、10、21、36、
55、78···）可以用以下這個公式來表示：n x （2n +1)；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、6...….）則可以用n x (2n －1)來表示。
一種檢驗正整數(shù)x是否三角形數(shù)的方法，是計算：
如果n是整數(shù)，那么x就是第n個三角形數(shù)。如果n不是整數(shù)，那么x不是三角形數(shù)。這個檢驗法是基于恒等式 8Tn+1=S2n +1 。
特殊的三角形數(shù)55、5,050、500、500、50,005,000·..都是三角形數(shù)。
第11個三角形數(shù)（66）、第1111個三角形數(shù)（617,716）、第111,111個三角形數(shù)（6,172,882,716）、第11,111,111個三角形數(shù)（61,728,399,382,716）都是回文式的三角形數(shù)，但第111個、第11,111個和第1,111,111個三角形數(shù)不是。
和其他數(shù)的關系
四面體數(shù)是三角形數(shù)在立體的推廣。
兩個相繼的三角形數(shù)之和是平方數(shù)。
三角平方數(shù)是同時為三角形數(shù)和平方數(shù)的數(shù)。
三角形數(shù)屬於一種多邊形數(shù)。
所有偶完美數(shù)都是三角形數(shù)。
謝謝大家！
數(shù)學王國
有一天，數(shù)學王國里的國王想要得到一種能使人們聰明的藥水，便到處尋找勇士。麥斯看到了這則啟事，便立即去應戰(zhàn)。
國王出了一道難題：一個游客到旅館去住，不慎錢包被偷，便準備拿自己的金手鐲（如圖）來抵押。因為金手鐲是很寶貴的東西，所以鋸開的時候，鋸的次數(shù)一定要少。問，如果一天交一個，至少要鋸多少次？
麥斯想了想說：“只要一次就夠了。把從左數(shù)第三個環(huán)鋸開，第一天交第一個環(huán)；第二天交第一、二兩個環(huán)，換回第三個環(huán)；第三天交第三個環(huán)；第四天交四到七個環(huán)，換回第一到三個環(huán)；第五天交第三個環(huán)；第六天交第一、二個環(huán)，換回第三個環(huán)；第七天交第三個環(huán)?！眹鹾痛蟪悸犃?，連連拍手叫好，當即下令讓麥斯去當勇士。
麥斯知道數(shù)學魔堡有九九八十一層，不準備些干糧是會餓死的。于是，麥斯走到一個賣煎蛋的小店去買煎蛋。來到小店，麥思把事情告訴了老板，老板是個多嘴的人，他說：“如果你能回答我一個問題，我就可以送你所有的煎蛋，還可以帶你去數(shù)學魔堡的最后一層。今天，老牛來我這兒買了一半加半個煎蛋，小豬來我這兒買了一半加半個煎蛋，現(xiàn)在我有3個煎蛋。問，我原有多少煎蛋？”
麥斯想：只能買一個，哪兒來的半個呢？但他后來才知道。原來只要按普通的算法來就行了[( 3+0.5)x2+0.5]x2=15(\min) ，我們來驗算一下：老牛買去了一半（7.5個）加0.5個（8個），小豬買去了一半（3.5個）加0.5個（4個），最后，還剩下15－（ 8+4)=3 （個），所以是對的。
麥斯報出了答案，店主連忙給了他煎蛋，帶他到了最頂層。
來到了頂層，一個巨大的怪獸對麥思說：“前面有三個門，上面各有一個牌子，只有一個是錯的，而那個錯的，才是真正的入口。我給你一次機會，選對了門，我讓你進去；錯了，可別怪我不客氣?！?/p>
麥斯想了想，說：“如果第一個說假話，則上面寫著‘我是真的入口’，那么后面兩句都符合，有可能；如果第二個說假話，則上面寫著‘第三個是真的入口’這句完全不符合，應被排除；如果第三個說假話，則上面寫著‘第一個門在說真話”，而又和第二句不符合。因此，答案只能是第一個門。”說著走了進去，卻發(fā)現(xiàn)里面只有一個紙條，上面寫著：
恭喜你成功了，雖然里面并沒有什么寶藏，但你經(jīng)過了那么多考驗，已經(jīng)變得很聰明了。
數(shù)學魔堡的主人
麥斯回到了皇宮，把事告訴了國王。國王以為麥斯輸了，便讓1、2、3、4、5、6、7、8、9這九名士兵來抓麥斯，麥斯的0、1這兩名朋友也來幫忙。麥斯讓他們合成了10，把國王的軍隊打得落花流水，貪婪的國王也被趕下了臺，受到了法律的處置。英勇的麥斯當上了國王，受到了人民的愛戴。
數(shù)學腦筋急轉彎
燙衣服
小涵的媽媽熨燙衣服，一件衣服要五分鐘，一條褲子要三分鐘，現(xiàn)在有三件小衣服，一條褲子，小涵的媽媽要幾分鐘才能全部熨燙完？
答案：18分鐘
“數(shù)形結合”的探究
遵義市幸福小學付鈺淇
同學們，你們知道什么是數(shù)形結合嗎？數(shù)形結合是數(shù)學中重要思想方法之一，數(shù)和形也是數(shù)學中兩個最古老、最基本的研究對象，他們在一定條件下可以相互轉化。數(shù)形結合的思想就是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合。
一、提出問題
當我們學習了數(shù)學廣角一數(shù)與形后，我就聯(lián)想到我們以前學習的長方形，既然數(shù)與形能與正方形產(chǎn)生規(guī)律，那么我想：是不是長方形也能像正方形那樣產(chǎn)生一定的關系？為了證實我的猜想，我便結合在學校所學的知識來研究長方形和數(shù)與形中的關系。
二、深入研究
正方形在數(shù)與形的規(guī)律：
1、加數(shù)都是奇數(shù)。
2、加數(shù)都是從1開始依次往后相加。
3、第n個算式有n個數(shù)相加。
那么現(xiàn)在我們就以這些正方形在數(shù)與形的公式來推出長方形在數(shù)與形中的公式。
首先我們現(xiàn)在紙上畫一個長為2厘米，寬為1厘米的長方形。然后在依次往長方形的四周圍上三個一模一樣的長方形，我們可以發(fā)現(xiàn)：長方形的長擴大了兩倍，寬增加了1，越來越接近我們上課學到的情況。
從示意圖中，可以觀察到，長方形的長不斷擴大兩倍，而長方形的寬則一直增加1。
有了這些關于長方形與數(shù)與形的關系，我們可以接著分析。長方形的長和寬從一開始分別是2厘米和1厘米，再加上三個相同的長方形后第二個長方形的長增加了2，所以第二個長方形的長為4厘米，寬為2厘米。那一直算下去，第三個長方形的長就為6厘米，寬為3厘米，第四個長方形的長為8厘米，寬為4厘米
如果我們繼續(xù)觀察下去，就可以發(fā)現(xiàn)：長方形的寬乘二等于長方形的長也就是： \phantom{+}1x2=b 。有了這個發(fā)現(xiàn)，我們就可以推出長方形在數(shù)與形中的規(guī)律了，首先，長方形的寬的規(guī)律為1、2、3、4、5長方形的長的規(guī)律為2、4、6、8…可以看到這些數(shù)是寫不完的，我們就用n表示，那求這種規(guī)律的長方形的公式就應該是：
s{=}_{n2} 乘n。就是表示長方形的寬乘二等于長方形的長，第二個n表示長方形的寬，它們相乘后就等于長方形的面積。
三、得出結論
數(shù)與形的規(guī)律不僅是正方形中，也可以體現(xiàn)在長方形甚至三角形、圓形、梯形等平面圖形中。
四、我的感悟
總之，在學習的過程中，我們應該結合數(shù)與形，逐步領悟和掌握，為今后的數(shù)學學習打下牢固的基礎！
三角形數(shù)的探討
老師在星期五的數(shù)學課上講了一個很有趣的課，叫做“數(shù)與形”。在這之間，我認識了一個新朋友：叫作“正方形數(shù)”。它可以無限變化，但不管它如何變化，都是正方形。后來，老師用“”來表示正方形數(shù)增加的正方形。
我發(fā)現(xiàn)，算式左邊的加數(shù)是每個正方形圖左下角的小正方形和其它算式左邊的加數(shù)是每個正方形圖左下角的小正方形和其他“一”形圖中所包含的小正方形的個數(shù)，它們的和正好等于每個正方形圖中每列小正方形個數(shù)的平方。例如：
C 4x4 的正方形)
從規(guī)律上來看： 1+3+5+7=4^{2}
我還發(fā)現(xiàn)，每一次相加，都是在每行都加一個數(shù)的基礎上再加一行。
課后，我想，有正方形數(shù)，那有沒有三角形數(shù)呢?帶著這樣的疑問，我對“三角形數(shù)”開始作一些查閱和了解。
三角形數(shù)的來源
畢達哥拉斯，是古希臘哲學家、數(shù)學家。他也是第一個發(fā)現(xiàn)三角形數(shù)與音樂之間有聯(lián)系的人。他把1、3、6、10、15等叫做“三角形數(shù)”。
二、三角形數(shù)的規(guī)律
三角形數(shù)的規(guī)律看似很難，但是實際遵義市幸福小學六（1）班李政洲上只用一句話就能總結：在一定的數(shù)目下“例如,1、3、6、10、15....…·的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形而這個就是三角形數(shù)。它的公式也很簡單，是 \scriptstylen=n(n+1)/2 ，n是指第n個三角形。
三、三角形數(shù)在生活中的應用
三角形數(shù)可以在統(tǒng)計學和概率論中應用。例如：可以使用三角函數(shù)來計算正態(tài)分布、傅里葉變換等。三角形數(shù)還可以計算距離和方向，還可以用來測出經(jīng)緯度的準確位置。
其實，數(shù)學就在我們的生活中，只要我們?nèi)ネ诰蚩偰苷业?。正如這三角形數(shù)，如果當初人們沒有1、3、6等數(shù)字能是三角形，也不會有現(xiàn)在偉大的發(fā)明。
數(shù) 學 小 故 事
燕子考青蛙
今天，我看一個故事，叫《燕子考青蛙》。故事是這樣：一天，燕子對青蛙說：“咱們比一比誰的數(shù)學好。青蛙同意了。青蛙出題：上個星期一我吃了一只害蟲，星期二吃了3只害蟲，以后每天比前一天多吃兩只害蟲，問一星期共吃多少只害蟲？燕子說”： 1+3=44+5=99+7=1616 +9{=}2525+11{=}3636{+}13{=}47 ，你一共吃了49只害蟲。
青蛙說：“你考我吧?！毖嘧诱f：“上星期一我吃了兩只害蟲，星期二吃了4只，以后每天比前一天多吃2只害蟲，問我一個星期....”“吃了56只害蟲”。燕子沒說完，青蛙已經(jīng)說了答案。燕子說：“算得這么快！教教我速算的竅門吧”。青蛙讓燕子畫7個圈，然后按第一個圈放一只害蟲，后面的圈比前一個圈多兩只，它們的順序是1、3、5、7、9、11、13，加起來是49，青蛙在每一個圈外各放一只害蟲，再用49+7=56 燕子贊青蛙真聰明。
探究三角形數(shù)
六（1）劉讓晨
在學習圓這一單元時，小付老師在課堂上提到漂亮正方形數(shù)，所謂正方形數(shù)，就是指在一個正方形中，有幾個正方形排列的小點等物體，它的總數(shù)就是正方形數(shù)。
那么，既然有正方形數(shù)，會不會有長方形數(shù)，梯形數(shù)？帶著這些疑惑，我做了以下研究：
一、我用小點在紙張上畫出大小不一的三角形，如圖（一)
我發(fā)現(xiàn)1—10中，1、3、6、10都可以組成一個三角形，那它們就是三角形數(shù)，經(jīng)過網(wǎng)上的查詢，我發(fā)現(xiàn)三角形數(shù)有很多，如：1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78等等，以及所有偶完美數(shù)都是三角形數(shù)。
三角形數(shù)還有一個規(guī)律，就是：如果把所有邊形的數(shù)都整齊地從左到右寫出來，就會發(fā)現(xiàn)，每一列的數(shù)間隔都一樣，而且均為前一個三角形數(shù)，例如圖（二）:
并且，三角形數(shù)還有一個秘密，任何自然數(shù)是最多三個三角形的和。
（圖二）
現(xiàn)在，數(shù)學以經(jīng)成為了生活中的一部分，我們要認真學習數(shù)學，因為數(shù)學的知識是無窮無盡的。
數(shù) 學 小 故 事
兒歌比賽
動物學校舉辦兒歌比賽，大象老師做裁判。小猴第一個舉手，開始朗誦：“進位加法我會算，數(shù)位對齊才能加。個位對齊個位加，滿十要向十位進。十位相加再加一，得數(shù)算得快又準。”小猴剛說完，小狗又開始朗誦：“退位減法并不難，數(shù)位對齊才能減。個位數(shù)小不夠減，要向十位借個一。十位退一是一十，退了以后少個一。十位數(shù)字怎么減，十位退一再去減。”大家都為它們的精彩表演鼓掌。大象老師說：“它們的兒歌讓我們明白了進位加法和退位減法，它們兩個都應該得冠軍，好不好？”大家同意并鼓掌祝賀它們。
正方形數(shù)
我們在這個單元學習了圓，在解題中，我又做了一道跟圓形數(shù)相關的題，在作業(yè)中，我們又做了一道關于三角形數(shù)的題。那么有沒有其他圖形數(shù)呢，讓我們來看看吧在我們學習數(shù)學的時候，我們經(jīng)常會遇到各種各樣的數(shù)字，其中圓形數(shù)是我們最常見的一種。圓形數(shù)是指可以表示為兩個相同整數(shù)之和的數(shù)，比如1、2、3、6、10等等。但是，在我們的生活中，還有一種非常有趣的數(shù)字，那就是正方形數(shù)。那么，正方形數(shù)是什么呢？它的由來是什么？它有什么用處呢？今天，我就來給大家介紹一下這個神奇的數(shù)字。
通過在網(wǎng)上查閱了量資料我的出了這些結論：首先，我們來看看正方形數(shù)是什么。正方形數(shù)是指可以表示為兩個相同整數(shù)之和的平方數(shù)，比如1、4、9、16等等。這些數(shù)字看起來非常簡單，但是它們背后卻有著非常深刻的數(shù)學原理。正方形數(shù)是平方數(shù)的一種特殊形式，它們可以被分解成兩個相同的整數(shù)之和的形式，這是因為平方數(shù)具有一個非常重要的性質(zhì)，那就是它們都可以表示為一個整數(shù)的平方加上另一個整數(shù)的平方。而正方形數(shù)則是這個性質(zhì)的一個特例，它們只能被分解成兩個相同的整數(shù)之和的形式。
那么，正方形數(shù)有什么用處呢？其實，正方形數(shù)在生活中有很多應用。比如，在建筑設計中，正方形數(shù)可以用來計算建筑物的面積和周長。在計算機科學中，正方形數(shù)可以用來解決一些復雜的算法問題。此外，正方形數(shù)還可以用來研究一些數(shù)學問題，比如素數(shù)分布規(guī)律等等。
除了正方形數(shù)之外，還有很多其他的數(shù)字也非常有趣。比如，三角形數(shù)是指可以表示為三個相同整數(shù)之和的數(shù)，比如1、3、6、10等等。三角形數(shù)也是平方數(shù)的一種特殊形式，它們可以被分解成三個
遵義市幸福小學陸威呈
相同的整數(shù)之和的形式。而六邊形數(shù)則是指可以表示為六個相同整數(shù)之和的數(shù)，比如1、7、18、34等等。六邊形數(shù)同樣也是平數(shù)的種特殊形式，它們可以被分解成六個相同的整數(shù)之和的形式。
總之，數(shù)字是我們生活中不可或缺的一部分。無論是圓形數(shù)、正方形數(shù)還是其他數(shù)字，它們都有著自己獨特的特點和應用。通過學習這些數(shù)字，我們可以更好地理解數(shù)學的本質(zhì)和意義，同時也可以更好地應用數(shù)學知識到我們的生活中去。讓我們一起探索數(shù)學的世界吧！
蝸牛何時爬上井？
一只蝸牛不小心掉進了一只枯井里，它趴在井底上哭起來，一只癩蛤蟆過來，翁聲翁氣的對蝸牛說：“別哭了，小兄弟，哭也沒用，這井壁又高又滑，掉到這里只能在這里生活了。我已經(jīng)在這里生活了許多年了。”蝸牛望著又老又丑的癩蛤蟆，心里想：“井外的世界多美呀！我決不能像它那樣生活在又黑又冷的井底里?！蔽伵Πd蛤蟆說：“癲大叔，我不能生活在這里，我一定要爬出去，請問這口井有多深？”“哈哈哈…..…，真是笑話，這井有10米深，你小小年紀。又背負著這么重的殼，怎么能爬出去呢？”“我不怕苦不怕累，每天爬一段，總能爬出去！”第二天，蝸牛吃得飽飽的，開始順著井壁往上爬了，它不停的爬呀爬，到了傍晚，終于爬了5米，蝸牛特別高興，心想：“照這樣的速度，明天傍晚我就可以爬出去了?！毕胫胫恢挥X睡著了，早上，蝸牛被一陣呼嚕聲吵醒了，一看，原來是大叔還以睡覺，他心里一驚：“我怎么離井底這么近？”原來，蝸牛睡著以后，從井壁上滑下來4米，蝸牛嘆了一口氣，咬咬牙，又開始往上爬，到傍晚又往上爬了5米，可晚上，蝸牛又滑下來4米，就這樣，爬呀爬，滑呀滑，最后堅強的蝸牛終于爬上了井臺。聰明的小朋友你能猜出來蝸牛用了多少天才爬上井臺的嗎？
數(shù)學廣角一數(shù)與形
同學們和老師們，大家好。今天我們來討論一個數(shù)與形的問題。聽到數(shù)與形，大家肯定會聯(lián)想到數(shù)字和圖形吧，對了，有些數(shù)學家，做計算題就會聯(lián)想到圖形，在做圖形題的時候就會聯(lián)想到計算題。
我們學過正方形、長方形、三角形、平行四邊形、以及我們這個學期學過的圓形；那數(shù)字我們可以分為兩種：第1種是奇數(shù)，而第2種是偶數(shù)。那我們今天的學習圖形數(shù)。
我們可以舉一個例子：比如正方數(shù)，很明顯，是用一個算式，然后再用這個算式的個數(shù)，想出正方體的樣子。我們可以列一個例子，比如一個正方形，4個小正方形圍成的大正方形，9個小正方形圍成的大正方形等。第1個正方形，我們可以用 1x1 表示，也就是一的二次方。第2個他橫著有兩個豎著也有兩個，所以是2x2 ，也就是2的二次方，第3個豎著三個，橫著也是三個，所以是 3x3 ，也就是三的二次方，再以此類推。以上是第1種方法，還有第2種方法。
第2種方法是這樣的：第1個正方形有一個，也就是一的二次方，第二個正方形有1+3個，也就是二的二次方，第3個是1+3+5 個正方形，也就是三的二次方，再依次類推。過程中我發(fā)現(xiàn)，第2種方法要簡便一點，首先看數(shù)字的形式，是奇數(shù)，而且還是相鄰的，我還發(fā)現(xiàn)它。有幾個這樣從一開始的連續(xù)的基數(shù)，就是幾的二次方。所以我得出結論：從一開始，有幾個這樣連續(xù)的奇數(shù)，就有幾的二次方。
那我有一個猜測：如果說有幾個連續(xù)這樣的自然數(shù)呢？我猜測是一個三角數(shù)，為什么呢？我們看三角形它的角是從小到大依次排下去的，像金字塔一樣。而我們說他是要連續(xù)的自然數(shù)，那就肯定得是先從一開始，檢驗一下。 1+2+3+4+5 ，從上
六（1）班羅煜恒
往下依次是最頂層一個，到最底層5個，他們可以堆成一個三角形，所以我的猜想是對的。
那么今天的探究就結束了，謝謝大家的觀看！
數(shù) 學 小 故 事
“0”
大約1500年前，歐洲的數(shù)學家們是不知道用“0”的。他們使用羅馬數(shù)字。羅馬數(shù)字是用幾個表示數(shù)的符號，按照一定規(guī)則，把它們組合起來表示不同的數(shù)目。在這種數(shù)字的運用里，不需要“0”這個數(shù)字。
而在當時，羅馬帝國有一位學者從印度記數(shù)法里發(fā)現(xiàn)了“0”這個符號。他發(fā)現(xiàn)，有了“0”，進行數(shù)學運算方便極了，他非常高興，還把印度人使用“0”的方法向大家做了介紹。過了一段時間，這件事被當時的羅馬教皇知道了。
當時是歐洲的中世紀，教會的勢力非常大，羅馬教皇的權利更是遠遠超過皇帝。教皇非常惱怒，他斥責說，神圣的數(shù)是上帝創(chuàng)造的，在上帝創(chuàng)造的數(shù)里沒有“0”這個怪物，如今誰要把它給引進來，誰就是褻瀆上帝！
于是，教皇就下令，把這位學者抓了起來，并對他施加了酷刑，用夾子把他的十個手指頭緊緊夾注，使他兩手殘廢，讓他再也不能握筆寫字。就這樣，“0”被那個愚昧、殘忍的羅馬教皇明令禁止了。
但是，雖然“0”被禁止使用，然而羅馬的數(shù)學家們還是不管禁令，在數(shù)學的研究中仍然秘密地使用“0”，仍然用“0”做出了很多數(shù)學上的貢獻。后來“0”終于在歐洲被廣泛使用，而羅馬數(shù)字卻逐漸被淘汰了。
數(shù)與形一三角形
六（1）班牟鈺婧
在數(shù)學中，數(shù)字不僅是一個個抽象的符號，他們還可以與形狀相聯(lián)系，產(chǎn)生出各種有趣的關系。接下來讓我們一起來探討下，數(shù)字與三角形之間的相互關系吧！
我們觀察這幾個圖形，都是三角形，分別由1、3、6、10、15各小圓點分別組成的三角形，經(jīng)過我們的仔細發(fā)現(xiàn)，我們發(fā)現(xiàn)：
第1個數(shù)： _{1=1}
第2個數(shù)： _{3=1+2}
第3個數(shù)： 6{=}1{+}2{+}3
第4個數(shù)： 10{=}1{+}2{+}3{+}4
第5個數(shù)： 15{=}1{+}2{+}3{+}4{+}5
...·以此類推，就可以得出：
第n個數(shù)： n{=}1{+}2{+}3{+}4{+}5{+}*s{+}n
那我們可不可以從這些書中得出一個規(guī)律呢？讓我們一起來探索。
我們觀察這些數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)他們都是第幾個數(shù)從自然數(shù)1加到幾！例如：第2個數(shù)就是1加到2，第5個數(shù)就是1加到5，第4個數(shù)就是1加到4！第n個數(shù)就是從1加到n。
所以我們找到了一個發(fā)現(xiàn)：
每一個三角形數(shù)，都可以寫成從1開始的n個自然數(shù)之和。最大的三角形數(shù)就是圓點的個數(shù)。
可見，第n個三角形數(shù) \scriptstyle=_{n} C n{+}1 ）/2
最大的自然就是三角形底邊圓點的個數(shù)。
可見：第n個三角形數(shù) 么 n(n+1)2100×(100+1)
比如：第100個三角形數(shù)2=5050n
通過今天的發(fā)現(xiàn)，我們就可以得出以下公式：
三角形數(shù) =n(n+1)/2{=}(n^{*}2{+}n)/2
今天我們研究了三角形數(shù)與形的關系，也收獲了非常多的知識，我們在生活中要去多觀察數(shù)與形，發(fā)現(xiàn)他們之間的更多奧秘。
數(shù)學家的故事——伽利略
伽利略質(zhì)疑權威
意大利數(shù)學家、物理學家、天文學家。
伽利略17歲那年，考進了比薩大學醫(yī)科專業(yè)。
有一次上課，比羅教授講胚胎學。他講道：“母親生男孩還是生女孩，是由父親的強弱決定的。父親身體強壯，母親就生男孩；父親身體衰弱，母親就生女孩。”
比羅教授的話音剛落，伽利略就舉手說道：“老師，我有疑問。我的鄰居，男的身體非常強壯，可他的妻子一連生了5個女兒。這與老師講的正好相反，這該怎么解釋？”
“我是根據(jù)古希臘著名學者亞里士多德的觀點講的，不會錯！”比羅教授想壓服他。
伽利略繼續(xù)說：“難道亞里士多德講的不符合事實，也要硬說是對的嗎？科學一定要與事實符合，否則就不是真正的科學。”比羅教授被問倒了，下不了臺。
后來，伽利略果然受到了校方的批評，但是，他勇于堅持、好學善問、追求真理的精神卻絲毫沒有改變。正因為這樣，他才最終成為一代科學巨匠。
“三角形數(shù)”的規(guī)律
遵義市幸福小學六（1）班彭文倩
一、探究起因
在學習了“數(shù)學廣角——數(shù)與形”后，我們知道了什么是“正方形數(shù)”。即然有正方形數(shù)，那么是否有“三角形數(shù)”呢？這個問題很有挑戰(zhàn)性！就讓我們一起去探究吧！
二、我的猜想
既然我們可以通過數(shù)形結合的方式求出正方形數(shù)，那么，或許我們也可以通過這樣的方式求出三角形數(shù)！為了證實這個猜想，就讓我們跟據(jù)下圖進行探究吧！
三、探究經(jīng)過
通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)，幾組圖形都是由若干個圓形組成的三角形。組成這四組圖形的圓形個數(shù)分別為：1個、3個、6個、10個
形就加到幾。我可以用算式表示為：1+2+ ·. n{-}1 ） +n 。
但是，這個規(guī)律也有缺點。如果n所代表的數(shù)較大，要求結果就太麻煩了。那么，這組數(shù)據(jù)中還有沒有更簡便規(guī)律呢？帶著這個問題，我們繼續(xù)去探究吧！
根據(jù)我們剛才所求出的規(guī)律進行思考， 1{+}2{+}{*s}{+}(n{-}1){+}n 可不可以這樣進行計算： 1+2+*s+*s+(n-1)+{n=\left[\Phi\left(1+{n}\right)+\left({n}\right.\kern-\nulldelimiterspace{n}\right)+\left({n}-1\right)+{n}=\left[\Phi\left(1+{n}\right)+{n}\right]} -1+2)+*s, /2=n(n{+}1)/2
四、進行驗證
通過思考，我們求出了規(guī)律。那么，這個規(guī)律是否成立呢？現(xiàn)在，我們來進行驗證。
假設n為5
n ( n{+}1 )/2
=5x(5+1)/2
=15
則第五組圖應由15個小圓組成。
通過畫圖驗證，我們會發(fā)現(xiàn)圓形個數(shù)的確是15。因此，這個規(guī)律是成立的。
組成這四個圖形的圓形個數(shù)我們可以分別用算式表示為：
五、回顧猜想
綜上所述，三角形數(shù)是存在的。
第一組： _{1=1}
第二組： 1+2=3
第三組： 1+2+3=6
第四組： 1+2+3+4=10
六、資料擴展
為了更全面地了解三角形數(shù)，我上網(wǎng)查找了以下資料。
仔細觀察上面的算式，似乎具有一定的規(guī)律呢！你發(fā)現(xiàn)了嗎？它們都是從1開始，幾個連續(xù)的自然數(shù)相加，是第幾組圖
什么是三角形數(shù)？
它有一定的規(guī)律性，排列如下（構成圖），像上面的1、3、6、10、15等等這些能夠表示成三角形的形狀的總數(shù)量的數(shù)，叫做三角形數(shù)。
一定數(shù)目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，這樣的數(shù)被稱為三角形數(shù)。比如10個點可以組成一個等邊三角形，因此10是一個三角形數(shù)：
×
×X
×××
××××
×××××
一定數(shù)目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，這樣的數(shù)被稱為三角形數(shù)。
三角形數(shù)的性質(zhì)：
1.第n個三角形數(shù)公式： n(n{+}1)/2 2.第n個三角形數(shù)是從1開始的n個自然數(shù)的和。3.所有大于3的三角形數(shù)都不是質(zhì)數(shù)。4.開始的n個立方數(shù)的和是第n個三角形數(shù)的平方（舉例 1+27+8+64=100=102 )5.所有三角形數(shù)的倒數(shù)之和小于2。6.任何三角形數(shù)乘8再加上1是一個平方數(shù)。
和其他數(shù)的關系
1.四面體數(shù)是三角形數(shù)在立體的推廣。2.兩個相繼的三角形數(shù)之和是平方數(shù)。3.三角平方數(shù)是同時為三角形數(shù)和平方數(shù)的數(shù)。4.三角形數(shù)屬于一種多邊形數(shù)。5.所有偶完美數(shù)都是三角形數(shù)。6.任何自然數(shù)是最多三個三角形數(shù)的和。
七、我的感悟
在這個科技飛迅發(fā)展的時代，數(shù)學無處不在。它是充滿奧秘的、神奇的。通過這次實踐，我知道了什么是三角形數(shù)。這
在數(shù)學的王國中只不過是滄海一粟，還有許多神奇的定律等待著我們?nèi)ヌ骄浚グl(fā)現(xiàn)！
數(shù) 學 小 故 事
聰明的小男孩
從前，一個國王經(jīng)常給身邊的大臣出難題來取樂，如果大臣答對了，他將用小恩小惠給點賞賜；如果答不出來，那將受罰，甚至被砍頭。一天，國王指著宮里的一個池塘問：“誰能說出池子里有多少桶水，我就賞他珠寶。如果說不出來，我就要‘賞’你們每人50大鞭?！贝蟪紓儽贿@突如其來的問題難住了。
正在大臣們心慌意亂之際，走過來一個放牛的小男孩。他問清了事情的緣由之后說：“我愿意見見這位國王?！?/p>
大臣們把小男孩帶到了國王身邊。國王見眼前的小男孩又黑又瘦又小，便懷疑說：“這個問題答上來有獎，答不上來可要被砍頭的，你知道嗎？”在場的人都替這個小男孩捏了一把汗，可小男孩卻不慌不忙地回答出國王的問題。國王無奈之下，拿出珠寶獎勵給了小男孩。小朋友們，你知道他是怎樣回答的嗎？
其實，國王出的是一道條件不足的問題。在正常的思維模式下是無法找出正確答案的。小男孩正好抓住這一關鍵。他是這樣回答的：“這要看桶有多大：如果桶和池塘一樣大，就是一桶水；如果桶只有池塘一半大，就是有兩桶水；如果桶是池塘的三分之一大，就是3桶水·...."”
小男孩實際上打破了習慣性的思維模式，對具體的問題進行具體的分析，他的頭腦多么聰明，多么靈活??！
數(shù)學腦筋急轉彎
裝蘋果
小麗和媽媽買了8個蘋果，媽媽讓小麗把這些蘋果裝進5個口袋中，每個口袋里都是雙數(shù)，你能做到嗎？
答案：每條口袋各裝2個蘋果，最后將所有4條口袋裝進第5條口
三角形數(shù)
六（1）班冉博怡
日常生活中，我們總會遇到一些有趣的數(shù)學問題。就比如今天我要為大家介紹的三角形數(shù)，那什么是三角形數(shù)呢？下面就讓我們一起來探索其中的奧秘吧！
一、定義和推理
觀察這些三角形，你會發(fā)現(xiàn)它們有什么規(guī)律嗎？原來三角形數(shù)是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和。1是第一個三角形數(shù)，3是第二個三角形數(shù)，6是第三個三角形數(shù)，10是第四個三角形數(shù)，第n個圖形記為：n{=}1+2+3+4+*s+(n{-}1)+n{=}(1+n)+(2+n{-} 1)+(3+n-2)+*s=n(n+1)/2
還有以下資料：
三角形數(shù)是一定數(shù)目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形的被稱為三角形數(shù)。其實啊，早在古希臘時期就有以畢達哥拉斯為首的學派對三角形數(shù)進行了研究。畢達哥拉斯為首的學派的數(shù)學家們在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù)，他們對三角形數(shù)進行了系統(tǒng)的研究。他們發(fā)現(xiàn)三角形數(shù)具有某些規(guī)律，例如將三角形數(shù)1、3、6、10等進行觀察，可以發(fā)現(xiàn)它們之間存在一定的遞推關系。據(jù)這些規(guī)律，我們還可以列舉出更多的三角形數(shù)，如15、21、28、36、45等。進一步研究可以發(fā)現(xiàn)，每五個三角形數(shù)中有兩個數(shù)可以被五整除。這樣的規(guī)律在數(shù)列中1依次出現(xiàn)，如，13、6、10、15、21、28、36、45等。
三：回顧推理
一定數(shù)目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形的被叫做三角形數(shù)。
四：得出結論
我們不能總是如死水一樣在原地徘徊，要把思維跳出課本，學到更多的知識。通過這次實踐，我知道了什么叫做三角形數(shù)以及它的性質(zhì)。數(shù)學猶如黑洞，是深不見底的，所以人們對數(shù)學的探索也是永不停息的。
唐僧師徒摘桃子
一天，唐僧命徒弟悟空、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子。不久，徒弟三人摘完桃子高高興興回來。師父唐僧問：你們每人各摘回多少個桃子？
八戒憨笑著說：師父，我來考考你。我們每人摘的一樣多，我筐里的桃子不到100個，如果3個3個地數(shù)，數(shù)到最后還剩1個。你算算，我們每人摘了多少個？
沙僧神秘地說：師父，我也來考考你。我筐里的桃子，如果4個4個地數(shù)，數(shù)到最后還剩1個。你算算，我們每人摘了多少個？
？二、三角形數(shù)的性質(zhì)：
1、第n個三角形公式： n(n+1)/2 。
2、所有三角形數(shù)的倒數(shù)之和小于2。
3、第n個三角形數(shù)是從1開始的n個自然數(shù)的和。
4、任何三角形數(shù)乘8再加上1是一個平方數(shù)。
5、所有大于3的三角形數(shù)都不是質(zhì)數(shù).
悟空笑瞇瞇地說：師父，我也來考考你。我筐里的桃子，如果5個5個地數(shù)，數(shù)到最后還剩1個。你算算，我們每人摘多少個？
唐僧很快說出他們每人摘桃子的個數(shù)。你知道他們每人摘多少個桃子嗎
世界上有三角形數(shù)嗎？
一、探究起因
同學們，你們知道正方形數(shù)嗎？正方形數(shù)又稱平方數(shù)、四邊形數(shù)是指可以寫成某個整數(shù)的平方的數(shù)，即其平方根為整數(shù)的數(shù)。既然有正方形數(shù)，那有沒有三角形數(shù)呢？
二、收集資料
三角形數(shù)的定義及推理：
一定數(shù)目的點在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形。這樣的數(shù)被稱為三角形數(shù)。
你注意到了嗎，商店櫥窗里的罐頭盒一般都是這樣排列的。它們按照一定的規(guī)律排成了三角形。想一想：能不能把9個圓點按上面的規(guī)律排成一個三角形？9是不是三角形數(shù)？再想一想：能不能把25個圓點按上面的規(guī)律排成一個三角形？25是不是三角形數(shù)？為了能方便地看出規(guī)律，我們把三角形數(shù)改排成圖。
則第 \scriptstyle n 個圖形表示的三角形數(shù)為？
第一個圖形記為 {\bf a}_{1}=1 第二個圖形記為 a_{2}=1+2 第三個圖形記為 a_{3}=1+2+3 第四個圖形記為 a_{4}=1+2+3+4
觀察這些三角形數(shù)，你發(fā)現(xiàn)它們有什么規(guī)律嗎？原來三角形數(shù)是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和。1是第一個三角形數(shù)，3是第二個三角形數(shù)，6是第三個三角形數(shù)，10是第四個三角形數(shù)，第n個圖形記為：
遵義市幸福小學六（1）班任青藍an=1+2+3+4+*s+(n-1)+n=(1+ \mathfrak{n})+(2+\mathfrak{n}-1)+(3+\mathfrak{n}-2)+\dots=\mathfrak{n}(\mathfrak{n}+1)/2
三角形數(shù)的判斷
如果給出一個正整數(shù)，怎樣判斷它是不是三角形數(shù)呢？根據(jù)上述公式
an{=}n(n{+}1)/2 ，我們可以看出 2an= n(n{+}1) ，就是說一個正整數(shù)如果乘以2所得的數(shù)可以寫成兩個相鄰的正整數(shù)的乘積，那么這個數(shù)就是三角形數(shù)。
三、三角形數(shù)有關問題的探索
認識了三角形數(shù)，我們就來看一道與三角形數(shù)有關的規(guī)律探索類問題：古希臘數(shù)學家把數(shù)1、3、6、10、15、21·叫做三角形數(shù)，它有一定的規(guī)律性，若把第一個三角形數(shù)記為x1，第二個三角形數(shù)記為\mathbf{\sigma}_{\mathbf{X}2},*s, 第n個三角形數(shù)記為 \mathbf{X}_{n}
（1）寫出 {xn} 的表達式，判斷66是不是三角形數(shù)。
（2）根據(jù)（1）的結論判斷所有三角形數(shù)的倒數(shù)之和與2的大小關系。
解：（1） {x}1=1 _{X_{2}=1+2} x_{3}=1+2+3 _{X4}=1+2+3+4 _{X5}=1+2+3+4+5 \mathbf{x}_{n}=1+2+3+4+5+*s+(n-1)+n=
n(n{+}1)/2 66x2=n(n+1)=11x12 ，所以66是三
角形數(shù)。（3）所有三角形數(shù)的倒數(shù)之和為：1+1/3+6+10+15+*s+1/\ [n(n+1)/2\ ] =2/(1x2)+2x3)+6)+10)+15)+*s+2/
\left[n(n{+}1)\right] =2x\mid1/(1x2)+(2x3)+(3x4)+(4x
5)+(5x6)+*s+1/[nx(n+1)] =2x[1-1/2+2-1/3+3-1/4+4-1/5+5
-1/6+*s1/n{-}1/(n{+}1)] {\it\Omega}=2{\itn}/({n}+1)
由于n是正整數(shù)，所以 0{<}n/(n{+}1){<}1 ，所以， 2n/(n{+}1){<}2 。
三角形數(shù)的性質(zhì)：
① 第n個三角形數(shù)公式： n(n{+}1)/2 ② 第n個三角形數(shù)是從1開始的n個自然數(shù)的和。③ 所有大于3的三角形數(shù)都不是質(zhì)數(shù)。④ 開始的n個立方數(shù)的和是第n個三角形數(shù)的平方（舉例： 1+27+8+64=100= {{10}^{2}} ）
⑤ 所有三角形數(shù)的倒數(shù)之和小于2。
⑥ 任何三角形數(shù)乘8再加上1是一個平方數(shù)。
四、回應猜想
綜上所述：世界上是有三角數(shù)的。世界上有三角形數(shù)，
五、我的感悟
在這個日新月異的時代，科技的發(fā)展為我們的生活帶來了極大的便利。通過這次實踐，我知道了什么叫做三角形數(shù)，以及它的性質(zhì)。數(shù)學真有趣，我一定要好好學數(shù)學。
數(shù) 學 小 故 事
分房間
有一個年輕的小伙子來找劉先生，并自我介紹說：“我叫于江，這次我?guī)ьI了一個旅游團到香港旅游，聽說您的大酒店環(huán)境舒適，服務周到，我們想來住你們酒店。”
劉先生連忙熱情地說：“歡迎，歡迎，不知貴團一共有多少人？”
“人嘛，還可以，是一個大團。”
劉先生心里一陣驚喜：一個大團，又是一筆大生意，真是太好了。
作為一個導游，于江看出了劉先生的心思，他慢條斯理地說：“先生，如果你能算出我團的人數(shù)，我們就住您們酒店了?！?/p>
“你請說吧?！眲⑾壬孕诺卣f。
“如果我把我的團平均分成四組，多出一人，再把每小組平均分成四份，結果又多出一人，再把分成的四小組分成四份，結果又多出一人，當然，也包括我，請問我們至少有多少人？”
“一共多少呢？”劉先生馬上思考起來，他一定要接下這筆生意，“沒有具體的數(shù)字，該如何下手呢？”他是精明的生意人，很快說出答案：“至少八十五人，對不對？”
于江先生高興地說：“一點不錯，就是八十五人。請說說您的算法?！?/p>
“人數(shù)最少的情況是最后一次四等分時，每份為一人，由此推理得到：第三次分之前有1x4+1=5 （人），第二次分之前有5x4+1=21 （人），第一次分之前有21x4+1=85 （人）?！?/p>
“好，我們今天就住在您這兒了?！啊澳悄銈冇卸嗌倌械暮团?？”
“有55個男的，30個女的?！?/p>
“我們這兒現(xiàn)在只有11人的房間，7人、5人的房間，你們想怎么住？”
“當然是先生您給安排了，但必須男女分開，也不能有空床位。”
又出了一個題目，劉先生還從沒碰到過這樣的客人，他只好又得花一番心思了。
思苦想之后，他終于得出了最佳方案：男的兩間11人房間，四間7人房，一間5人房；女的一間11人房間，兩間7人房，一間5人的，一共11間。
于江先生看了他的安排后，非常滿意，馬上辦了住宿手續(xù)。
一樁大生意做成了，雖然復雜了一點，但劉先生的心里還是十分高興的。
數(shù)學腦筋急轉彎
金魚
李老板養(yǎng)了一些紅金魚和一些黑金魚，他發(fā)現(xiàn)紅金魚吃掉的魚食是黑金魚的2倍，這是什么原因？
答案：因為紅金魚數(shù)是黑金魚數(shù)的二倍
數(shù)與形：有關三角形數(shù)的探究
遵義市幸福小學六（1）班唐安軒
同學們，我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結合百般好?！鼻皫滋?，我們剛剛學完數(shù)與形中的正方形數(shù)。接下來讓我們一起去看看五邊形數(shù)吧。不過，在這之前，我們一起去看一看：什么是數(shù)與形吧。
一、什么是數(shù)與形
數(shù)與形的關系，實際上是“數(shù)量與形式”關系；間接地也表現(xiàn)為質(zhì)量與形態(tài)的關系；實質(zhì)上是抽象地反映時間與空間的關系，物質(zhì)與運動、變化的關系。
數(shù)學包括數(shù)與量、數(shù)與形的關系。
代數(shù)方式，是對物質(zhì)、物體、物事進行客觀抽象的關系進行推演、計算的形式。
？二、正方形數(shù)的規(guī)律
正方形數(shù)的規(guī)律： y{=}1{+}3{+}5{+}7{*s}+(2n{+}1)
三、何為三角形數(shù)
一定數(shù)目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，被稱為三角形數(shù)。其實啊，早在古希臘時期就有以畢達哥拉斯為首的學派對三角形數(shù)進行了研究.畢達哥拉斯為首的學派的數(shù)學家們在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù)，他們對三角形數(shù)進行了系統(tǒng)的研究。他們發(fā)現(xiàn)三角形數(shù)具有某些規(guī)律，例如將三角形數(shù)1、3、6、10等進行觀察，可以發(fā)現(xiàn)它們之間存在一定的遞推關系。
根據(jù)這些規(guī)律，我們可以列舉出更多的三角形數(shù)，如15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120等。進一步研究可發(fā)現(xiàn)，每五個三角形數(shù)中，有兩個數(shù)可以被5整除。這樣的規(guī)律在數(shù)列a中依次出現(xiàn)，如1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120等。
四、三角形數(shù)的規(guī)律
三角形數(shù)的規(guī)律=1+2+3+4+5+6*s+*11=(n+(n+1))/(2)
同學們，數(shù)學是多么有趣啊，讓我們一起好好學數(shù)學吧！
數(shù) 學 小 故 事
八戒吃了幾個山桃
八戒去花果山找悟空，大圣不在家。小猴子們熱情地招待八戒，采了山中最好吃的山桃整整100個，八戒高興地說：“大家一起吃！”可怎樣吃呢，數(shù)了數(shù)共30只猴子，八戒找個樹枝在地上左畫右畫，列起了算式， 100/30=3\dots1
八戒指著上面的3，大方的說，“你們一個人吃3個山桃吧，瞧，我就吃那剩下的1個吧！”小猴子們很感激八戒，紛紛道謝，然后每人拿了各自的一份。
悟空回來后，小猴子們對悟空講今天八戒如何大方，如何自已只吃一個山桃，悟空看了八戒的列式，大叫，“好個呆子，多吃了山桃竟然還嘴硬，我去找他！”
哈哈，你知道八戒吃了幾個山桃？
圓形數(shù)
六（1）班XXX
星期五那天，我們學校的付老師給我們上了一堂有趣的數(shù)學課，就是第八單元數(shù)學廣角一一《數(shù)與形》。這個單元的第一節(jié)課就是介紹正方形數(shù)的。而我們的數(shù)學老師為了讓我們更深一步的了解數(shù)與形奇妙特點，接下來就得研究研究了！
而我仔細瀏覽了數(shù)學書，終于找到了一個比較好理解的圓形數(shù)，可是怎么研究呢？得先畫出一個完完整整的大圓，就像這樣：
首先畫出它的一半，涂上顏色并寫上1/2，然后又畫出剩余部分的一半，便是1/4，再畫出剩余部分的一半，就是一半的一半的一半，1/8也就出來子，以此類推，就可以畫出無限個分數(shù)，而無論我們怎么分，也分不到底，這究竟是為什么呢？
我們把他弄得簡單一點，把這條圓畫成一條線，再在這條線上面標數(shù)據(jù)，這樣就簡單多了，但前提是這條線段得足夠長。
結果還是可以看出怎么畫也還剩一以點兒，根本畫不完，難道真的是這樣嗎？的確是。那么我們把這些所有的分數(shù)都加起來，等于幾呢？對了，就是一。
這時候就會有同學問了，不是永遠分都分不完嗎？那么把所有的加數(shù)加起來只能無限接近1啊，而不是等于1。同學們，你們說的也對，他的確只是一個無限接近1的數(shù)，而那些零頭，我們其實是可以忽略不計的。跟我們上個學期1/3x3的這個問題，其實也是一樣的都是無限接近一，所以我們才把他們看作是1的
這也就是我們，把那些所有近似值1的數(shù)看成1，這樣就簡單多了。
總結：
圓形數(shù)就是一個無限接近1的數(shù)，也可以把它看做是1。
數(shù)學腦筋急轉彎
買玩具
某人花19塊錢買了個玩具，20塊錢賣出去。他覺得不劃算，又花21塊錢買進，22塊錢賣出去。請問它賺了多少錢？
答案：2元
圓形數(shù)
六（1）班趙丹妮
在我們?nèi)粘Ｉ钪?，我們?jīng)常會遇到一些有趣的數(shù)學問題。其中一個問題就是圓形數(shù)。那么，什么是圓形數(shù)呢？今天，我就來給大家介紹一下圓形數(shù)。
首先，我們需要了解什么是圓形數(shù)。圓形數(shù)是指一個正整數(shù)，它的所有因子(除了它本身)之和等于這個數(shù)本身。換句話說，如果一個數(shù)n可以表示成若干個正整數(shù)的乘積(這些正整數(shù)不包括1和n本身),那么這個數(shù)就被稱為圓形數(shù)。例如，6是一個圓形數(shù)，因為它的因子有1、2、3和6，而 1+2+3+6=12 恰好等于6。同樣，28也是一個圓形數(shù)，因為它的因子有1、2、4、7和14,而 1+2+4+7+14=28 。
接下來，我們需要了解如何判斷一個數(shù)是否是圓形數(shù)。判斷一個數(shù)是否是圓形數(shù)的方法有很多，其中一種方法是比較簡單易行的。首先，我們需要找出這個數(shù)的所有因子。然后，我們需要將這些因子相加，最后判斷這個和是否等于這個數(shù)本身。如果等于，那么這個數(shù)就是圓形數(shù)；如果不等于，那么這個數(shù)就不是圓形數(shù)。當然，還有其他更復雜的方法可以用來判斷一個數(shù)是否是圓形數(shù)，但這里我們只介紹一種簡單的方法。
現(xiàn)在，我們已經(jīng)知道了圓形數(shù)的概念以及如何判斷一個數(shù)是否是圓形數(shù)。那么，圓形數(shù)有什么特點呢？首先，圓形數(shù)具有很好的規(guī)律性。在我們的生活中，有很多著名的圓形數(shù)，如6、28、50等。這些圓形數(shù)都有一個共同的特點，那就是它們的因子都是連續(xù)的自然數(shù)。例如，6的因子有1、2、3和6,28的因子有1、2、4、7和14,50的因子有1、2、5、10和25。這些連續(xù)的自然數(shù)構成了一個非常和諧的組合，給我們帶來了很多啟示。此外，圓形數(shù)還具有一定的美學價值。在數(shù)學中，有一種叫做“幾何級數(shù)”的概念。幾何級數(shù)是一種特殊的級數(shù)，它的每一項都是一個完全平方數(shù)。例如，1、4、9、16等都是幾何
級數(shù)。而圓形數(shù)正好也屬于幾何級數(shù)的一種特殊形式。因此，從這個角度來看，圓形數(shù)不僅具有數(shù)學上的價值，而且還具有美學上的價值。
總之，圓形數(shù)是一種非常有趣的數(shù)學概念。通過研究圓形數(shù)，我們可以學到很多有關數(shù)學的知識，同時也可以培養(yǎng)我們的思維能力和創(chuàng)造力。希望同學們能夠?qū)A形數(shù)產(chǎn)生濃厚的興趣，并在今后的學習中不斷探索和發(fā)現(xiàn)更多關于圓形數(shù)的秘密。
數(shù) 學 小 故 事
生活中的數(shù)學
一天，唐僧命徒弟悟空、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子。不久，徒弟三人摘完桃子高高興興回來。師父唐僧問：你們每人各摘回多少個桃子？
八戒憨笑著說：師父，我來考考你。我們每人摘的一樣多，我筐里的桃子不到100個，如果3個3個地數(shù)，數(shù)到最后還剩1個。你算算，我們每人摘了多少個？
沙僧神秘地說：師父，我也來考考你。我筐里的桃子，如果4個4個地數(shù)，數(shù)到最后還剩1個。你算算，我們每人摘了多少個？
悟空笑瞇瞇地說：師父，我也來考考你。我筐里的桃子，如果5個5個地數(shù)，數(shù)到最后還剩1個。你算算，我們每人摘多少個？唐僧很快說出他們每人摘桃子的個數(shù)。你知道他們每人摘多少個桃子嗎
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