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名校課堂
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數(shù)學(xué)
八年級上RJ
開明出版社
錯題筆記示例
”第十三章三角形
13.1 三角形的概念 2
13.2 與三角形有關(guān)的線段 4
13.2.1 三角形的邊 4
13.2.2 三角形的中線、角平分線、高 6
小專題1 三角形的中線、高線的運用 解題技巧專練8
13.3 三角形的內(nèi)角與外角
13.3.1三角形的內(nèi)角 9
第1課時 三角形的內(nèi)角和· 9
第2課時直角三角形的兩個銳角互余 11
周測 (13.1~13.3.1) 測試卷1
13.3.2三角形的外角 12
小專題2三角形的角平分線、高線的夾角模型·：多維變式專練14
小專題3利用數(shù)學(xué)思想方法求角度 解題技巧專練15
小專題4三角形中內(nèi)、外角平分線的常見模型· 模型構(gòu)建專練16
章末復(fù)習(xí)（一）三角形.· 18
考點針對練 \diamondsuit 核心素養(yǎng)提升練
新教材新趨勢
數(shù)學(xué)活動1 搭等邊三角形/P20
數(shù)學(xué)活動2 多邊形的三角剖分/P20
綜合與實踐 確定勻質(zhì)薄板的重心位置/P21
單元測試(一) 三角形 測試卷3
【"第十四章全等三角形
14.1 全等三角形及其性質(zhì) 22
14.2 三角形全等的判定·· 24
第1課時 用“SAS”判定三角形全等 24
第2課時 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 26
第3課時 用“SSS”判定三角形全等 28
第4課時 三角形全等的判定與尺規(guī)作圖 30
第5課時 用“HL”判定直角三角形全等 32
索引
名校經(jīng)典題索引
| 1.人大附中校本经典题 | |||
| P3T14 | P11T10 | P23T12 | P37T7 |
| P38T8 | P49T12 | P54T6 | P66T1 |
| P73T6 | P76T18 | P82T8 | P109T14 |
| P120T6 | |||
2.清華附中校本經(jīng)典題
P5T14 P14母題 P15T1 P17T4
P26T4 P53T16 P64T7 P83T13
P115T17
3.北京四中校本經(jīng)典題
P4T8 P23T15 P69T11 P73T7
P76T17 P82T14 P100T10 P116T8
4.北京五中校本經(jīng)典題
P10T14 P32T4 P50T8 P57T11
5.北師大附屬實驗校本經(jīng)典題
P7T11 P7T16 P10T11 P11T4
P12T11 P31T11(2) P47T13 P47T14
P74T8 P85T17 P89T15 P98T12
P117T9 P120T7 P132T6
6.華師二附中校本經(jīng)典題
P3T13 P5T15 P10T8 P33T12 P48T6 P78T6 P81T16 P85T15(2) P85T16 P132T5
7.石家莊外國語校本經(jīng)典題
P3T16 P7T17 P10T15 P13T14
P15T2 P15T6 P23T14 P24T3
P37T5 P65T10 P74T12 P76T20
P87T13 P95T18 P98T11 P115T11
小專題5判定三角形全等的基本思路· 解題技巧專練34
小專題6全等三角形的基本模型 模型構(gòu)建專練36
周測 (14.1~14.2) 測試卷5
14.3角的平分線 38
第1課時 角的平分線的性質(zhì) 38
第2課時 角的平分線的判定 40
| 8.湖南师大附中校本经典题 | |||
| P22T9 | P28T8 | P29T13 | P39T12 |
| P49T14 | P77T6 | P81T17 | P86T1 |
| P89T16 | P94T12 | P101T7 | P119T15 |
| P125T11P139【例1】 | |||
| 9.教材新增习题变式 | ||
| P47T9 P74T5 | P75T10 | P79T7 |
| P79T12P86T5 | P110T5 | P110T6 |
| P117T12 P124T4 | ||
小專題7構(gòu)造全等三角形的常用輔助線·.· 解題技巧專練42
章末復(fù)習(xí)（二） 全等三角形 44考點針對練 \diamondsuit 核心素養(yǎng)提升練
單元測試(二) 全等三角形 測試卷7
”第十五章軸對稱
15.1 圖形的軸對稱 46
15.1.1 軸對稱及其性質(zhì) 46
15.1.2 線段的垂直平分線 48
第1課時 線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定 48
第2課時 作軸對稱圖形的對稱軸 50
15.2 畫軸對稱的圖形 51
第1課時 畫軸對稱的圖形· 51
第2課時 用坐標(biāo)表示軸對稱 52
周測 (15.1~15.2) 測試卷9
15.3 等腰三角形 54
15.3.1 等腰三角形 54
第1課時 等腰三角形的性質(zhì) 54
第2課時 等腰三角形的判定 56
小專題8角平分線十平行線 \rightarrow 等腰三角形—教材P81練習(xí)
T2變式 模型構(gòu)建專練58
小專題9分類討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用
解題技巧專練 59
小專題10 構(gòu)造等腰三角形的常用方法 模型構(gòu)建專練60
15.3.2 等邊三角形 62
第1課時 等邊三角形的性質(zhì)與判定 62
第2課時 含 {30}° 角的直角三角形的性質(zhì) 64
小專題11等腰三角形中常見的手拉手模型：多維變式專練66
周測(15.3) 測試卷11
章末復(fù)習(xí)(三) 軸對稱 68
考點針對練 \diamondsuit 核心素養(yǎng)提升練
新教材新趨勢
綜合與實踐 最短路徑問題/P70
期中復(fù)習(xí)專題 與三角形有關(guān)的證明 72
單元測試(三) 軸對稱 測試卷13
期中測試 測試卷15
"第十六章 整式的乘法
16.1冪的運算 74
16.1.1 同底數(shù)冪的乘法 74
索引
微專題索引
P13 微專題1 運用“飛鏢形”“8字形"求角度
P65 微專題2構(gòu)造含 {30}° 角的直角三角形的常見輔助線作法
P76 微專題3利用冪的乘方法則比較大小
P103微專題4利用“十字相乘法”分解因式
P113微專題5分式約分求值的幾種常用方法
P113微專題6 教你解決“ \scriptstyle{(1)/(x±{/{1){x}}}} ”型問題
P121微專題7利用整體思想求值
課標(biāo)理念題索引
1.開放性問題
P4T3 P34T4 P35T7 P100T3
P101T5 P108T9 P109T15 P126T2
P132T7
2.推理能力
P53T17 P121T13
| 3.真实情境 | |||
| P5T11 | P10T12 | P12T7 | P13T12 |
| P22T8 | P24T7 | P25T13 | P27T9 |
| P27T13 | P29T10 | P41T13 | P44T7 |
| P55T12 | P63T10 | P85T13 | |
| 4.综合与实践 |
| P21 P70 |
5.數(shù)學(xué)/傳統(tǒng)文化P19T16 P29T11 P74T11
6.閱讀理解
P101T12P109T17P112T12P127T16
7.跨學(xué)科
P19T15 P53T11 P124T12
16.1.2 冪的乘方與積的乘方· 75
小專題12 冪的運算法則的應(yīng)用 分類強化專練77
16.2 整式的乘法· 78
第1課時 單項式與單項式相乘· 78
第2課時 單項式與多項式相乘 79
第3課時 多項式與多項式相乘 80
第4課時 同底數(shù)冪的除法 82
第5課時 單項式除以單項式 83
第6課時 多項式除以單項式 84
周測 (16.1~16.2) 測試卷19
16.3 乘法公式 86
16.3.1 平方差公式 86
16.3.2 完全平方公式· 88
第1課時 完全平方公式 88
小專題13 完全平方公式的變形一 一教材P118習(xí)題T7的變式與應(yīng)用· 多維變式專練9
第2課時 添括號法則 91
小專題14 整式的化簡與求值· 分類強化專練92
周測(16.3) 測試卷21
章末復(fù)習(xí)(四) 整式的乘法…· 94
考點針對練 \diamondsuit 核心素養(yǎng)提升練
新教材新趨勢
楊輝三角 教材P118“閱讀與思考”變式/P96
數(shù)學(xué)活動1 月歷中的奧秘/P97
數(shù)學(xué)活動2 和為定值的兩數(shù)積的規(guī)律/P97
單元測試(四) 整式的乘法 測試卷23
"第十七章 因式分解
7.1用提公因式法分解因式 98
第1課時直接利用提公因式法分解因式(一) 98
第2課時直接利用提公因式法分解因式(二) 99
7.2用公式法分解因式 100
第1課時 運用平方差公式分解因式 100
第2課時 運用完全平方公式分解因式 101
第3課時 綜合運用公式法分解因式 102
小專題15 因式分解及其應(yīng)用 重點強化專練104
章末復(fù)習(xí)(五) 因式分解 105
考點針對練 \diamondsuit 核心素養(yǎng)提升練
新教材新趨勢
數(shù)學(xué)活動1 個位數(shù)字是5的兩位數(shù)的平方規(guī)律/P107
數(shù)學(xué)活動2 利用因式分解生成密碼/P107
單元測試(五) 因式分解 測試卷25
18.1分式及其基本性質(zhì) 108
18.1.1 從分?jǐn)?shù)到分式 108
18.1.2 分式的基本性質(zhì) 110
第1課時分式的基本性質(zhì) 110
第2課時分式的約分和通分 111
18.2分式的乘法與除法 114
第1課時 分式的乘法與除法·…· 114
第2課時分式的乘方及乘除混合運算 116
周測 (18.1~18.2) 測試卷27
18.3分式的加法與減法 118
第1課時 分式的加法與減法 118
第2課時 分式的混合運算 120
小專題16 分式的化簡與求值 分類強化專練122
18.4 整數(shù)指數(shù)冪 124
第1課時負整數(shù)指數(shù)冪· 124
第2課時用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù) 125
周測 (18.3~18.4) 測試卷29
18.5分式方程 126
第1課時分式方程及其解法· 126
小專題17 由分式方程根的情況確定字母的取值范圍 解題技巧專練128
第2課時 分式方程的實際應(yīng)用 129
小專題18 利用分式方程解決其他實際問題 分類強化專練131
章末復(fù)習(xí)(六) 分式 133
考點針對練 \diamondsuit 核心素養(yǎng)提升練
新教材新趨勢
數(shù)學(xué)活動 探究 x^{2}+{(1)/(x^{2)}} 取值的規(guī)律/P135
單元測試(六) 分式 測試卷31
"期末復(fù)習(xí)
期末復(fù)習(xí)(一) 三角形 136
期末復(fù)習(xí)(二) 全等三角形 139
期末復(fù)習(xí)(三) 軸對稱 142
期末復(fù)習(xí)(四) 整式的乘法 146
期末復(fù)習(xí)(五) 因式分解 149
期末復(fù)習(xí)(六) 分式 152
期末測試 (A卷) 測試卷33
期末測試(B卷) 測試卷37
附贈參考答案
第十三章 三角形
13.1 三角形的概念
基礎(chǔ)題
知識點1 三角形及其相關(guān)概念
1.下面是小強用三根火柴組成的圖形，其中符合三角形概念的是 （）
2.（教材P4習(xí)題T1變式）如圖所示，以 B C 為邊的三角形共有 （）
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
3.如圖，在 \triangle A B C 中， \angle B 的對邊是 ，在\triangle A B D 中， \angle B 的對邊是 ，在 \triangle A C D 中，邊 A C 的對角是
4.如圖所示.
(1)圖中共有 個三角 形，它們是
（2）線段AD是 △\bigtriangleup 的邊.
(3) \angle B 是 的角.
知識點2 三角形的分類
5.（教材P3圖改編）用 A 表示等邊三角形， B 表示等腰三角形， C 表示三邊都不相等的三角形，則下列四個分類圖中，能正確表示它們之間的關(guān)系的是 （）
6.（教材P3例變式）如圖，在 \triangle A B C 中， A B= A C,A D{=}C D{=}C B ,則圖中等腰三角形共有(
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
7.觀察下面的三角形，并把它們的標(biāo)號填入相應(yīng)的圈內(nèi).
8.（教材P3練習(xí)T2變式）如圖，在 \triangle A B C 中， \angle B A C 是銳角， A D\perp B C ，垂足為D ，點 \boldsymbol{E} 在線段 B D 上，則圖中的銳角三角形有 ；直角三角形有 ;鈍角三角形有
9.（教材P3練習(xí)T1變式）如圖， A B=B C= C A=D A ，且 B D=C D ，找出圖中的等腰三角形和等邊三角形.
易錯點 對三角形的分類不清晰致錯
10.下列說法：
① 三角形按邊分類可分為三邊都不相等的三角形、等腰三角形和等邊三角形；② 等邊三角形是特殊的等腰三角形；③ 等腰三角形是特殊的等邊三角形；④ 有兩邊相等的三角形一定是等腰三角形.其中正確的個數(shù)是 ( ）
A.1 B.2 C.3 D. 4
中檔題
11.若 \triangle A B C 的三邊長是 \scriptstyle a,b,c ,且滿足 \left|a-b\right|+ |{\boldsymbol{a}}-{\boldsymbol{c}}|=0 ，則 \triangle A B C 是 （）
A.鈍角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形
12.已知有一條公共邊的兩個三角形稱為一對“共邊三角形”，則圖中以 B C 為公共邊的“共邊三角形”有對.
(1)寫出以點 C 為頂點的三角形.
(2)寫出以 _{A B} 為邊的三角形.
(3)找出圖中的等腰三角形和等邊三角形.
15.（教材P3例變式）如圖，在 \triangle A B C 中， A B= \scriptstyle A C,B E=A E=D E=A D=C D.
13. A華師二附中校本經(jīng)典題 6個點按如圖所示的方式放置，相鄰兩點的距離相等.把這些點作為三角形的頂點，可以畫 個等邊三角形.
14. AI人大附中校本經(jīng)典題 如圖， A B=O A= O B{=}O C{=}O D{=}C D ，找出圖中的等腰三角形和等邊三角形.
綜合題
16. A石家莊外國語校本經(jīng)典題找規(guī)律，填空：
(1)請按照下列要求數(shù)出三角形的個數(shù).
① 邊 B C 上有1個點（圖1)，三角形的個數(shù)為 ；
② 邊 B C 上有2個點（圖2)，三角形的個數(shù)為 ；
③ 邊 B C 上有3個點（圖3)，三角形的個數(shù)為
(2)當(dāng)邊BC上有 \mathbf{\Psi}_{m} 個點（不含 B,C 兩點)時，圖形中三角形的個數(shù)為
13.2 與三角形有關(guān)的線段
13.2.1 三角形的邊
基礎(chǔ)題 《
知識點1 三角形的三邊關(guān)系
1.（2023·長沙）下列長度的三條線段，能組成三角形的是 ）
A.1,3,4 B.2,2,7
C.4,5,7 D.3,3,6
2.（2024·淮安）用一根小木棒與兩根長度分別為 3\cm,5\cm 的小木棒組成三角形，則這根小木棒的長度可以是 （）
A. 9\cm B.7 cm {C.2\cm} D.1 cm
3. 新考向 開放性問題如圖,為估計池塘兩岸A,B 間的距離，一位同學(xué)在池塘一側(cè)選取一點 P ，測得 P A=18~m,P B=16~m~ ，那么 A,B 之間的距離可以是 (填一個即可).
4.如圖，線段 _{A B} 和線段 A C 是 \triangle A B C 的兩條邊，點 D 在線段 _{A B} 上，點 E 在線段 A C 上，將 \triangle A B C 沿 D E 所在直線裁去一個角得到四邊形DBCE，則四邊形DBCE的周長（填“大于”“等于”或“小于”) \triangle A B C 的周長，理由是
5.已知一個三角形的一邊長為 9\cm ，另一邊的長為 3\cm ,第三邊的長為 x cm.
(1)求 x 的取值范圍.
(2)當(dāng)?shù)谌叺拈L為偶數(shù)時，求該三角形的周長.
(3)若第三邊是最長的邊，則 x 的取值范圍為
知識點2 三角形的穩(wěn)定性
6.下列圖形具有穩(wěn)定性的是 （
7.如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤AB可將其固定，這里所運用的幾何原理是
易錯點 沒有驗證是否滿足三角形的三邊關(guān)系致錯
8 A北京四中校本經(jīng)典題用一條長為 20\cm 的細繩圍成一個等腰三角形.(1)如果腰長是底邊長的2倍，那么各邊的長分別是多少？(2)能圍成有一邊長為 5~cm 的等腰三角形嗎？如果能，請求出它的另兩邊的長.
【變式1】（2024·鎮(zhèn)江）若等腰三角形的兩邊長分別為6和2，則第三邊的長為
【變式2】已知等腰三角形的一邊長為 8\cm 另一邊的長為 9\cm ，則該等腰三角形的周長為
中檔題
9.（教材P9習(xí)題T2變式)在長度分別為 2\cm ，3\cm,4\cm,5\cm 的線段中任意選擇三條，將它們首尾順次相接，組成的三角形有 （）
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
10.如圖，為使由五根木棒組成的架子不變形，至少還要在架子上釘上的木棒根數(shù)是（）
A.0 B.1 C.2 D.5
11. 新考向真實情境為方便勞動技術(shù)小組實踐教學(xué)，需用籬爸圍一塊三角形空地，現(xiàn)已連接好三段籬笆 A B,B C,C D ，這三段籬笆的長度如圖所示，其中籬笆 A B,C D 可分別繞軸BE和 C F 轉(zhuǎn)動.若要圍成一個三角形的空地，則在籬笆 _{A B} 上接上新的籬笆的長度可以為 （）
12.已知 _{a,b,c} 是一個三角形的三條邊長，化簡|a+c-b|-|a-b-c|=
13.（1)若等腰三角形的周長為 16~cm ，則腰長 x 的取值范圍為(2)在 \triangle A B C 中，若三條邊長均為整數(shù)，周長為11，且有一條邊長為4，則這個三角形最長邊可能取值的最大值是
14. A清華附中校本經(jīng)典題數(shù)學(xué)課本第21頁復(fù)習(xí)題的第3題如下：如圖1,填空：由三角形兩邊的和大于第三邊，得 A B+A D> ， P D+C D> .將不等式左邊、右邊分別相加，得 A B+A D+P D+C D> ，即 A B+A C>
(1)補全上面步驟.
(2)如圖2，過點 P 作直線交 A B,A C 于點M,N. 仿照圖1的方法，求證： A B+A C> P B+P C ：
綜合題
15. A華師二附中校本經(jīng)典題在平面內(nèi)，分別用3根、4根、5根、6根·…·火柴首尾順次相接（不能折斷，且需全部用完），能搭成什么形狀的三角形呢？小明通過嘗試，發(fā)現(xiàn)用3根、5根、6根火柴分別可以搭成一些三角形，如下表所示：
| 火柴数 | 3 | 5 | 6 |
| 示意图 | 2 2 | 2 | |
| 形状 | 等边三角形 | 等腰三角形 | 等边三角形 |
現(xiàn)在請你與小明一起繼續(xù)嘗試，并回答下列問題：
(1)用4根火柴能搭成三角形嗎？(2)用8根、12根火柴分別能搭成幾種不同形狀的三角形？請畫出它們的示意圖.
13.2.2三角形的中線、角平分線、高
基礎(chǔ)題
知識點1 三角形的中線與重心
1.如圖， A D 是 \triangle A B C 的中線，則 D 是線段的中點， B D= C D{=}{(1)/(2)}. ， {\cal S}_{\triangle A B D}= B D=(1)/(2) ·若 S_{\triangle A B D}=5 ，則S_{\triangle A B C}=\ I
2.已知三角形的三條中線交于一點，下列結(jié)論：① 這一點在三角形的內(nèi)部； ② 這一點有可能在三角形的外部； ③ 這一點是三角形的重心.其中正確的是 ．(填序號)
3.如圖， A D 是 \triangle A B C 的中線， A E 是 \triangle A B D 的中線.若 D E{=}3~cm ，則 E C=
知識點2 三角形的角平分線
4.如圖，在 \triangle A B C 中， A D,C E 是 \triangle A B C 的角平分線， \angle B A C=60° ， \angle A C E=40° ，則 \angle D A C= 。\* \angle B C E= 。， \angle A C B=
5.（教材P10習(xí)題T8變式）如圖， D 是 \triangle A B C 中邊 B C 上的一點， D E//A C 交 A B 于點 E 若 \angle E D A=\angle E A D ，求證： A D 是 \triangle A B C 的角平分線.
知識點3 三角形的高
6.如圖， A D 是 \triangle A B C 的邊 B C 上的高，則 A D 與 B C 的位置關(guān)系是 ， \angle A D B= Z
7.如圖，用三角板作 \triangle A B C 的邊 _{A B} 上的高，下列三角板的擺放位置正確的是 ）
8.如圖，在 \triangle A B C 中， \angle A C B=90° ，
(1)圖中邊 B C 上的高為 ，邊 A C 上的高為
(2)畫出邊 A B 上的高 C D ，
(3)若 B C=3,A C=4,A B=5 ，求邊 _{A B} 上的高 C D 的長.
9.如圖，已知 \triangle A B C ，試作出 \triangle A B C 的三條高.
思考：
(1)從圖中可以看出，鈍角三角形有 條高在三角形的外部，條高在三角形的內(nèi)部.
(2)延長 \triangle A B C 的三條高，發(fā)現(xiàn)三條高所在的直線 (填“交”或“不交")于一點.
易錯點1對三角形的中線、角平分線、高的概念理解不清
10.下列說法正確的是 .(填序號)
① 三角形的角平分線是射線；
② 三角形的三條角平分線都在三角形的內(nèi)部,且相交于一點；
③ 三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部；
④ 三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分.
易錯點2 無法正確找到對應(yīng)邊的高
11. A|北師大附屬實驗校本經(jīng)典題如圖，在 \triangle A B C 中,邊BC上的高是 ，邊 _{A B} 上的高是；在 \triangle B C E 中，邊BE上的高是，邊 E C 上的高是 ；在 \triangle A C D 中，邊 A C 上的高是 ，邊 C D 上的高是
中檔題
12.如圖，在 \triangle A B C 中， \angle1=\angle2,G 為 A D 的中點，連接BG并延長，交 A C 于點 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{E}}} ，過點 c 作 C H\bot A D 于點 H ，延長 C H 交 A B 于點F .下列說法錯誤的是 （）
A. A D 是 \triangle A B C 的角平分線B. C H 是 \triangle A C D 的邊 A D 上的高線C. A H 是 \triangle A C F 的角平分線和高線D. B E 是 \triangle A B D 的邊 A D 上的中線
13.如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點 A,B,C,D,E,F,G 均在小正方形的頂點上，則 \triangle A B C 的重心是 （）
A.點 G B.點 D C.點 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{E}}} D.點 F
14.如圖，在 \triangle A B C 中， D,E 分別是邊 B C ， A B 的中點.若 \triangle A B C 的面積等于8，則 \triangle B D E 的面積等于
15.下圖是甲、乙、丙三位同學(xué)的折紙示意圖（折 疊后點 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{C}}} 落到點 C^{\prime} 處).
(1)折出的 A D 是邊 B C 上的中線的是(2)折出的 A D 是邊 B C 上的高的是(3)折出的 A D 是 \angle B A C 的平分線的是
16. A北師大附屬實驗校本經(jīng)典題一個缺角的三角形殘片如圖所示.(1)不恢復(fù)這個缺角，你能畫出邊 _{A B} 上的高所在的直線嗎？你是如何畫的？依據(jù)是什么？
(2）小明分別畫出 \angle A 和 \angle B 的平分線，兩線相交于點 D ，又找到邊 A B 的中點 E ，作直線 D E ，小明說他畫出了第三個角的平分線所在的直線.你認(rèn)為他說得對嗎？為什么？
綜合題
17. A|石家莊外國語校本經(jīng)典題如圖，在△ABC中， A B{=}A C,B E 是腰 A C 上的中線.
(1)若 A B{>}B C ，則 \triangle A B E 的周長與 \triangle B E C 的周長之差為
(2)若 \triangle A B E 的周長比 \triangle B C E 的周長多2，且 A B 與 B C 的和為10，求 A B,B C 的長.
(3)若 \triangle A B C 的周長為 20\cm,B E 將 \triangle A B C 分成周長差為 4\cm 的兩部分，求 \triangle A B C 的邊長.
小專題1三角形的中線、高線的運用
類型 ^1 利用中線解決面積問題
1.如圖， A D 是 \triangle A B C 的中線， E 是 A D 的中點，連接 B E,C E. 若 \triangle A B C 的面積是8,則陰影部分的面積為 （）
A.2 B.4 C.6 D.8
2.如圖，在 \triangle A B C 中，已知 D,E,F 分別為 B C ，A D,C E 的中點.
(1)若 S_{\triangle A B C}=1 ，則 {\cal S}_{\triangle B E F}= (2)若 S_{\triangle B F C}=1 ，則 \begin{array}{r l}{S_{\triangle A B C}=}&{{}}\end{array}
3.【轉(zhuǎn)化思想】如圖， D,E 分別是 \triangle A B C 的邊A B,B C 上的點， A D=2B D ， B E=C E ，設(shè)\triangle A D F 的面積為 S_{1} _1\r,\triangle C E F 的面積為 S_{2} .若S_{\triangle A B C}=6 ，求 S_{1}{-}S_{2} 的值.
歸納
在三角形中，若遇到三角形的中線，就能得到兩條相等的線段；三角形的任意一條中線能把三角形分成面積相等的兩部分.
類型2 三角形高線的應(yīng)用
題型1等面積法在三角形高線問題中的應(yīng)用
4.教材母題：（教材P10習(xí)題T7)如圖，在 \triangle A B C 中，若 A B{=}2,B C{=}4 ，則 \triangle A B C 的高 A D 與 C E 的比是 .（提示：利用三角形的面積公式）
【變式】如圖， A B\bot B D 于點 B,A C\bot C D 于點 C ，且 A C 與 B D 相交于點 E .已知 A E{=}5 ，D E{=}2,C D{=}(9)/(5) 號,則AB 的長為
歸納
在三角形的兩條邊和這兩條邊上的高這四個量中，已知其中的三個量，可用等面積法求第四個量.
5.如圖，在 \triangle A B C 中， A B=A C ， D E\bot A B ，D F\bot A C,B G\bot A C ，垂足分別為 E,F,G. 求證： D E+D F=B G
歸納
遇到垂線時，先觀察垂線在不在某個三角形中，若不在，需要連接輔助線，將垂線放到一個三角形中去，然后利用三角形的面積進行換算.
題型2分類討論思想在高線問題中的應(yīng)用
6.已知 A D 是 \triangle A B C 的高， \angle B A D=60° \angle C A D=20° ，則 \angle B A C=
7.已知 A D,A E 分別是 \triangle A B C 中邊 B C 上的高和中線，且 A D=6,E D=3,C D=2 ，求 \triangle A B C 的面積.
歸納
涉及三角形高的問題時，如果題目沒有給出圖形，一定要畫出圖形，然后分類討論.
13.3 三角形的內(nèi)角與外角
13.3.1 三角形的內(nèi)角
第1課時三角形的內(nèi)角和
基礎(chǔ)題
知識點1 三角形的內(nèi)角和定理
1.（教材P16習(xí)題T1變式）寫出下列圖形中 x 的值.
2.在一個三角形中，三個內(nèi)角之比為 1:2:6 ，則這個三角形的形狀是 ( ）
A.鈍角三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.無法確定
3.（教材P13練習(xí)T2變式)如圖，點 \mathbf{\nabla}_{E},D_{\mathbf{\nabla}} 分別在^{A B,A C} 上，若 \angle B=30° ， \angle C=55° ，則 \angle1+\angle2 的度數(shù)為 （）
A. 85° B. {80}° C.75° D. {70}°
4.（教材P16習(xí)題T3變式）在 \triangle A B C 中， \angle B 比 \angle A 大 20°,\angle C 比 \angle B 大 {20}° 求 \triangle A B C 的各內(nèi)角的度數(shù).
5.為了證明“三角形的內(nèi)角和是 180^{\circ,\mathfrak{r}} ，林老師給出了如圖所示四種作輔助線的方法：
回答下列問題：
(1)圖1、圖2在證明三角形內(nèi)角和的過程中應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想是
A.轉(zhuǎn)化思想 B.整體思想C.方程思想 D.數(shù)形結(jié)合思想(2)請選用圖3或圖4證明三角形的內(nèi)角和是{180}°
知識點2三角形的內(nèi)角和定理與三角形的角平分線、平行線的綜合
6.（教材P12例1變式）如圖，在 \triangle A B C 中， A D 平分 \angle B A C ， \angle B=70° ， \angle B A D=30° ，則 \angle C 的度數(shù)為 ）
A. 35° B.40° C.45° D. 50°
7.（2023·徐州）如圖，在 \triangle A B C 中，若 D E //B C,F G//A C \angle B D E=120° ， \angle D F G=115° ，則 \angle C=
知識點3 三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用
8. A華師二附中校本經(jīng)典題 如圖，這是一個建筑工地的三角形支撐架ABC，它的上部\angle A C B 被一個長方形鋼架遮擋，測量得\angle A=60° ， \angle B=80° ,則被遮擋的 \angle A C B 的度數(shù)為 ( ）
A. {30}° B. 40° C.50° D. {60}°
9.（教材P12例2變式）如圖， B 島在 A 島的南偏西 55° 方向， B 島在 C 島的北偏西 {60}° 方向，C 島在 A 島的南偏東 {30}° 方向，則從 B 島看 ^{A,C} 兩島的視角 \angle A B C 的度數(shù)為
中檔題
10.如圖，在 \triangle A B C 中， P 是 \triangle A B C 三條角平分線的交點，則 \angle P B C+\angle P C A+\angle P A B=( ）
A. 45° B. {120}° C. {180}° D. 90°
11. A|北師大附屬實驗校本經(jīng)典題如圖，在 \triangle A B C 中， \angle A=70° ， \angle C=30° ， B D 平分 \angle A B C 交A C 于點 D,D E//A B ，交 B C 于點 \boldsymbol{E} ，則\angle B D E 的度數(shù)是 ( ）
A. {30}° {B},{40}° C.50° D. {60}°
12. 新考向真實情境（本課時T8變式)如圖，直線 {\mathbf{α}}_{a,b} 相交所成的角跑到畫板外面了，某同學(xué)發(fā)現(xiàn)只要量出畫板的邊 \mathbf{\xi}_{l} 分別與直線{a,b} 相交所形成的角的度數(shù)就可求得該角.已知 \angle1=71° ， \angle2=78° ，則直線 {a,b} 相交所形成的銳角的度數(shù)為
13.（2023·十堰）將一副三角板按如圖所示的方式放置（ \angle C=30° ， \angle D=45° ，點 A 在 D E 上，點 F 在 B C 上．若 \angle E A B=35° ，則\angle D F C=
14. A北京五中校本經(jīng)典題如圖，在 \triangle A B C 中，O 是 \triangle A B C 角平分線的交點.已知 \angle A B C= {60}° ， \angle A C B=80° ，求 \angle B O C 的度數(shù).
【拓展變式1】如圖，在\triangle A B C 中， B E,C D 為角平分線，且交點為 O. 若\angle B O C=120° ，則 \angle A 的度數(shù)為
【拓展變式2】試猜想上題中 \angle A 與 \angle B O C 的數(shù)量關(guān)系：若 \angle A=α ，則 \angle B O C 的度數(shù)為
綜合題
15. A石家莊外國語校本經(jīng)典題如圖， \triangle A B C 是一張紙片，把 \angle C 沿 D E 折疊，使點 C 落在點C^{'} 的位置.
(1)當(dāng) \angle C=45° 時，求 \angle1+\angle2 的度數(shù).(2)若 \angle C=α ,請直接寫出 \angle1+\angle2 的度數(shù).（用含 α 的代數(shù)式表示)
第2課時直角三角形的兩個銳角互余
基礎(chǔ)題
知識點1 直角三角形的兩個銳角互余
1.如圖，在 Rt\triangle A B C 中， \angle C=90° ， \angle B=56° 則 \angle A 的度數(shù)為 ( ）
A. 34° B. {44}° C.124° D. 134°
2.如圖，某同學(xué)將一塊三角板疊放在直尺上，則\angle1+\angle2= （）
A. {60}° B. 75° C.90° D. 105°
3.（1)一個直角三角形的兩個銳角相等，則這兩個相等的銳角的度數(shù)為(2)在 \triangle A B C 中，已知 \angle A=90° ，且 \angle B- \angle C=20° ，則 \angle C 的度數(shù)為
A北師大附屬實驗校本經(jīng)典題已知：如圖，在Rt\triangle A B C 中， \angle A C B=90° ， C D\bot A B ，垂足為D .求證： \angle A=\angle D C B
知識點2有兩個角互余的三角形是直角三角形
5.已知 \angle A=37° \angle B=53° ，則 \triangle A B C 為 1
A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.以上都不對
6.（教材P14練習(xí)T2變式）如圖， E 是 \triangle A B C 的邊 A C 上的一點，過點 E 作 E D\perp A B ，垂足為 D .若 \angle1=\angle2 ，則 \triangle A B C 是直角三角形嗎？為什么？
易錯點 直角三角形中的直角頂點不確定導(dǎo)致漏解
7.如圖，已知 \angle A O D=30°,C 是射線 O D 上的一個動點.在點 C 運動的過程中，當(dāng) \triangle A O C 恰好是直角三角形時， \angle A 的度數(shù)為
中檔題
8.（教材P21復(fù)習(xí)題T1變式）下列條件： ①\angle A+ \angle B=\angle C;②\angle A:\angle B:\angle C=5:3:2; ③\angle A= 90°-\angle B;\mathbb{\oplus}\angle A=2\angle B=3\angle C; ⑤\angle A= {(1)/(2)}\angle B={(1)/(3)}\angle C. C.其中能確定△ABC 是直角三角形的有 ( ）
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
9.如圖，在 \triangle A B C 中， \angle A C B=90° ，將 \triangle A B C 沿 C D 折疊，使點 B 恰好落在邊 A C 上的點 E 處.若 \angle A=24° ，則 \angle E D C=
綜合題
10. A人大附中校本經(jīng)典題如圖1，在 \triangle A B C 中，A D\bot B C 于點 D,C E\bot A B 于點 E.
(1)猜測 \angle1 與 \angle2 的大小關(guān)系，并說明理由.
(2)如圖2,如果 \angle A B C 是鈍角，其余條件不變，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.
13.3.2 三角形的外角
基礎(chǔ)題
知識點1 三角形的外角
1.圖中， \angle1 是△ABC的外角的是
知識點2 三角形的外角的性質(zhì)
2.如圖， \boldsymbol{B},\boldsymbol{C},\boldsymbol{D} 三點在同一條直線上， \angle B= 56° ， \angle A C D=120° ，則 \angle A 的度數(shù)為（）
A.56° {B},{64}° C.60° D. 76°
3.將一副三角板拼成如圖所示的圖形，則\angle D A C 的度數(shù)為 ）
A. {60}° B. 75° C.90° D. 105°
4.如圖，在 \triangle A B C 中， C E 是外角 \angle A C D 的平分線，且 \angle B=28° ， \angle A C E=62° ，則 \angle B A C 的度數(shù)為 ( ）
A. 90° B. 96° C.106° D. 124°
5.如圖，已知直線 l_{1},l_{2},l_{3} 兩兩相交,且 l_{1}\perp l_{3} 若 \angleα=50° ，則 \angleβ 的度數(shù)為
6.（教材P16習(xí)題T1變式）在如圖所示的三角形中， x 的值是
7. 新考向真實情境如圖，這是一臺放置在水平桌面上的電腦顯示屏，將其側(cè)面抽象成平面幾何圖形，測得 \angle A C D=120° ， \angle A B C= 2\angle B A C ，則 \angle A B C=°
8.如圖，在 \triangle A B C 中， \angle B=\angle C, A D 平分\triangle A B C 的外角 \angle E A C. 求證： A D//B C ，
知識點3 三角形的外角和
歸納：三角形的外角和等于
9.（教材P15例4變式)如圖， \angle B A E,\angle C B F,\angle A C D 是 \triangle A B C 的三個外角.若 \angle A C D=125° ，則 \angle B A E+ <CBF=
易錯點 對三角形的外角的性質(zhì)理解不清致錯
10.下列說法錯誤的是
A.一個三角形中至少有兩個銳角B.一個三角形中，一個外角大于任意一個內(nèi)角C.直角三角形的外角不可能是銳角D.若三角形有一個外角為銳角，則這個三角形一定是鈍角三角形
中檔題
11. A北師大附屬實驗校本經(jīng)典題如圖，在△ABC中，點 D 在邊 A C 上(不與端點重合），連接BD.則 \angle1,\angle2,\angle3 的大小關(guān)系是 ( ）
A. \angle1<\angle2<\angle3
B. \angle1<\angle3<\angle2
C. \angle3<\angle2<\angle1
D. \angle2<\angle1<\angle3
12. 新考向真實情境如圖，這是一臺起重機的工作簡圖，前后兩次吊桿位置 O P_{1},O P_{2} 與吊繩的夾角分別是 {30}° 和 {70}° ，則吊桿前后兩次的夾角 \angle P_{1}O P_{2}= （）
A. {60}° B.50° C. {40}° D. {30}°
13.如圖，在 \triangle A B C 中， \angle A B C=40° ， \angle A C D= 76° ， B E 平分 \angle A B C,C E 平分 \triangle A B C 的外角\angle A C D ，則 \angle E=\_
14. A石家莊外國語校本經(jīng)典題如圖，在 \triangle A B C 中， D 為 A C 延長線上一點， E 為邊 A B 上一點，連接 D E 交BC于點 F .已知 \angle B C D= 92° ” \angle A=27° ， \angle B E D=44° ，求 \angle B F D 的度數(shù).
綜合題
15.如圖，在 \triangle A B C 中， \angle A C B>\angle B,A D 平分\angle B A C,P 為線段 A D 上的任意一點， E P\perp A D 交直線 B C 于點 E ，
（1）若 \angle B=36° ， \angle A C B=78° ，則 \angle E=
（2）當(dāng)點 P 在線段 A D 上運動時，求證：\angle E=(1)/(2)(\angle A C B-\angle B).
微專題1 運用“飛鏢形”"8字形”求角度
以題明法
常用的兩個基本圖形公式：
飛鏢形結(jié)論：如圖1， \angle B O C=\angle B A C+\angle B+ \angle C.
推理過程：如圖1，連接 ^{A O} 并延長至點 D_{\bullet} ： \angle B O D=\angle B+ ， \angle C O D=\angle C+ ZBOC=/BOD+/COD= 還可以延長 B O 交 A C 于點 E 得出此結(jié)論，試 試看吧！
8字形結(jié)論：如圖2， \angle A+\angle B=\angle C+\angle D ， 推理過程：如圖2， \angle A O C=\angle A+ \angle A O C=\angle C+ ·ZA+ ZC+
還可以根據(jù) \angle A+\angle B+\angle A O B=\angle C+\angle D=\angle \angle C O D 得出此結(jié)論，試試看吧！
針對訓(xùn)練
1.如圖， A B,C D 相交于點 O ，連接 A D,B C. 若 \angle A=43° ， \angle D=57° ， \angle C=37° ，則 \angle B 的度 數(shù)為
2.如圖， C E 平分 \angle A C D ，交 _{A B} 于點 \phantom{+}E. 若 \angle A=\mathit{\Theta} {40}° \angle B=30° ， \angle B D C=110° ，則 \angle B E C 的度數(shù) 為
3. A|人大附中校本經(jīng)典題如圖，A十B十 \angle C+\angle D+\angle E=
小專題2三角形的角平分線、高線的夾角模型
母題： A清華附中校本經(jīng)典題 如圖，在\triangle A B C 中， A D,A E 分別是 \triangle A B C 的角平分線和高線， \angle A B C=α ， \angle A C B=β(α<β)
(1)若 α{=}35° ， β=55° ，則 \angle D A E=
(2)小明說：“無需給出 α,β 的具體數(shù)值，只需確定 β 與 α 的差值，即可確定 \angle D A E 的度數(shù).”請通過計算驗證小明的說法是否正確.
變式角度1高線在三角形外部，與三角形的角平分線經(jīng)過三角形的同一個頂點
變式角度2過角平分線上一點（不含端點）作該角所對邊的垂線
1.如圖，在 \triangle A B C 中， \angle B=20° ， \angle A C B=110° ，A E 平分 \angle B A C,A D\perp B D 于點 D ，求 \angle D A E 的度數(shù).
2.如圖，在 \triangle A B C 中， \angle B<\angle C A D 平分\angle B A C,E 為 A D （不與點 A,D 重合)上任意一點， E F\bot B C 于點 F. 若 \angle B=46° ， \angle D E F=14° ，求 \angle C 的度數(shù).
變式角度3過角平分線的延長線（或反向延長 線）上一點作該角所對邊的垂線
3.如圖，在 \triangle A B C 中，點 D E 在邊 B C 上， A D 平分\angle B A C,F 為 D A 延長線上一點， F E\bot B C ， \angle B= 35° ， \angle C=65° ，則 \angle D F E 的度數(shù)為
4.如圖，在 \triangle A B C 中， \angle B>\angle C, A E 平分\angle B A C ，在 A E 的延長線上任取一點 M ，過點M 作 M D\perp B C 于點 D ，則 \angle M=(1)/(2)\thinspace(\angle B- \angle C) 成立嗎？試說明理由.
小專題3 利用數(shù)學(xué)思想方法求角度
類型1 方程思想
方法舊納
當(dāng)問題中角度關(guān)系較為復(fù)雜時，可通過設(shè)元，尋找已知與未知間的等量關(guān)系，構(gòu)造方程實現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)化.
1. A|清華附中校本經(jīng)典題如圖，在 \triangle A B C 中，\angle C=\angle A B C=(3)/(2)\angle A,B D 是邊 A C 上的高.求 \angle D B C 的度數(shù).
3.小明把一副含 {45°,30°} 的直角三角板按如圖所示的方式擺放，其中 \angle C= \angle F=90°,\angle A=45°, \angle D=30° ,則 \angleα+\angleβ= 類型3 轉(zhuǎn)化思想
方法舊納
轉(zhuǎn)化思想是把一個未知（待解決）的問題化為已解決的或易于解決的問題來解決.（常常可以運用“8字形”進行導(dǎo)角）
4.如圖， \angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E 的度數(shù)為【變式】如圖，在 \triangle A B C 中，若B D 是 \triangle A B C 的角平分線，且\angle1=\angle A ， \angle2=\angle C ，則 \angle A 的度數(shù)為
類型2 整體思想
方法歸納
當(dāng)題目中的條件或結(jié)論是以某幾個元素的整體呈現(xiàn)時，則可以將其視為一個整體，運用整體思想求值.
2. A石家莊外國語校本經(jīng)典題如圖所示，已知\angle E C A ， \angle D A C 分別是△ABC的兩個外角.
(1)若 \angle B=50° ，求 \angle E C A+\angle D A C 的度數(shù).(2)若 \angle B=α ，請用含 α 的代數(shù)式表示 \angle E C A+ \angle D A C 的度數(shù).(直接寫出結(jié)果)
5.小慧一筆畫成了如圖所示的圖形，若 \angle A= {60}° ，則 \angle B+\angle C+\angle D+\angle E= ）
A. {180}° B.240° C. 270° D. 300°
類型4 分類討論思想
方法舊納
當(dāng)圖形的形狀或位置不明確，可能出現(xiàn)不同情況時，則需要根據(jù)可能出現(xiàn)的情況分類討論求解.
6 A|石家莊外國語校本經(jīng)典題 |{\triangle A B C}\rvert 的一個內(nèi)角為 {40}° ，且 \angle A=\angle B ，則 \angle C 的外角度數(shù)是
7.如圖，在 \triangle A B C 中， \angle C= 90°,\angle B=34° ，點 M,N 分別在邊 A B ， B C 上，將\triangle B M N 沿 M N 折疊，使點
B 落在直線 \vert A C\vert 上的點 \boldsymbol{B^{\prime}} 處.當(dāng) \triangle A B^{\prime}M 為直角三角形時， \angle B N M 的度數(shù)為
小專題4三角形中內(nèi)、外角平分線的常見模型
模型舊納
【模型1】兩內(nèi)角平分線的夾角
【條件】 BP平分 \angle A B C ，C P 平分 \angle A C B
【模型2】一內(nèi)角平分線與一外角平分線的夾角
【模型3】兩外角平分線的夾角
【條件】 B P 平分ZABC,CP平分 \angle A C D
【結(jié)論】 \angle P=90°+{(1)/(2)}\angle A
【條件】 B P 平分 \angle D B C,C P 平分 \angle B C E
【結(jié)論】 \angle P=(1)/(2)\angle A
【結(jié)論】 \angle P=90°-{(1)/(2)}\angle A
模型探究
母題 兩內(nèi)角平分線的夾角
【例】（教材P22復(fù)習(xí)題T8節(jié)選）如圖，\triangle A B C 的 \angle A B C 和 \angle A C B 的平分線 B E,C F 相交于點 G 求證： \angle B G C=90°+{(1)/(2)}\angle A
變式角度2 兩外角平分線的夾角
【變式2】如圖所示， P 是 \triangle A B C 的兩個外角 \angle E B C 和 \angle F C B 的平分線的交點，試探究\angle P 與 \angle A 之間的數(shù)量關(guān)系.
變式角度1一內(nèi)角平分線與一外角平分線的夾角
【變式1】如圖所示， P 是 \triangle A B C 的內(nèi)角\angle A B C 和外角 \angle A C D 的平分線的交點，試探究\angle P 與 \angle A 之間的數(shù)量關(guān)系.
變式角度3 三等分線
【變式3】如圖，已知 \angle P B C=(1)/(3)\angle D B C \angle P C B=(1)/(3)\angle E C B ，試探究 \angle B P C 與 \angle A 之間的數(shù)量關(guān)系.
模型識別與運用
1.如圖，在 \triangle A B C 中， B O,C O 分別平分 \angle A B C ，\angle A C B,C E 為外角 \angle A C D 的平分線，交 B O 的延長線于點 \boldsymbol{E} ，記 \angle B A C=\angle1 ， \angle B E C= \angle2 ,則下列結(jié)論中錯誤的是 ( ）
A. \angle1=2\angle2 B. \angle B O C=3\angle2 C.\angle B O C=90°+{(1)/(2)}\angle1 D. \angle B O C=90°+\angle2
2.如圖，在 \triangle A B C 中， \angle A B C,\angle A C B 的三等分線分別對應(yīng)交于點 E,D. 若 \angle E=90° ，則\angle B D C 的度數(shù)為 ” \angle A 的度數(shù)為
3.如圖， \triangle A B C 的兩條內(nèi)角平分線 B O,C O 相 交于點 O ，兩條外角平分線 B P,C P 相交于點 P .已知 \angle B O C=120° ，則 \angle P=\_
A清華附中校本經(jīng)典題【問題背景】已知 \angle M O N=90° ，點 A,B 分別在 O M,O N 上運動（不與點 \mid O 重合).
【問題思考】
(1)如圖1所示， A E,B E 分別是 \angle B A O ，\angle A B O 的平分線，隨著點 A,B 的運動，求\angle A E B 的度數(shù).
(2)如圖2所示， B C 是 \angle A B N 的平分線， B C 的反向延長線與 \angle B A O 的平分線交于點D .如果 \angle M O N=α ，其余條件不變，隨著點 A,B 的運動，求 \angle D 的度數(shù).（用含 α 的式子表示)
章末復(fù)習(xí)(一) 三角形
考點針對練
考點1 三角形的概念
1.如圖，在 \triangle A B C 中， A B= B C=A C,B D\bot A C ，垂足為D ，點 \boldsymbol{E} 在邊BC的延長線上，且有 C E=C D,D B=D E (1)以點 c 為頂點的三角形有；以 C D 為邊的三角形有
(2)圖中的等腰三角形有;等邊三角形有(3)圖中的直角三角形有鈍角三角形有
考點2 三角形的邊
2.（2024·西寧）若長度分別為 3,6,a 的三條線段能組成一個三角形，則整數(shù) \scriptstyle a 的值可以是.(寫出一個即可)
3.（2024·南充期末）如圖，人字梯中間一般會設(shè)計一根“拉桿”，這樣做所蘊含的數(shù)學(xué)原理是 C ）
A.三角形具有穩(wěn)定性B.兩點確定一條直線C.垂線段最短D.兩點之間線段最短
4.（2024·南充期末）已知 {a,b,c} 是 \triangle A B C 的三邊長，則化簡 |a-b-c|-|c-a+b| 的結(jié)果為Y ）
A. 2a-2b-2c B,2a+2b C. -2c D.0
考點3三角形的中線、角平分線、高
5.（2024·南充嘉陵區(qū)期末）如圖，已知 D 是 B C 的中點， A E,A F 分別是 \triangle A B C 的角平分線、高線，則下列結(jié)論正確的是 ( ）
A. A D{=}C D B.\angle C A E{=}{(1)/(2)}\angle B A C C. \angle A E B=90° I ).D F{=}C F
6.（2024·瀘州合江縣月考）如圖，在 \triangle A B C 中，A B=8,A C=10,D 是邊BC的中點，連接A D. 若 \triangle A C D 的周長為20，則 \triangle A B D 的周長為 （）
A.18 B. 22 C.28 D.38
考點4三角形的內(nèi)角與外角
7.（2024·瀘州龍馬潭區(qū)期中）如圖， _{A B} 和 \boldsymbol{C D} 相交于點 O,\angle A=\angle C ,則下列結(jié)論中不一定正確的是 ( ）
A. \angle B=\angle D B. \angle1=\angle A+\angle D
C. \angle2>\angle D D. \angle C=\angle D
8.（2023·聊城）如圖，分別過△ABC的頂點 A ，B 作 A D//B E. 若 \angle C A D=25° ， \angle E B C=80° ，則 \angle A C B 的度數(shù)為 ( ）
A. 65° B,75° C.85° D. 95°
9.將一副三角板按照如圖所示的方式擺放，點C,B,E 共線， \angle F E B=65° ，則 \angle E D B 的度數(shù)為 （）
A. 18° B. 15° C.12° D. {10}°
10.（2024·涼山州）如圖，在 \triangle A B C 中，已知\angle B C D=30° ， \angle A C B=80°,C C D 是邊 _{A B} 上的高， A E 是 \angle C A B 的平分線，則 \angle A E B 的度數(shù)是
11.（2024·南充白塔中學(xué)月考）定義：若三角形中一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，則稱這個三角形為“倍角三角形”.已知 \triangle A B C 是“倍角三角形”，其中一個角為 {30}° ，則 \triangle A B C 中最大角的度數(shù)為
12.如圖，這是可調(diào)節(jié)躺椅的示意圖（數(shù)據(jù)如圖）， A E 與B D 的交點為 C ，且 \angle C A B ，\angle C B A,\angle E 保持不變.為了舒適，需調(diào)整 \angle D 的大小，使 \angle E F D= {{110}°} ,則圖中 \angle D 應(yīng) （填“增加”或“減少”) .(填度數(shù))
13.（2024·瀘州瀘縣期中）在 \triangle A B C 中， \angle B ，\angle C 均為銳角且不相等，線段 A D 是 \triangle A B C 中邊 B C 上的高， A E 是 \triangle A B C 的角平分線，(1)如圖1,若 \angle B=70° \angle C=30° ，求 \angle D A E 的度數(shù).
(2)若 \angle B=x° ， \angle D A E=10° ，則 \angle C 的度數(shù) 為 .（用含 x 的代數(shù)式表示)
(3)若 F 是射線 A E 上一動點， G,H 分別為線段 A B,B C 上的點（不與端點重合），將\triangle B G H 沿 G H 折疊，使點 B 落到點 F 處，如圖2所示，請求出 \angle1 ， \angle2 與 \angle B 之間的數(shù)量關(guān)系.
核心素養(yǎng)提升練《
14.（2023·衢州）如圖，這是脊柱側(cè)彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角 \angle O 的大小，需將 \angle O 轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與 \angle O 相等的角是 ( ）
A.BEA B.DEB C.ZECA D.ZADO
15. 新考向跨學(xué)科實踐小組利用激光筆和平面鏡演示平行光的反射實驗.如圖，一組平行光線 {\mathbf{\omega}}_{a,b,c} 經(jīng)過平面鏡反射后得到一組互相平行的反射光線.若 \angle1=\angle2=65° ，則 \angle3 的度數(shù)為?
16. 新考向數(shù)學(xué)文化（2023·株洲）《周禮·考工記》中記載：“.….…·半矩謂之宣（xuan），一宣有半謂之（zhu).….."意思是：“.....·直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作·…··.."
(1宣 =(1)/(2) 矩，1橘 =1{(1)/(2)} 宣,1矩=90°)問題：圖1為中國古代一種強弩圖，圖2為這種強弩圖的部分組件的示意圖.若 \angle A= 1矩， \angle B=1 橘，則 \angle C=
數(shù)學(xué)活動
數(shù)學(xué)活動1 搭等邊三角形
| 活动 主题 | 搭等边三角形 |
| 素材 准备 | 如图，等长的磁力棒9根. |
| 活动 内容 | 我们知道，三角形有三条边，因此用3根等长的 磁力棒可搭成1个等边三角形，那么如何用最少 的磁力棒，搭出最多的等边三角形呢？ |
| 活 动 | 用6根磁力棒最多可搭出多少个等边三角形？ (1)小明在桌面上进行尝试，他搭成了两个等边 三角形(如图1). 图1 图2 图3 他发现两个三角形共用1条边，就能省出1根磁 力棒（如图2).如果能像图3那样，把最远的两个 顶点连起来就太好了！但那根长度不一样，怎么 解决呢？搭成立体结构，就能实现，试一试吧！ 用9根磁力棒最多可搭出多少个等边三角形？ |
| 活 动 二 | (2)小明先搭出如图4所示 的平面结构，发现只有5个 等边三角形.若搭成立体结 构，能否增加等边三角形的 个数？试一试吧！ 图4 |
| 活 动 三 | 忽略磁力棒的粗细（即把磁力棒看作线段)，能否 搭出更多的等边三角形？ (3)小萌尝试把图1中的两个三角形起来，果然 6根磁力棒能产生更多的等边三角形，试一试吧！ (4)借助(1)和(3)的经验，你能用9根磁力棒搭 出更多的等边三角形吗？试一试吧！ |
請根據(jù)上述材料，畫出相應(yīng)的示意圖，并完成下表.
| 序号 | (1) | (2) | (3) | (4) |
| 示意图 | ||||
| 等边三角 形个数 |
數(shù)學(xué)活動2 多邊形的三角剖分
已知：把一個多邊形用連接它的不相鄰頂點的線段(這些線段不在多邊形內(nèi)部相交)劃分為若干個三角形，叫作多邊形的三角剖分.如圖所示的是七邊形的三角剖分的幾種方法.
(1)請畫出六邊形的一種三角剖分方法，并指出能剖分出多少個三角形.
(2)對于一個 n 邊形的一種三角剖分，若這些三角形的內(nèi)角總和是 {1~800}° ，求 n 的值.
(3)一個多邊形，往往有多種方法進行三角剖分.記 n 邊形三角剖分的方法數(shù)為 D_{n} ，則當(dāng)n≥3時，D (D_{n+1})/(D_{n)}=(4n-6)/(n) 6.已知 Ds=1,求五邊形的三角剖分方法數(shù) D_{5}
綜合與實踐 確定勻質(zhì)薄板的重心位置
活動1確定簡單平面圖形的重心位置
1.對于一個形狀規(guī)則的勻質(zhì)長方形薄板，其重心位置在 （）
A.長方形的任意一個頂點處B.長方形兩條對角線的交點處C.長方形的一條邊上
D.長方形的外部
2.如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點 A,B,C,D,E,F,G 在小正方形的格點上，則 \triangle A B C 的重心是 （）
A.點 D B.點 E C.點 F D.點 G
3.發(fā)現(xiàn)與探究：三角形三條中線的交點叫三角形的重心.重心是個物理名詞.從效果上看，我們可以認(rèn)為物體所受重力的合力集中于一點，這一點叫物體的重心.如圖1，如果取一塊均勻的三角形紙板，用一根細線繩從重心 o 處將三角形提起來，紙板就會處于水平狀態(tài).為什么會平衡呢？希望你經(jīng)過下面的探索過程能得到答案.
如圖 2,A D 是 \triangle A B C 的中線， \triangle A C D 與 \triangle A B D 等底等高,面積相等,記作 S_{\triangle A C D}{=}S_{\triangle A B D} ：
如圖 3,\triangle A B C 的三條中線 A D,B E,C F 相交于點 G ，則 G D 是 \triangle G B C 的中線，利用上述結(jié)論可得 S_{\triangle G C D}=S_{\triangle G B D} ，同理 S_{\triangle G B F}=S_{\triangle G A F} ，S_{\triangle G A E}=S_{\triangle G C E} ：
(1)如圖3,設(shè) {\cal S}_{\triangle G C D}=x,{\cal S}_{\triangle G B F}=y,{\cal S}_{\triangle G A E}= z ，猜想 x,y,z 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你 的猜想.
(2)由（1)可知，被三條中線分成的六個三角形面積 ．如果 \triangle A B C 的面積為\mathbf{\Psi}_{m} ,那么用含 \mathbf{\Psi}_{m} 的式子表示 \triangle B G C 的面積為 ， B G:G E{=}
(3)如圖 4,\triangle A B C 的兩條中線 B D,C E 相交 于點 G ，點 G 是 \triangle A B C 的重心， B D=6 ， C E{=}9,B D\bot C E 求四邊形 A E G D 的面積.
活動2確定平面組合圖形的重心位置
4.物體受重力作用的作用點叫作這個物體的重心.例如：一根均勻的木棒，重心是木棒的中點；一塊均勻的三角形木板，重心就是這個三角形木板三條中線的交點等等.
(1)你認(rèn)為平行四邊形的重心位置在哪里？(2)現(xiàn)有如圖所示的一塊均勻模板，請只用無刻度直尺和鉛筆畫出它的重心.
期末復(fù)習(xí)(一) 三角形
知識結(jié)構(gòu)圖
三角形的有關(guān)概念及分類
三 三角形三邊的關(guān)系與三角形有關(guān)的線段
角 三角形的中線、角平分線、高
形 三角形的內(nèi)角和三角形的內(nèi)角與外角三角形的外角
重難點突破
重難點1 三角形的有關(guān)概念及分類
【例1】如圖，過 A,B,C,D,E 五個點中的任意三點畫三角形.(1)以AB為邊畫三角形，能畫幾個？寫出所畫的三角形.(2)分別指出(1)中三角形中的等腰三角形和鈍角三角形.
【解答】
變式訓(xùn)練
1.如圖， A B=A C=B C,B D=D O=O E=E C.
(1)圖中有 個三角形.
（2）圖中的等腰三角形有,等邊三角形有
重難點2 三角形的三邊關(guān)系
【例2】如圖，數(shù)軸上 A,B 兩點到原點的距離是三角形兩邊的長，則該三角形第三邊的長可能是 ）
變式訓(xùn)練
2.若 {\mathbf{\psi}}_{a,b} 是等腰三角形 A B C 中兩邊的長，且滿足 \left|a-3\right|+(b-7)^{2}=0 ,則此三角形的周長是（）
A.13 B.17 C.13或17D.20
重難點3 與三角形有關(guān)的線段
【例3】如圖， \triangle A B C 的邊 B C 上的高為A F ，中線為 A D ，邊 A C 上的高為 B G ，已知 A F= 6,B D{=}10 ， B G=5 ：
(1)求 \triangle A B C 的面積.
(2)求 A C 的長.
【解答】
方法指導(dǎo)
三角形的三條重要線段的作用： ① 中線等分邊且等分三角形的面積； ② 高垂直于邊計算面積； ③ 角平分線平分角求角的度數(shù)：
變式訓(xùn)練
3.如圖， A D,C E 都是 \triangle A B C 的中線，連接 E D ，\triangle A B C 的面積是 10\cm^{2} ，則 \triangle B D E 的面積是）
A .1.25~cm^{2} B. 2\cm^{2} C.2.5~cm^{2} D.5\cm^{2}
4.在 \triangle A B C 中， D 是 B C 的中點， A B=12,A C= 8.用剪刀從點 D 開始進行裁剪，若沿 D A 剪成兩個三角形，則它們周長的差為 ;若點 E 在 A B 上，沿 D E 剪開得到兩部分周長差為2，則 A E=
重難點4 與三角形有關(guān)的角
【例4】如圖，在 \triangle A B C 中，三個內(nèi)角的平分線交于點 o ，過點 o 作 O D\bot O B ,交邊 B C 于點 D,\triangle A B C 的外角平分線 B{\cal F} 與 C O 的延長線相交于點 F ，
(1)求證： B F//O D (2)若 \angle F=35° ，求 \angle B A C 的度數(shù).
【解答】
變式訓(xùn)練
5.如圖，在 \triangle A B C 中， \angle B=\angle C=45° 點 D 在邊 B C 上，點 E 在邊 A C 上，且 \angle A D E= \angle A E D ，連接 D E ：
(1)當(dāng) \angle B A D=60° 時，求 \angle C D E 的度數(shù)，
(2)當(dāng)點 D 在邊 B C （點 _{B,C} 除外)上運動時，試寫出 \angle B A D 與 \angle C D E 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.
復(fù)習(xí)自測
一、選擇題（每小題5分，共30分）
1.下列各組長度的三條線段中，能組成三角形的是 （）
A.3,4,8 B.5,6,11
C.5,6,10 D.5,5,10
2.下圖是一個起重機的實物圖，在起重架中間增加了很多斜條，它所運用的幾何原理是（）
A.三角形兩邊之和大于第三邊B.三角形具有穩(wěn)定性
C.三角形兩邊之差小于第三邊D.直角三角形的兩銳角互余
3.（2024·陜西）如圖，在 \triangle A B C 中， \angle B A C= 90°,A D 是邊 B C 上的高， E 是 B C 的中點，連接 A E ,則圖中的直角三角形共有 （）
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
4.如圖，點 E,D 分別在 A B,A C 上.若 \angle A= 95° ，則 \angle1+\angle2+\angle B+\angle C 的度數(shù)為（
A. {170}° B. {180}° C. {190}° D. 2{00}°
5.如圖，在 \triangle A B C 中， D 是邊 B C 上一點， \angle1= \angle2,\angle3=\angle4 ， \angle B A C=81° ，則 \angle D A C 的度數(shù)為 ）
A. {44}° B. 46° C. 48° D. 5{0}°
6.如圖所示，在 \triangle A B C 中，點 D,E,F 分別在三角形的三邊上， E 是 A C 的中點， A D,B E,C F 相交于點 G,B D=2D C,S_{\triangle G E C}=3,S_{\triangle G D C}=4 ，則 \triangle A B C 的面積是 ）
A.25
B. 30
C.35
D.40
二、填空題（每小題5分，共20分）
7.如圖，以 \angle B 為一個內(nèi)角的三角形有 個.
8.如圖，在 \triangle A B C 中， \angle C=65° ，過點 A 作A D\bot B C 于點 D,\angle1=\angle2 則 \angle B A C=
9.如圖，點 M,N 分別在 O A,O B 上， M C 平分ZAMN，NC平 分 \angle B N M. 若 \angle A O B=68° ， 則 \angle M C N 的度數(shù)為
10.當(dāng)三角形中一個內(nèi)角 α 是另一個內(nèi)角的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中 α 稱為“特征角”.如果一個“特征三角形”的一個內(nèi)角為 42° ，那么這個“特征角” α 的度數(shù)為
三、解答題（共50分）
11.（10分)如果一個三角形的一邊長為 9\cm ，另一邊長為 1\cm ，
(1)求這個三角形的第三邊的取值范圍.
（2）當(dāng)?shù)谌叺拈L為奇數(shù)時，求三角形的周長
12.（12分）如圖，在 \triangle A B C 中，已知 A D 是角平分線， \angle B=70° \angle C=40° ，
(1)求 \angle A D B 的度數(shù).
(2)若 D E\bot A C 于點 E ，求 \angle A D E 的度數(shù).
13.（13分)如圖1，線段 A B,C D 相交于點 O ，(1)求證： \angle A+\angle C=\angle D+\angle B (2）如圖2，線段 A B,C D 相交于點 o ，\angle A C D 和 \angle D B A 的平分線相交于點 E ，B E,C D 相交于點 M,A B,C E 相交于點N .若 \angle A=50° ， \angle D=30° ,請結(jié)合(1)中的結(jié)論，求 \angle E 的度數(shù).
14.（15分)在平面直角坐標(biāo)系中，將等腰直角三角板 O A B(\angle O A B{=}\angle O B A{=}45°) 的直角頂點放在原點處，直角邊 O B,O A 分別在 x 軸、y 軸上，點 A 的坐標(biāo)為(0，4).
(1)如圖 1,D 為 _{A B} 上一點，且 {\cal S}_{\triangle A O D}= S_{\triangle B O D} ，求點 D 的坐標(biāo).
（2)若將另一直角三角板OEF（ \angle O F E= {30}° )的直角頂點放在原點處（如圖2),直角邊 _{O F,O E} 分別在 x 軸、 y 軸上， E F 交A B 于點 G,\angle A O B 的平分線與 \angle A G F 的平分線相交于點 P ，求 \angle P 的度數(shù).
