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DIGITALEMPOWERMENT 圓心走過的距離
目錄 CONTENTS
圓心走過的距離有多遠？——劉沚晨調(diào)皮的圓心——馮詩雅·
圓心走過的距離一 一韋然·
圓心走過的距離有多遠？——周小丁圓心走過的距離有多遠？—一顏子集圓心走過的距離—一周馨鈺·
圓心走過的距離有多遠？
六（1）班劉沚晨
在學習圓的周長時，我們通過讓圓在直尺上滾動一周來測量圓形的周長。認真觀察這個過程，我們可以發(fā)現(xiàn)圓心的移動軌跡是一條線段，而且這條線段的長度與圓的周長相等。這也就是說明當圓從線段的一端滾動到線段的另一端時，圓心走過的距離與這條圓的線段的長度相等。那么，如果圓沿著其他圖形的外圍滾動時，圓心的移動軌跡是什么的形狀呢？圓心走過的距離有多遠呢？讓我們一起來探究一下吧！
合理猜想：圓從正方形的一條邊的一端滾動到這條邊的另一端，圓心走過的距離與正方形的邊長相等，所以我猜想圓心正方形外圍滾動一圈，圓心走過的距離一定與正方形的邊長有關(guān)。
提出疑問：圓心走過的距離與圓的周長有關(guān)嗎？在滾過正方形的四個頂點時，圓心的移動軌跡是線段還是孤線呢？
操作試驗：首先，我剪了一個正方形的紙片和一個圓形的紙片，用筆在圓形紙片的圓心標注了一下，然后讓圓形紙片沿著正方形紙片的外圍滾動一片，再用筆畫出痕跡，即為圓心的滾動軌跡。
總結(jié)發(fā)現(xiàn)：我發(fā)現(xiàn)，當圓沿邊滾動時，圓心的移動軌跡是一條線段，軌跡長度與正方形邊長相等。當圓繞頂點滾動時，圓心的移動軌跡是一條弧線，軌跡長度與圓周長的1/4相等，圓沿正方形外圍滾動一周，圓心走過的距離等于正方形的周長加一個圓的周長。
推廣應用：那圓沿著其他圖形外圍滾動一周是不是與沿正方形外圍滾動1周有
相同的規(guī)律呢？
于是我測量了圓沿等邊三角形外圍滾動一周，發(fā)現(xiàn)圓沿等邊三角形一條邊滾動時，圓心的移動軌跡是一條線段，軌跡長度與等邊三角形的周長相等，圓滾過三角形的每個頂點時，圓心的移動軌跡都是1/3圓周。軌跡長度都是圓的周長的1/3，綜上，圓沿三角形外圍滾動一圈，圓心走過的距離等于等邊三角形的周長加1個圓的周長。
我發(fā)現(xiàn)圓心走過的距離等于這個圖形的周長加這個圓的周長，那么測量圓心沿梯形走過的距離，就用梯形的周長加一個圓的周長。如果平行四邊形，走過的距離就是平行四邊形的周長加一個圓的周長等等！
數(shù) 學 小 故 事
蘋果樹下的例行出步
1884年春天，年輕的數(shù)學家阿道夫·赫維茨從哥廷根來到哥尼斯堡擔任副教授，年齡還不到25歲，在函數(shù)論方面已有出色的研究成果。希爾伯特和閩可夫斯基很快就和他們的新老師建立了密切的關(guān)系。他們這三個年輕人每天下午準5點必定相會去蘋果樹下散步。希爾伯特后來回憶道：“日復一日的散步中，我們?nèi)悸耦^討論當前數(shù)學的實際問題；相互交換我們對問題新近獲得的理解，交流彼此的想法和研究計劃?！痹谒麄?nèi)酥?，赫維茨有著廣泛“堅實的基礎(chǔ)知識，又經(jīng)過很好的整理，”所以他是理所當然的帶頭人，并使其他兩位心悅誠服。當時希爾伯特發(fā)現(xiàn)，這種學習方法比鉆在昏暗的教室或圖書館里啃書本不知要好多少倍，這種例行的散步一直持續(xù)了整整八年半之久．以這種最悠然而有趣的學習方式，他們探索了數(shù)學的“每一個角落”，考察著數(shù)學世界的每一個王國，希爾伯特后來回憶道：“那時從沒有想到我們競會把自已帶到那么遠！”三個人就這樣“結(jié)成了終身的友誼?！?/p>
調(diào)皮的圓心
六（1）班馮詩雅
圓心是什么？不過是圓的中心，一個特殊的位置，從圓心的任何一點出發(fā)，沿著圓的邊界走相同的距離，都會回到原點?！斑?？我們在學習圓的周長時，是通過讓圓在直尺上滾動一周來測量的，并且圓心的移動軌跡也是一條線段，且這條線段的長度與圓的周長相等，這也說明當圓從線段到一端滾動到線段的另一端時，圓心走過的距離與這條線段的長品項等。那么當圓因其他圖形外圍滾動時，他的移動軌跡是什么樣的呢，距離又是多遠呢？”一天我在房間看書時突然想到。好吧，現(xiàn)在就讓我來和你聊聊圓心走過的距離到底有多遠吧！
要研究這個問題，我們可以拿最簡單的圖形入手一正方形?！皥A從正方形的一條邊滾到這條邊的另一端，圓心走過的距離與正方形的邊長肯定相等，但是正方形的一條邊與另一條邊的交接處，可能因為圓的半徑增加一定的距離，所以我覺得原先走過的距離一定比這個正方形的邊長要長?！边@是我的猜想?？墒怯胁孪刖陀幸蓡枺攬A心經(jīng)過正方形兩個邊長的交接處時圓心的路線是曲線還是直線呢，接下來就讓我們來做一個有趣的實驗把吧！
本次操作我們需要用到的材料有一個圓規(guī)，一把剪刀，兩張白紙，和一支筆。
1.首先，我們要用白紙剪一個正方形紙片和一個圓形紙片，用來做實驗。
2.接著再將它們剪下來。
3.剪好后，再用圓規(guī)的針頭戳進圓心里。
4.再將筆放進戳好洞的圓形紙片中，讓圓形紙片沿著正方形的邊滾動，這時筆畫出的痕跡即為圓心的移動軌跡。
當我們沿邊滾動時，圓心的移動軌跡是一條線段，而這條線段的長度正好與正方形的邊長相等；當圓心繞頂點滾動時圓心的移動軌跡是一條弧線，軌跡長度與圓周長的1/4相等，圓圓正方形外圍滾動一周圓心走過的距離就 \ c = 正方形的周長加1個圓的周長。
通過實驗我們可以總結(jié)出：圓心走過的距離 \ c = 正方形的周長 ^ + 一個圓的周長。那圓心沿等邊三角形的外圍滾動一周呢？應該也比一個等邊三角形的周長要長，三角形的一個頂點就是1/3個圓的周長，三個頂點就是3/3個圓的周長。所以我想圓心邊等邊三角形外圍滾動一周時，距離應該是三角形的周長 + 1 圓！那圓心沿圓外圍滾動一周呢？其實很簡單，我們可以將這個滾動的圓半徑設(shè)為 2 {cm } 。當圓心繞著圓滾動時，圓的半徑就相當于增加了，2 {cm } ，直徑就增加了 4 {cm } 。就用索繞圓的直徑加上 . 4 {cm } x 兀就可以了。
看來小小的圓心也有大大的學問啊，他是多么的神奇有趣，只要我們勇于探索敢于發(fā)現(xiàn)，就能從中找到無限的樂趣！
數(shù)學家的故事—一姜立夫
19世紀20年代初，中國數(shù)學基礎(chǔ)薄弱。姜立夫?qū)彆r度勢，認為要想使現(xiàn)代數(shù)學盡快在中國生根發(fā)芽，當務之急是培養(yǎng)一批經(jīng)過嚴格訓練、掌握現(xiàn)代數(shù)學的人才。1919年他在獲得哈佛大學博士學位后，毅然回到中國，全身心投入到培養(yǎng)數(shù)學人才的事業(yè)。
1920年姜立夫創(chuàng)辦了南開大學數(shù)學系（算學系），這是繼北京大學數(shù)學系之后中國第二個數(shù)學系。在建系之初的四年中，姜立夫是唯一的教師，以至于被人稱為“一人系”，這也是當年創(chuàng)業(yè)艱難的真實寫照。他逐年根據(jù)學生的情況，需要什么課程就開什么課，還親自翻譯、編寫教材，并兼顧處理政務。
姜立夫的教學非常具有吸引力，他超人付出和卓越的教學水平，使早期南開數(shù)學系的成才率非常高，涌現(xiàn)出陳省身、江澤涵、申又樓、吳大任、劉晉年、孫本旺等聞名中外數(shù)學家。
1937至1949年期間，中國教育、科學在極端困難的環(huán)境中掙扎前進。姜立夫在西南聯(lián)大執(zhí)教之余，還兼顧中國數(shù)學隊伍的組織工作，用陳省身的話說：“在很多年的時間里，姜先生是中國數(shù)學界最主要的領(lǐng)袖”。
在艱苦卓絕的環(huán)境中，姜立夫在個人科學研究方面仍然做出了成果。他創(chuàng)建了圓素幾何和球素幾何的方陣理論，使古老的圓素幾何和球素幾何獲得新的面貌，并展示了新的發(fā)展前景。1938年出版的第一部中國現(xiàn)代數(shù)學詞典《算學名詞匯編》，也是姜立夫領(lǐng)導審定的。這是我國第一部現(xiàn)代數(shù)學辭典，共收入7400多數(shù)學詞匯。在此后的十余年間，姜立夫始終參與了數(shù)學名詞的多次補充與修訂工作，構(gòu)成了今日數(shù)學名詞的基礎(chǔ)，惠澤后世，功莫大焉。
1949年底，姜立夫應陳序經(jīng)邀請到嶺南大學任教，創(chuàng)辦數(shù)學系并擔任主任。1952年全國高等院校院系調(diào)整，嶺南大學并入籌建中的中山大學，姜立夫扎根嶺南鞠躬盡瘁，把中山大學建設(shè)成為南中國的數(shù)學重鎮(zhèn)。
姜立夫十分重視數(shù)學文獻的收集和保管?？谷諔?zhàn)爭前，南開大學圖書館的數(shù)學藏書在全國是首屈一指的，有世界上最重要的期刊和著名數(shù)學家的論文集，還有許多珍貴的絕版書，大批學生受此澤惠。
1978年2月3日，姜立夫因心力衰竭逝世。他的一生，是傳奇的一生。他以一已之力，使獨木成林；他以“篳路藍縷、以啟山林”的拓荒精神，帶動中國數(shù)學事業(yè)的發(fā)展；更以不計得失、不遺余力造就人才的高尚的品德與人格魅力，贏得了學林的尊敬。
數(shù)學腦筋急轉(zhuǎn)彎
及格
小強數(shù)學只差6分就及格，小明數(shù)學也只差6分就及格了，但小明和小強的分數(shù)不一樣，為什么？
答案：一個是54分，一個是0分
圓心走過的距離
六(1)班韋然
提出的假設(shè)
在學習圓的周長時，我們通過讓圓在直尺上滾動一周來測量圓的周長，認真觀察這個過程，我們可以發(fā)現(xiàn)：圓心的移動軌跡是一條線段，且這條線段的長度與圓的周長相等。這也說明，當圓從線段的一夕端滾到線的另一端時，圓心走過的距離與這條線段的長度相等。
這是圓沿著一條直線滾動時得到的結(jié)論，如果一個圓在一個平面上圍繞其他圖形滾動時圓心移動的距離是否也與切入點移動的距離相等呢？假設(shè)：一個圓在一個平面內(nèi)移動，圓心移動的距離切入點移動的距離相等。驗證假設(shè)
既然圓在直尺上滾動一圈的距離是圓的周長，那么圓在正方形上
移動一圈的距離是不是正方形的周長呢？我們通過畫圖進行理解。
得出結(jié)論我們發(fā)現(xiàn)我們的提出的假設(shè)是成立，即如果一個圓在一個平面內(nèi)移動，圓心移動的距離切入點移動的距離相等。探索反思數(shù)學學習很有趣，還有很多未知領(lǐng)域需要我們?nèi)ヌ剿?，自已探索總結(jié)出來的是方法，但是需要我們更多的探索未知領(lǐng)域并用大量的實踐去驗證后才能推廣。
圖到字
數(shù) 學 小 故 事
中西文化交流之倡導者
萊布尼茲對中國的科學、文化和哲學思想十分關(guān)注，是最早研究中國文化和中國哲學的德國人。他向耶酥會來華傳教士格里馬爾迪了解到了許多有關(guān)中國的情況，包括養(yǎng)蠶紡織、造紙印染、冶金礦產(chǎn)、天文地理、數(shù)學文字等等，并將這些資料編輯成冊出版。他認為中西相互之間應建立一種交流認識的新型關(guān)系。在《中國近況》一書的緒論中，萊布尼茲寫道：“全人類最偉大的文化和最發(fā)達的文明仿佛今天匯集在我們大陸的兩端，即匯集在歐洲和位于地球另一端的東方的歐洲——中國?！薄爸袊@一文明古國與歐洲相比，面積相當，但人口數(shù)量則已超過。”“在日常生活以及經(jīng)驗地應付自然的技能方面，我們是不分伯仲的。我們雙方各自都具備通過相互交流使對方受益的技能。在思考的縝密和理性的思辯方面，顯然我們要略勝一籌”，但“在時間哲學，即在生活與人類實際方面的倫理以及治國學說方面，我們實在是相形見拙了?！?/p>
在這里，萊布尼茲不僅顯示出了不帶“歐洲中心論”色彩的虛心好學精神，而且為中西文化雙向交流描繪了宏偉的藍圖，極力推動這種交流向縱深發(fā)展，是東西方人民相互學習，取長補短，共同繁榮進步。萊布尼茲為促進中西文化交流做出了畢生的努力，產(chǎn)生了廣泛而深遠的影響。他的虛心好學、對中國文化平等相待，不含“歐洲中心論”偏見的精神尤為難能可貴，值得后世永遠敬仰、效仿。
圓心走過的距離有多遠？
六（1）班周小丁
圓形走過的距離是一個有趣的問題，它涉及到圓的周長和面積。圓的周長公式是 \scriptstyle { { C } } = 2 π { { r } } , 其中C是圓的周長，r是圓的半徑。而圓的面積公式是 { \cal S } = π { r } 2 其中S是圓的面積。如果你能告訴我圓的半徑或者直徑，我可以幫你計算出圓形走過的距離。
首先，我們需要了解什么是圓的周長和面積。圓的周長是指沿著圓周運動一周所走過的距離，通常用字母C表示。圓的面積是指圓內(nèi)部的所有點構(gòu)成的平面區(qū)域的大小，通常用字母A表示。
要計算圓形走過的距離，我們需要知道圓的半徑或直徑。如果給出了半徑，我們可以使用公式 C { = } 2 π r來計算周長；如果給出了直徑，我們可以將其除以2得到半徑，然后再使用公式 C { = } 2 π r來計算周長。
此外，我們還可以使用另一種方法來計算圓形走過的距離：假設(shè)有一個針在圓上移動，針尖從一個位置開始移動到另一個位置時所經(jīng)過的距離就是圓形走過的距離。這是因為針尖在移動過程中始終保持與圓心相距不變的距離(即半徑),所以針尖所經(jīng)過的總距離就是圓的周長。
總之，無論是通過公式還是通過直觀的理解，我們都可以將圓形走過的距離轉(zhuǎn)化為一個易于計算的問題。只要掌握了相關(guān)的知識和方法，就可以輕松地回答這個問題了?？傊?，無論是通過公式還是通過直觀的理解，我們都可以將圓形走過的距離轉(zhuǎn)化為一個易于計算的問題。只要掌握了相關(guān)的知識和方法，就可以輕松地回答這個問題了。
我們需要了解圓的定義。圓是平面上所有與給定點等距的點的集合。這個給定點稱為圓心，與圓心的距離稱為半徑。在這個問題中，我們需要計算的是圓上任意一點到另一點的距離。
假設(shè)我們要計算圓上A點到B點的距離，那么我們可以使用勾股定理來解決這個問題。勾股定理告訴我們，直角三角形的斜邊(即A、B兩點之間的距離)的平方等于兩個直角邊的平方和。在這個例子中，我們可以把A、B兩點看作是直角三角形的兩個直角邊，而圓的半徑就是斜邊。
根據(jù)勾股定理，我們有： { A B } \ \hat { \bf \Phi } 2 = { O A } \hat { \mathsf { \Omega } } 2 + { O B } \hat { \mathsf { \Omega } } 2 ，其中，OA和OB分別是A、B兩點到圓心的距離。由于OA和OB都等于圓的半徑，所以我們可以得到： { A B } \hat { \mathbf { \Omega } } 2 = \hat { \mathbf { r } ^ { 2 } } + \hat { \mathbf { r } ^ { 2 } } ， { A B } \hat { \mathbf { \ i } } 2 = 2 \hat { \mathbf { r } } \hat { \mathbf { \ i } } 2 ，現(xiàn)在我們需要求解AB的值。由于 { A B } \ \hat { } 2 = 2 { r } ^ { * 2 } 所以： { { A B } } = { { s q r t } } ( 2 { { r } } ^ { * } 2 ) = { { r } } \star { { s q r t } }
這就是圓上A點到B點的距離。當然，如果我們需要計算其他兩點之間的距離，只需要將A、B兩點互換即可。
除了使用勾股定理之外，我們還可以通過直觀的方法來理解這個問題。想象一下，你站在圓心的位置，然后沿著圓周走一圈回到原點。在這個過程中，你走過的距離就是A點到B點的最短距離。這是因為當你沿著圓周走時，你實際上是在尋找一條直線，使得從A點到B點的距離最短。而在圓上，這條直線就是直徑所在的直線。因此，A點到B點的最短距離就是直徑的長度。
總結(jié)一下，我們可以通過公式(如勾股定理)或直觀的方法來計算圓形走過的距離。只要掌握了相關(guān)的知識和方法，就可以輕松地回答這個問題了。
圓心走過的距離有多遠？
六（1）班顏子集
一、發(fā)現(xiàn)問題
同學們，當我們在學習圓的周長時，我們通過讓圓在直尺上滾動一周來測量圓的周長，認真觀察這個過程，我們可以發(fā)現(xiàn)圓心的移動軌跡是一條線段，這條線段的長度與圓的周長相等，也就是說明當圓從線段的一端滾動到線段的另一端時，圓心走過的距離與這條線段的長度相等如下圖。
二、 提出問題
那么當圓沿著其他圖形滾動的時候，圓的移動軌跡又是什么形狀呢？圓心走過的距離又有多遠呢？讓我們一起來探究吧！
三、合理猜想
圓錐正方形的一條邊的一端滾到這條邊的另一端圓心走過的距離應該與正方形的邊長相等。但是圓在滾過正方形的一個角時，圓形滾動的形狀估計是一條弧，那4個角就有4條弧，又或者說圓形滾過正方形的角時，經(jīng)過的是一個角呢？
四、操作驗證
（1）、剪一個正方形紙片和一個圓形紙片。
（2）、用筆戳進圓形紙片的圓心。
（3）、讓圓形紙片沿正方形紙片外圍滾動一周。
（4）、筆畫出的痕跡即為圓心移動的軌跡。
五、如何計算
要計算圓心經(jīng)過的長度，要先把正方形的每個邊長延長。就會發(fā)現(xiàn)圓心走過的距離就是4個扇形，再加正方形的邊長。組成的而扇形的半徑為我們滾動這個圓的半徑。由此可以得出嗯，圓心走過的距離是由一個正方形再加上滾動的這個圓的周長。即可算出圓心走過的距離。
六、小試牛刀
現(xiàn)在有一個半徑為兩厘米的圓和一個邊長為5厘米的正方形，圓繞正方形滾動一圈，請問圓心走過的距離有多遠？
根據(jù)之前的結(jié)論，圓心走過的長度等于圓的周長再加上正方形的周長之和，所以列出以下算式：
C { = } 2 元 { { r } + { { a } } x { { a } } } （204號
= 2 x 3 . 1 4 x 2 + 5 x 5
=3.14× 4+25
=12.56+25
= 3 7 . 5 6 （cm）
’七、再現(xiàn)疑問
正方形是這樣算，那長方形三角形是不是也是這樣算的呢？
操作以后我發(fā)現(xiàn)圓形滾動的距離依舊是由滾動的那個圓的周長，加上三角形的周長。
八、總結(jié)討論
我發(fā)現(xiàn)無論是圓繞著哪一種圖形滾動，圓心走過的距離都是這個圖形的周長加上滾動的圓的周長之和。
曹沖稱象
古時候有個大官，叫曹操。一天，孫權(quán)送來了一頭巨象，曹操想知道這象的重量，就問他的屬下。有的說：“得造一桿大秤，砍一棵大樹做秤桿。”有的說：“辦法倒有一個，就是把大象宰了，割成一塊一塊的再稱?！辈懿俾犃酥睋u頭。這時曹操才6歲的兒子曹沖站了出來，說到：“把象放到大船上，在水面所達到的地方做上記號，再往船上裝石頭，直到船下沉到畫線的地方為止。
然后稱一下石頭，就能知道大象的重量了?！辈懿俾犃撕芨吲d，馬上照這個辦法去做，果然稱出了大象的重量。
圓心走過的距離
六（1）班周馨鈺
在學習圓的周長時，我們通過讓圓在直尺上滾動一周來測量圓的周長，認真觀察過這個過程我們可以發(fā)現(xiàn)圓心移動軌跡是一條線段，且這個線段的長度與圓的周長相等，這也說明，當圓從線段的一端滾到線段的另一端時，圓心走過的距離與這條線段長度相等，那么當圓沿著其他圖形外圍滾動時，圓心的移動軌跡又是什么形狀呢？圓心走過的距離有多遠呢？讓我們一起來探究一下吧。我們先來看一組圖片。
首先，我們先來猜想一下,圓從正方形一條邊的一端滾動到這條邊的另一端圓心走過的距離與正方形的邊長相等，所以我猜想圓圓正方形外圍滾動一周，圓心走過的距離一定與正方形的邊長有關(guān)嗎。圓心走過的距離與圓周長有關(guān)嗎？求圓心走過的距離時，是求出正方形的周長十一個圓的周長嗎？圓心的移動軌跡是直線還是孤線呢？老師說過“數(shù)與形樣樣好”，意思就是數(shù)字是與圖形連接在一起的，所以我們通操作試驗一下吧.我先剪出一個正方形紙片和一個圓形紙片，用筆戳進圓形紙片的圓心，讓圓形紙片沿正方形紙片外圍滾動一周筆畫出的痕跡。
這些圖片讓我理出發(fā)現(xiàn)；圓心的移動軌跡是一條線段軌跡長度與正方形的邊長，當繞頂點滾動時，圓心的移動軌跡是一條孤，軌跡長度與圓周長的4倍相等，總結(jié)出：圓沿正方形外圍滾動周圓心走過的距離 \ c = 正方形的周長十I個圓的周長．這時我腦子里有蹦出個問題：圓沿其他圖形外圍滾動一周是不是與沿正方形外圍滾動一周有相同的規(guī)律呢？例如三角形，下面是一個等腰三角形。
簡單邊三角形的一條邊滾動是圓形的移動軌跡是一條邊軌跡長度與三角形周長相等圓滾滾三角形的每個頂點是圓形的移動軌跡都是1/3圓周軌跡長度都是圓周長的1/3從什么中運行走過的距離等于等腰三角形的面積加上一個圓的周長。讓我們一起來做道題練習一下?？梢蕴子霉降妊切蚊娣e加一個圓的周長就是 \ c = 先算出圓的周長 \scriptstyle { \mathsf { s } } = 2 π r就 = 3 . 1 4 x 1 x 2 { = } 6 . 2 8 厘米，再算出等腰三角形的面積 3 x 3 / 2 = 4.5，4.5在加上 6 . 2 8 { = } 1 0 . 7 8 厘米。這次的探究，讓我知道了圓的奧秘，更讓我懂得了數(shù)學的神奇，本次探究中，我的缺點是在探究中多次計算錯誤，我應該要多練習一下，優(yōu)點是思維較清晰.每次探究都讓我有收獲，我要努力，努力，再努力。
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